בעיות קיצון

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

«לחקלאי 40 מטר גדר, והוא רוצה לגדר מגרש מלבני צמוד לקיר — מה השטח הגדול ביותר?» שאלת קיצון היא תמיד אותו מחול בארבעה צעדים: משתנה → פונקציה → נגזרת → בדיקה. הקושי אינו בגזירה — הוא בתרגום.

המגרש ליד הקיר

נסמן ב-xx את הצלע הניצבת לקיר. הקיר חוסך את הצלע הרביעית.

2x+y=40 ⇒ y=40−2x\begin{aligned}2x + y &= 40 \ \Rightarrow \ y \\ &= 40 - 2x\end{aligned}

אילוץ הגדר — ממנו מחלצים את yy

S(x)=x(40−2x)=40x−2x2\begin{aligned}S(x) &= x(40 - 2x) \\ &= 40x - 2x^2\end{aligned}

השטח כפונקציה של משתנה אחד

S′(x)=40−4x=0 ⇒ x=10\begin{aligned}S'(x) &= 40 - 4x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 10\end{aligned}
S(10)=10⋅20=200\begin{aligned}S(10) &= 10 \cdot 20 \\ &= 200\end{aligned}

מטרים רבועים — עם y=20y = 20

איך יודעים ש-x=10x = 10 הוא מקסימום ולא מינימום?

להציג את התשובה והפתרון

S′(x)=40−4xS'(x) = 40 - 4x חיובית לפני 10 ושלילית אחריו — עלייה ואז ירידה, פסגה. אפשר גם לראות ש-SS היא פרבולה עם מקדם שלילי ל-x2x^2.

שימו לב לצעד שהופך תלמידים רבים: בפונקציה S=xyS = xy יש שני משתנים, וגוזרים רק פונקציה של משתנה אחד. האילוץ — משפט הגדר, הסכום הנתון, ההיקף — הוא בדיוק הכלי שמחסל משתנה אחד. בלעדיו אין בעיה פתירה.

סכום שני מספרים חיוביים הוא 20. מתי מכפלתם מרבית?

להציג את התשובה והפתרון

P(x)=x(20−x)P(x) = x(20-x), P′=20−2x=0P' = 20 - 2x = 0, x=10x = 10. שני המספרים שווים — 10 ו-10 — והמכפלה 100. זו תבנית שחוזרת: סימטריה מנצחת.

איפה נופלים בבעיות קיצון.

S=xy dSdx=y\begin{aligned}S &= xy \\ \ \frac{dS}{dx} &= y\end{aligned}
S(x)=x(40−2x)S(x) = x(40 - 2x)

אסור לגזור לפני שנשאר משתנה אחד — yy תלוי ב-xx ואינו קבוע.

x=10 היא התשובהx = 10 \ \text{היא התשובה}
S(10)=200 היא התשובהS(10) = 200 \ \text{היא התשובה}

לקרוא את השאלה עד הסוף: ביקשו את השטח, לא את xx. שאלה על ערך — עונים בערך.

תרגילים

תרגיל 1

לחקלאי 40 מטר גדר למגרש מלבני צמוד לקיר (שלוש צלעות). מהו השטח המרבי (במ״ר)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 200

הפתרון:

S(x)=x(40−2x)S(x) = x(40 - 2x)
S′=40−4x=0⇒x=10\begin{aligned}S' &= 40 - 4x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 10\end{aligned}
S(10)=200S(10) = 200
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באותה בעיה: מהו אורך הצלע המקבילה לקיר במצב המרבי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

y=40−2⋅10=20\begin{aligned}y &= 40 - 2 \cdot 10 \\ &= 20\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

סכום שני מספרים חיוביים 20. מהי המכפלה הגדולה ביותר שלהם?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 100

הפתרון:

P(x)=x(20−x)P(x) = x(20 - x)
P′=20−2x=0⇒x=10\begin{aligned}P' &= 20 - 2x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 10\end{aligned}
10⋅10=10010 \cdot 10 = 100
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

סכום שני מספרים חיוביים 16, ומחפשים שסכום ריבועיהם יהיה הקטן ביותר. מהו הסכום המזערי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 128

הפתרון:

Q(x)=x2+(16−x)2Q(x) = x^2 + (16 - x)^2
Q′=2x−2(16−x)=4x−32=0\begin{aligned}Q' &= 2x - 2(16 - x) \\ &= 4x - 32 \\ &= 0\end{aligned}
x=8 Q(8)=64+64=128\begin{aligned}x &= 8 \\ \ Q(8) &= 64 + 64 \\ &= 128\end{aligned}

שוב הסימטריה

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהיקף 24 ס״מ בונים מלבן. מהו השטח המרבי (בסמ״ר)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36

הפתרון:

x+y=12⇒S(x)=x(12−x)\begin{aligned}x + y &= 12 \Rightarrow S(x) \\ &= x(12 - x)\end{aligned}
S′=12−2x=0⇒x=6\begin{aligned}S' &= 12 - 2x \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 6\end{aligned}
S=36S = 36

ריבוע — תמיד ריבוע

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בבעיית קיצון הגענו ל-S=xyS = xy עם האילוץ x+y=12x + y = 12. מה הצעד הבא?

  1. לגזור לפי שני המשתנים
  2. לחלץ yy מהאילוץ ולהציב
  3. לנחש ערכים
  4. לגזור לפי xx מיד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב לחלץ yy מהאילוץ ולהציב

הפתרון:

y=12−x⇒S(x)=x(12−x)\begin{aligned}y &= 12 - x \Rightarrow S(x) \\ &= x(12 - x)\end{aligned}

גוזרים רק פונקציה של משתנה אחד. האילוץ קיים בדיוק בשביל לחסל את המשתנה השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מנייר בגודל 20 על 20 ס״מ גוזרים ריבועים בפינות בצלע xx ומקפלים לקופסה. הנפח V(x)=x(20−2x)2V(x) = x(20-2x)^2. מהי xx שנותנת נפח מרבי? (עגלו לשתי ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.33

הפתרון:

V′=(20−2x)2+x⋅2(20−2x)(−2)V' = (20-2x)^2 + x \cdot 2(20-2x)(-2)
=(20−2x)(20−6x)=0= (20-2x)(20 - 6x) = 0
x=206=103≈3.33\begin{aligned}x &= \frac{20}{6} \\ &= \frac{10}{3} \approx 3.33\end{aligned}

הפתרון x=10x=10 נותן נפח אפס

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נקודה נעה על הישר y=10−xy = 10 - x. מהו המרחק הריבועי הקטן ביותר שלה מהראשית? (d2d^2)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 50

הפתרון:

d2(x)=x2+(10−x)2d^2(x) = x^2 + (10 - x)^2
(d2)′=4x−20=0⇒x=5\begin{aligned}(d^2)' &= 4x - 20 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 5\end{aligned}
d2=25+25=50\begin{aligned}d^2 &= 25 + 25 \\ &= 50\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מבין כל המלבנים ששטחם 36 סמ״ר — מהו ההיקף הקטן ביותר (בס״מ)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

P(x)=2x+72xP(x) = 2x + \frac{72}{x}

עם y=36xy = \frac{36}{x}

P′=2−72x2=0⇒x=6\begin{aligned}P' &= 2 - \frac{72}{x^2} \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 6\end{aligned}
P=12+12=24\begin{aligned}P &= 12 + 12 \\ &= 24\end{aligned}

הריבוע מנצח גם הפוך

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מצאנו נקודה חשודה x0x_0 עם f′(x0)=0f'(x_0) = 0. מה עוד חובה לבדוק?

  1. כלום — סיימנו
  2. שהפונקציה רציפה
  3. שהנגזרת מחליפה סימן, ושהתשובה עונה לשאלה
  4. רק ש-x0x_0 חיובי
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג שהנגזרת מחליפה סימן, ושהתשובה עונה לשאלה

הפתרון:

f′>0→f′<0f' > 0 \to f' < 0

פסגה ; ולקרוא מה נשאל — xx או הערך

התאפסות הנגזרת היא חשד, לא הרשעה. ואחרי ההרשעה — לוודא שעונים על מה ששאלו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת