מיתרים, קשתות והאנך מהמרכז · המעגל · כיתה י״א

בכיכר עגולה שותלים עצים על שפת המעגל, וסוללים שבילים ישרים בין שני עצים. כל שביל כזה הוא מיתר. לפני ההגדרות, הסתכלו על השרטוט: איזה קטע עובר דרך המרכז $O$ , ואיזה לא?

OE

רדיוס,

CD

קוטר,

AB

מיתר, והקשת המודגשת היא הקשת

AB

OE = r

רדיוס: קטע מהמרכז לנקודה על המעגל. כל הרדיוסים באותו מעגל שווים.

AB

מיתר: קטע שמחבר שתי נקודות על המעגל.

CD = 2r

קוטר: מיתר שעובר דרך המרכז. זה המיתר הארוך ביותר במעגל.

\overset{\frown}{AB}

קשת: חלק מהמעגל בין שתי נקודות. כל מיתר קובע שתי קשתות, קטנה וגדולה.

\angle AOB

זווית מרכזית: זווית שהקודקוד שלה במרכז המעגל. מידת הקשת במעלות שווה לזווית המרכזית שנשענת עליה.

האם כל קוטר הוא מיתר? והאם כל מיתר הוא קוטר?

להציג את התשובה והפתרון

כל קוטר הוא מיתר: הוא מחבר שתי נקודות על המעגל. לא כל מיתר הוא קוטר: רק מיתר שעובר דרך המרכז. בשרטוט, $AB$ הוא מיתר ואינו קוטר.

ארבעה שוויונות שהולכים יחד

באותו מעגל, או במעגלים שווים, ארבעה גדלים קשורים זה לזה. אם אחד מהם שווה, גם שלושת האחרים שווים:

\angle AOB = \angle COD

זוויות מרכזיות שוות

\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}

⇔ קשתות שוות

AB = CD

⇔ מיתרים שווים

d_1 = d_2

⇔ מרחקים שווים מהמרכז

במעגל שמרכזו $O$ נתון $AB = CD$ ו- $\angle AOB = 70^\circ$ . כמה מעלות בזווית $\angle COD$ ? ומהי מידת הקשת $CD$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$70^\circ$ בשתיהן. מיתרים שווים, ולכן הזוויות המרכזיות שוות, ומידת הקשת שווה לזווית המרכזית שלה.

האנך מהמרכז למיתר

OM \perp AB \ \Rightarrow \ AM = MB

האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר.

AM = MB \ \Rightarrow \ OM \perp AB

קטע ממרכז המעגל שחוצה מיתר מאונך למיתר.

האנך יוצר משולש ישר זווית $OMA$ . היתר הוא הרדיוס $r$ , ניצב אחד הוא המרחק $d$ של המיתר מהמרכז, והניצב השני הוא חצי מיתר. לפי פיתגורס:

r^2 = d^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2

המרחק של מיתר מהמרכז

רדיוס המעגל $10$ , ואורך המיתר $AB$ הוא $12$ . מהו המרחק של המיתר מהמרכז?

\begin{aligned}AM &= \frac{12}{2} \\ &= 6\end{aligned}

האנך מהמרכז חוצה את המיתר

10^2 = d^2 + 6^2

פיתגורס במשולש $OMA$ ; הרדיוס הוא היתר

\begin{aligned}d^2 &= 64 \ \Rightarrow \ d \\ &= 8\end{aligned}

המרחק מהמרכז

במעגל שרדיוסו $13$ יש מיתר באורך $24$ ומיתר באורך $10$ . איזה מהם קרוב יותר למרכז?

להציג את התשובה והפתרון

המיתר של $24$ : $d = \sqrt{169 - 144} = 5$ . המיתר של $10$ : $d = \sqrt{169 - 25} = 12$ . המיתר הארוך קרוב יותר למרכז.

שתי טעויות שחוזרות במיתרים.

10^2 = d^2 + 12^2

10^2 = d^2 + 6^2

בפיתגורס נכנס חצי המיתר, לא המיתר כולו.

r^2 + d^2 = \left(\frac{AB}{2}\right)^2

r^2 = d^2 + \left(\frac{AB}{2}\right)^2

הרדיוס הוא היתר, כי הוא מול הזווית הישרה. מחסרים ממנו, לא מוסיפים לו.

תרגילים

תרגיל 1

התאימו כל מושג להגדרה שלו.

רדיוס
מיתר
קוטר
קשת
זווית מרכזית

זווית שהקודקוד שלה במרכז המעגל
חלק מהמעגל בין שתי נקודות
מיתר שעובר דרך המרכז
קטע בין שתי נקודות על המעגל
קטע מהמרכז לנקודה על המעגל

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: רדיוס — קטע מהמרכז לנקודה על המעגל · מיתר — קטע בין שתי נקודות על המעגל · קוטר — מיתר שעובר דרך המרכז · קשת — חלק מהמעגל בין שתי נקודות · זווית מרכזית — זווית שהקודקוד שלה במרכז המעגל

הפתרון:

CD = 2r

הקוטר הוא מיתר מיוחד: הוא עובר דרך המרכז

המלכודת: לבלבל בין מיתר לקשת. המיתר ישר, והקשת היא חלק מהמעגל עצמו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $5$ נתון מיתר $AB$ שאורכו $8$ . מהו המרחק של המיתר מהמרכז?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}AM &= \frac{8}{2} \\ &= 4\end{aligned}

האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר

5^2 = d^2 + 4^2

פיתגורס במשולש $OMA$

\begin{aligned}d^2 &= 9 \ \Rightarrow \ d \\ &= 3\end{aligned}

המרחק מהמרכז

המלכודת: להציב $8$ במקום $4$ . האנך חוצה את המיתר, ולכן בפיתגורס נכנס החצי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במעגל שרדיוסו $13$ נמצא המיתר $AB$ במרחק $12$ מהמרכז. מהו אורך המיתר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

13^2 = 12^2 + AM^2

פיתגורס במשולש $OMA$ ; $OM$ מאונך למיתר

\begin{aligned}AM^2 &= 25 \ \Rightarrow \ AM \\ &= 5\end{aligned}

חצי המיתר

\begin{aligned}AB &= 2 \cdot 5 \\ &= 10\end{aligned}

האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר

המלכודת: לעצור ב- $5$ . פיתגורס נותן חצי מיתר, והשאלה מבקשת את המיתר כולו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במעגל שמרכזו $O$ נתון $AB = CD$ , ו- $\angle AOB = 64^\circ$ . חשבו את $\angle OCD$ (במעלות).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 58

הפתרון:

\begin{aligned}\angle COD &= \angle AOB \\ &= 64^\circ\end{aligned}

במעגל, למיתרים שווים מתאימות זוויות מרכזיות שוות

OC = OD

רדיוסים באותו מעגל שווים, ולכן המשולש $OCD$ שווה שוקיים

\begin{aligned}\angle OCD &= \frac{180^\circ - 64^\circ}{2} \\ &= 58^\circ\end{aligned}

במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות

המלכודת: לענות $64^\circ$ . זו הזווית המרכזית. $\angle OCD$ היא זווית בסיס במשולש $OCD$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הוכיחו או הפריכו: מיתר שאורכו שווה לרדיוס המעגל יוצר זווית מרכזית של $60^\circ$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}OA &= OB \\ &= r\end{aligned}

רדיוסים באותו מעגל שווים

AB = r

נתון

\angle AOB = 60^\circ

משולש שכל צלעותיו שוות הוא שווה צלעות, וכל זוויותיו $60^\circ$

נכון. המלכודת: לחשוב על $90^\circ$ . זווית מרכזית ישרה נותנת מיתר ארוך מהרדיוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $10$ נתונים המיתרים $AB = 16$ ו- $CD = 12$ . מה נכון?

$AB$ קרוב יותר למרכז, במרחק $8$
$AB$ קרוב יותר למרכז, במרחק $6$
$CD$ קרוב יותר למרכז, במרחק $6$
שני המיתרים באותו מרחק מהמרכז

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $AB$ קרוב יותר למרכז, במרחק $6$

הפתרון:

\begin{aligned}OM &= \sqrt{10^2 - 8^2} \\ &= 6\end{aligned}

האנך חוצה את $AB$ , ופיתגורס במשולש $OMB$

\begin{aligned}ON &= \sqrt{10^2 - 6^2} \\ &= 8\end{aligned}

האנך חוצה את $CD$ , ופיתגורס במשולש $OND$

הנכונה: $AB$ קרוב יותר למרכז, במרחק $6$ . המיתר הארוך קרוב יותר. המלכודת: לחשוב שמיתר ארוך «מתרחק».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

המיתר $AB$ שאורכו $24$ נמצא במרחק $5$ ממרכז המעגל. מהו רדיוס המעגל?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13

הפתרון:

AM = 12

האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר

\begin{aligned}r^2 &= 5^2 + 12^2 \\ &= 169\end{aligned}

פיתגורס במשולש $OMA$

r = 13

הרדיוס

המלכודת: $5^2 + 24^2$ . בפיתגורס נכנס חצי המיתר, $12$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במעגל שרדיוסו $25$ נתונים שני מיתרים מקבילים, $AB = 48$ ו- $CD = 40$ , באותו צד של המרכז. מהו המרחק בין שני המיתרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\begin{aligned}OM &= \sqrt{25^2 - 24^2} \\ &= 7\end{aligned}

האנך מהמרכז חוצה את $AB$ ; פיתגורס

\begin{aligned}ON &= \sqrt{25^2 - 20^2} \\ &= 15\end{aligned}

האנך מהמרכז חוצה את $CD$ ; פיתגורס

\begin{aligned}MN &= 15 - 7 \\ &= 8\end{aligned}

שני המיתרים באותו צד של המרכז: מחסרים

המלכודת: לחבר, $7 + 15 = 22$ . מחברים רק כשהמרכז נמצא בין המיתרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במעגל שרדיוסו $17$ חישבו את אורך המיתר $AB$ , שמרחקו מהמרכז $8$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

17^2 = 8^2 + AM^2

AM^2 = 225

AM = 15

AB = 15

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $AB = 15$ → $AB = 2 \cdot 15 = 30$

הפתרון:

AM = 15

פיתגורס נותן את חצי המיתר

\begin{aligned}AB &= 2 \cdot AM \\ &= 30\end{aligned}

האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר

השורה האחרונה עצרה בחצי המיתר. המלכודת: לשכוח שהאנך חוצה את המיתר לשני חלקים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במעגל שמרכזו $O$ נתון המיתר $AB$ , והקטע $OM$ מאונך ל- $AB$ ( $M$ על $AB$ ). הוכיחו: $OM$ חוצה את הזווית $\angle AOB$ .

$OA$ ו- $OB$ רדיוסים
$OM \perp AB$

$\angle AOM = \angle BOM$

להציג את התשובה והפתרון

$OA = OB$ — רדיוסים באותו מעגל שווים
$OM \perp AB$ — נתון
$\triangle OAB$ שווה שוקיים — משולש שיש בו שתי צלעות שוות הוא שווה שוקיים
$\angle AOM = \angle BOM$ — במשולש שווה שוקיים, הגובה לבסיס הוא גם חוצה זווית הראש

הפתרון:

OA = OB

רדיוסים באותו מעגל שווים

OM \perp AB

נתון

OA = OB

משולש שיש בו שתי צלעות שוות הוא שווה שוקיים

\angle AOM = \angle BOM

במשולש שווה שוקיים, הגובה לבסיס הוא גם חוצה זווית הראש

גם $AM = MB$ נכון, אבל השאלה היא על הזווית. המלכודת: לנמק במשפט על חציית המיתר כשצריך את חציית הזווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

ארבעה שוויונות שהולכים יחד

האנך מהמרכז למיתר

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev