נגזרת של מנה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

כדי לחקור פונקציה רציונלית צריך לגזור מנה של שתי פונקציות. יש לזה נוסחה אחת, והיא שווה שינון בקול רם:

(uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}

המונה: נגזרת-העליון כפול התחתון, פחות העליון כפול נגזרת-התחתון. המכנה: התחתון בריבוע.

שני דברים שאסור לשכוח: הסדר במונה חשוב — יש שם מינוס, והחלפה הורסת את הסימן; והמכנה תמיד חיובי (v2v^2), ולכן סימן הנגזרת נקבע במונה בלבד. העובדה הזאת תחסוך המון עבודה בחקירה.

דוגמה מלאה

נגזור את f(x)=2x+1x−3f(x) = \frac{2x+1}{x-3}.

u=2x+1 u′=2v=x−3 v′=1\begin{aligned}u &= 2x+1 \\ \ u' &= 2 \\ \quad v &= x-3 \\ \ v' &= 1\end{aligned}

מסדרים את ארבעת החלקים לפני הכול

f′(x)=2(x−3)−(2x+1)⋅1(x−3)2f'(x) = \frac{2(x-3) - (2x+1) \cdot 1}{(x-3)^2}
=2x−6−2x−1(x−3)2=−7(x−3)2= \frac{2x - 6 - 2x - 1}{(x-3)^2} = \frac{-7}{(x-3)^2}

שימו לב: המינוס נכנס לשני האיברים של הסוגריים

מה אפשר לומר על ff מהתוצאה f′(x)=−7(x−3)2f'(x) = \frac{-7}{(x-3)^2}?

להציג את התשובה והפתרון

המכנה חיובי תמיד והמונה שלילי קבוע — הנגזרת שלילית בכל תחום ההגדרה, ולכן ff יורדת בכל אחד משני הענפים שלה. אין נקודות קיצון.

מהי f′(4)f'(4)?

להציג את התשובה והפתרון

f′(4)=−7(4−3)2=−7f'(4) = \frac{-7}{(4-3)^2} = -7.

שלוש הטעויות של נגזרת המנה.

(uv)′=u′v′\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'}{v'}
u′v−uv′v2\frac{u'v - uv'}{v^2}

מנת הנגזרות איננה נגזרת המנה — כמו שמנת הריבועים איננה ריבוע המנה.

uv′−u′vv2\frac{uv' - u'v}{v^2}
u′v−uv′v2\frac{u'v - uv'}{v^2}

הסדר הפוך הופך את הסימן של כל הנגזרת — עלייה תיראה ירידה.

2x−6−2x+12x - 6 - 2x + 1
2x−6−2x−12x - 6 - 2x - 1

המינוס שלפני uv′uv' מוכפל בכל האיברים. סוגריים לפני הפתיחה — תמיד.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה f(x)=2x+1x−3f(x) = \frac{2x+1}{x-3}. מהי f′(4)f'(4)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -7

הפתרון:

f′(x)=2(x−3)−(2x+1)(x−3)2=−7(x−3)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x-3) - (2x+1)}{(x-3)^2} \\ &= \frac{-7}{(x-3)^2}\end{aligned}
f′(4)=−71=−7\begin{aligned}f'(4) &= \frac{-7}{1} \\ &= -7\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=xx+2f(x) = \frac{x}{x+2}. מהי f′(0)f'(0)? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

f′(x)=(x+2)−x(x+2)2=2(x+2)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(x+2) - x}{(x+2)^2} \\ &= \frac{2}{(x+2)^2}\end{aligned}
f′(0)=24=0.5\begin{aligned}f'(0) &= \frac{2}{4} \\ &= 0.5\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה f(x)=3x−1x+1f(x) = \frac{3x-1}{x+1}. מהי f′(1)f'(1)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

f′(x)=3(x+1)−(3x−1)(x+1)2=4(x+1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{3(x+1) - (3x-1)}{(x+1)^2} \\ &= \frac{4}{(x+1)^2}\end{aligned}
f′(1)=44=1\begin{aligned}f'(1) &= \frac{4}{4} \\ &= 1\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

לפונקציה f(x)=2x+1x−3f(x) = \frac{2x+1}{x-3} עם f′(x)=−7(x−3)2f'(x) = \frac{-7}{(x-3)^2} — כמה נקודות קיצון?

  1. אחת
  2. שתיים
  3. תלוי בתחום
  4. אף אחת
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד אף אחת

הפתרון:

f′(x)<0 לכל x≠3f'(x) < 0 \ \text{לכל } x \ne 3

המונה קבוע ושלילי, המכנה חיובי

נגזרת שאינה מתאפסת אף פעם — אין חשודות לקיצון. הפונקציה יורדת בכל ענף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה f(x)=x2x−1f(x) = \frac{x^2}{x-1}. מהי f′(2)f'(2)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

f′(x)=2x(x−1)−x2(x−1)2=x2−2x(x−1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x(x-1) - x^2}{(x-1)^2} \\ &= \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2}\end{aligned}
f′(2)=4−41=0\begin{aligned}f'(2) &= \frac{4 - 4}{1} \\ &= 0\end{aligned}

נקודה חשודה לקיצון

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

באותה פונקציה: בנוסף ל-x=2x=2, באיזה xx נוסף מתאפסת הנגזרת?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

x2−2x=x(x−2)=0\begin{aligned}x^2 - 2x &= x(x - 2) \\ &= 0\end{aligned}
x=0 או x=2\begin{aligned}x &= 0 \ \text{או} \ x \\ &= 2\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מדוע סימן הנגזרת של מנה נקבע במונה בלבד?

  1. כי המכנה בריבוע ולכן חיובי
  2. כי המכנה מצטמצם
  3. זה לא נכון
  4. כי המונה גדול יותר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א כי המכנה בריבוע ולכן חיובי

הפתרון:

v2>0 לכל v≠0v^2 > 0 \ \text{לכל } v \ne 0

מה שחיובי תמיד אינו משפיע על סימן — נשאר לבדוק רק את המונה. חצי מטבלת הסימנים נחסך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה f(x)=4x2+1f(x) = \frac{4}{x^2+1}. מהי f′(1)f'(1)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2

הפתרון:

f′(x)=0⋅(x2+1)−4⋅2x(x2+1)2=−8x(x2+1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{0 \cdot (x^2+1) - 4 \cdot 2x}{(x^2+1)^2} \\ &= \frac{-8x}{(x^2+1)^2}\end{aligned}

נגזרת של קבוע — אפס

f′(1)=−84=−2\begin{aligned}f'(1) &= \frac{-8}{4} \\ &= -2\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

משיק לגרף f(x)=xx+2f(x) = \frac{x}{x+2} בנקודה x=0x = 0 — מהו שיפועו? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

m=f′(0)=0.5\begin{aligned}m &= f'(0) \\ &= 0.5\end{aligned}

שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה f(x)=x+3x−1f(x) = \frac{x+3}{x-1}. פתרו f′(2)=?f'(2) = ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -4

הפתרון:

f′(x)=(x−1)−(x+3)(x−1)2=−4(x−1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(x-1) - (x+3)}{(x-1)^2} \\ &= \frac{-4}{(x-1)^2}\end{aligned}
f′(2)=−41=−4\begin{aligned}f'(2) &= \frac{-4}{1} \\ &= -4\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת