חקירת פונקציה רציונלית

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

חקירה מלאה היא מסלול קבוע, ותמיד באותו סדר: תחום הגדרה (איפה המכנה מתאפס), אסימפטוטות, נגזרת ונקודות קיצון, תחומי עלייה וירידה. נחקור יחד את f(x)=x2x−1f(x) = \frac{x^2}{x-1} מההתחלה עד הסוף.

שלב 1+2 — תחום ואסימפטוטה

המכנה קובע הכול.

x−1=0 ⇒ x≠1x - 1 = 0 \ \Rightarrow \ x \ne 1

תחום ההגדרה: כל xx פרט ל-1

x=1 אסימפטוטה אנכיתx = 1 \ \text{אסימפטוטה אנכית}

המונה שם 1≠01 \ne 0 — הגרף בורח לאינסוף

שלב 3 — נגזרת ונקודות חשודות

גוזרים לפי כלל המנה.

f′(x)=2x(x−1)−x2(x−1)2=x2−2x(x−1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x(x-1) - x^2}{(x-1)^2} \\ &= \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2}\end{aligned}
x(x−2)=0 ⇒ x=0 x=2\begin{aligned}x(x-2) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 2\end{aligned}

המכנה חיובי — רק המונה קובע

f(0)=0f(2)=41=4\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \qquad f(2) &= \frac{4}{1} \\ &= 4\end{aligned}

שתי הנקודות: (0,0)(0,0) ו-(2,4)(2,4)

שלב 4 — טבלת סימנים. המונה x(x−2)x(x-2) חיובי מחוץ לקטע [0,2][0,2] ושלילי בתוכו. לכן ff עולה עד 0, יורדת בין 0 ל-2 (בדילוג על האסימפטוטה ב-1), ועולה שוב אחרי 2. מכאן: (0,0)(0,0) — מקסימום מקומי, (2,4)(2,4) — מינימום מקומי.

איך ייתכן שהמקסימום (ערך 0) נמוך מהמינימום (ערך 4)?

להציג את התשובה והפתרון

כי הם בשני ענפים שונים, משני צידי האסימפטוטה x=1x=1. «מקסימום מקומי» אומר גבוה מהשכנים — לא גבוה מכל הפונקציה. האסימפטוטה מפרידה בין שני עולמות.

מהי נקודת החיתוך של ff עם הצירים?

להציג את התשובה והפתרון

מציבים x=0x=0: הנקודה (0,0)(0,0) — הגרף עובר בראשית, וזו גם נקודת המקסימום.

הטעויות שחוזרות בכל חקירה.

x=1 נקודת קיצוןx = 1 \ \text{נקודת קיצון}
x=1 ∉ תחום ההגדרהx = 1 \ \notin \ \text{תחום ההגדרה}

האסימפטוטה איננה קיצון — הפונקציה בכלל לא מוגדרת שם. בטבלת הסימנים היא קו כפול שאסור לדלג עליו בלי לציין.

f′′(x) כדי לסווגf''(x) \ \text{כדי לסווג}
טבלת סימנים של f′\text{טבלת סימנים של } f'

בפונקציה רציונלית טבלת הסימנים קצרה ובטוחה יותר מנגזרת שנייה — פחות גזירות, פחות טעויות.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה f(x)=x2x−1f(x) = \frac{x^2}{x-1}. מהי האסימפטוטה האנכית? (ערך xx)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

x−1=0⇒x=1\begin{aligned}x - 1 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

והמונה שם שונה מאפס

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באותה פונקציה: כמה נקודות קיצון יש לה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f′(x)=x(x−2)(x−1)2=0\begin{aligned}f'(x) &= \frac{x(x-2)}{(x-1)^2} \\ &= 0\end{aligned}
x=0 x=2\begin{aligned}x &= 0 \\ \ x &= 2\end{aligned}

ושתיהן מחליפות סימן

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

באותה פונקציה: מהו ערך ה-yy של המינימום המקומי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

f(2)=42−1=4\begin{aligned}f(2) &= \frac{4}{2-1} \\ &= 4\end{aligned}

המינימום בענף הימני

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה g(x)=x2x+2g(x) = \frac{x^2}{x+2}. באילו ערכי xx מתאפסת הנגזרת? כתבו את הערך השלילי.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -4

הפתרון:

g′(x)=2x(x+2)−x2(x+2)2=x2+4x(x+2)2\begin{aligned}g'(x) &= \frac{2x(x+2) - x^2}{(x+2)^2} \\ &= \frac{x^2 + 4x}{(x+2)^2}\end{aligned}
x(x+4)=0⇒x=0 x=−4\begin{aligned}x(x + 4) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \ x &= -4\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

באותה gg: מהו ערך הפונקציה ב-x=−4x = -4?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -8

הפתרון:

g(−4)=16−2=−8\begin{aligned}g(-4) &= \frac{16}{-2} \\ &= -8\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בחקירת f(x)=x2x−1f(x) = \frac{x^2}{x-1}, המקסימום המקומי (0,0)(0,0) נמוך מהמינימום (2,4)(2,4). מה ההסבר?

  1. המקסימום תמיד נמוך
  2. טעות בחישוב
  3. כך קורה בכל פונקציה
  4. הם בשני ענפים שמפרידה ביניהם אסימפטוטה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד הם בשני ענפים שמפרידה ביניהם אסימפטוטה

הפתרון:

x=1x = 1

בין 0 ל-2 עוברת האסימפטוטה

«מקומי» משווה לשכנים בלבד. שני הענפים לא מתחרים זה בזה — האסימפטוטה חוצצת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה h(x)=x+1x−2h(x) = \frac{x+1}{x-2}. כמה נקודות קיצון יש לה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

h′(x)=(x−2)−(x+1)(x−2)2=−3(x−2)2\begin{aligned}h'(x) &= \frac{(x-2) - (x+1)}{(x-2)^2} \\ &= \frac{-3}{(x-2)^2}\end{aligned}
h′<0 תמידh' < 0 \ \text{תמיד}

אין התאפסות — אין קיצון

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מהו הסדר הנכון של חקירה?

  1. נגזרת ואז תחום
  2. טבלת סימנים ואז נגזרת
  3. הסדר לא משנה
  4. תחום, אסימפטוטות, נגזרת, טבלת סימנים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד תחום, אסימפטוטות, נגזרת, טבלת סימנים

הפתרון:

תחום→אסימפטוטות→f′→סימנים\text{תחום} \to \text{אסימפטוטות} \to f' \to \text{סימנים}

מי שגוזר לפני שמצא את התחום עלול «למצוא» קיצון בנקודה שאינה קיימת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה f(x)=x2x−1f(x) = \frac{x^2}{x-1}. מהו שיפוע המשיק בנקודה x=3x = 3? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.75

הפתרון:

f′(3)=9−6(3−1)2=34=0.75\begin{aligned}f'(3) &= \frac{9 - 6}{(3-1)^2} \\ &= \frac{3}{4} \\ &= 0.75\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

באותה פונקציה: על הקטע 0<x<10 < x < 1 — האם ff עולה (כתבו 1) או יורדת (כתבו -1)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

x(x−2)<0 עבור 0<x<2x(x-2) < 0 \ \text{עבור } 0 < x < 2

המונה שלילי בקטע

f′<0⇒יורדתf' < 0 \Rightarrow \text{יורדת}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת