זווית היקפית וזווית מרכזית

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בתיאטרון עגול, הבמה ABAB נמצאת על שפת המעגל. צופה שיושב בנקודה CC על המעגל רואה את הבמה בזווית ∠ACB\angle ACB. במאית שעומדת במרכז OO רואה אותה בזווית ∠AOB\angle AOB. מי רואה בזווית גדולה יותר, ובכמה?

100°?OABC
∠AOB\angle AOB היא זווית מרכזית: הקודקוד שלה במרכז. ∠ACB\angle ACB היא זווית היקפית: הקודקוד שלה על המעגל, והשוקיים שלה מיתרים. שתיהן נשענות על הקשת ABAB.

העריכו בעין: האם ∠ACB\angle ACB גדולה מ-∠AOB\angle AOB או קטנה ממנה?

להציג את התשובה והפתרון

קטנה. בשרטוט ∠AOB=100∘\angle AOB = 100^\circ ו-∠ACB=50∘\angle ACB = 50^\circ, בדיוק חצי. זה לא מקרה, וזה המשפט הבא.

המשפט

∠ACB=12∠AOB\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת

שלוש מסקנות

∠ACB=∠ADB\angle ACB = \angle ADB

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות. שתיהן חצי מאותה זווית מרכזית.

AB קוטר ⇒ ∠ACB=90∘AB\ \text{קוטר} \ \Rightarrow \ \angle ACB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה. הזווית המרכזית שלה היא 180∘180^\circ.

∠ACB=90∘ ⇒ AB קוטר\angle ACB = 90^\circ \ \Rightarrow \ AB\ \text{קוטר}

והמשפט ההפוך: זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר.

הנקודות CC ו-DD נמצאות על המעגל, באותו צד של המיתר ABAB, ו-∠ACB=35∘\angle ACB = 35^\circ. כמה מעלות בזווית ∠ADB\angle ADB? ובזווית המרכזית ∠AOB\angle AOB?

להציג את התשובה והפתרון

∠ADB=35∘\angle ADB = 35^\circ: זוויות היקפיות על אותה קשת. ∠AOB=70∘\angle AOB = 70^\circ: פי שניים.

משולש בתוך חצי מעגל

ABAB קוטר של מעגל, CC נקודה על המעגל, ו-∠CAB=28∘\angle CAB = 28^\circ. חשבו את ∠ABC\angle ABC.

∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

∠ABC=180∘−90∘−28∘=62∘\begin{aligned}\angle ABC &= 180^\circ - 90^\circ - 28^\circ \\ &= 62^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש

בכל שאלה על זווית במעגל שאלו שתי שאלות: איפה הקודקוד, במרכז או על המעגל, ועל איזו קשת הזווית נשענת. וקוטר בשרטוט הוא רמז לזווית ישרה.

שתי טעויות בזווית היקפית.

∠ACB=2⋅∠AOB\angle ACB = 2 \cdot \angle AOB
∠ACB=12∠AOB\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB

ההיקפית היא הקטנה: חצי מהמרכזית, לא פי שניים.

∠AOB=100∘⇒∠ADB=50∘\begin{aligned}\angle AOB &= 100^\circ \Rightarrow \angle ADB \\ &= 50^\circ\end{aligned}
∠ADB=130∘\angle ADB = 130^\circ

כש-DD על הקשת הקטנה, הזווית נשענת על הקשת הגדולה, שמידתה 260∘260^\circ. חצי ממנה: 130∘130^\circ.

תרגילים

תרגיל 1

110°?OABC

במעגל שמרכזו OO נתון ∠AOB=110∘\angle AOB = 110^\circ. הנקודה CC נמצאת על הקשת הגדולה ABAB. חשבו את ∠ACB\angle ACB (במעלות).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 55

הפתרון:

∠ACB=12⋅110∘=55∘\begin{aligned}\angle ACB &= \frac{1}{2} \cdot 110^\circ \\ &= 55^\circ\end{aligned}

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת

המלכודת: לענות 220∘220^\circ. ההיקפית היא חצי מהמרכזית, לא פי שניים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

?38°OABC

במעגל שמרכזו OO, הזווית ההיקפית ∠ACB\angle ACB שווה 38∘38^\circ. חשבו את הזווית המרכזית ∠AOB\angle AOB הנשענת על אותה קשת.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 76

הפתרון:

∠AOB=2⋅∠ACB\angle AOB = 2 \cdot \angle ACB

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת

∠AOB=2⋅38∘=76∘\begin{aligned}\angle AOB &= 2 \cdot 38^\circ \\ &= 76^\circ\end{aligned}

חישוב

המלכודת: לחלק ב-2. כאן נתונה ההיקפית, ולכן מכפילים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

34°?OABC

ABAB קוטר של מעגל, CC נקודה על המעגל, ו-∠CAB=34∘\angle CAB = 34^\circ. חשבו את ∠ABC\angle ABC.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 56

הפתרון:

∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

∠ABC=180∘−90∘−34∘=56∘\begin{aligned}\angle ABC &= 180^\circ - 90^\circ - 34^\circ \\ &= 56^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש

המלכודת: לענות 34∘34^\circ או 68∘68^\circ. בלי הזווית הישרה ב-CC אין מה לחשב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

30°45°?ABCDE

הנקודות AA, BB, CC ו-DD על מעגל. המיתרים ACAC ו-BDBD נחתכים בנקודה EE. נתון ∠ABD=30∘\angle ABD = 30^\circ ו-∠BDC=45∘\angle BDC = 45^\circ. חשבו את ∠DEC\angle DEC.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 105

הפתרון:

∠ACD=∠ABD=30∘\begin{aligned}\angle ACD &= \angle ABD \\ &= 30^\circ\end{aligned}

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת (ADAD) שוות

∠DEC=180∘−30∘−45∘=105∘\begin{aligned}\angle DEC &= 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ \\ &= 105^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש EDCEDC

המלכודת: לחבר 30∘+45∘=75∘30^\circ + 45^\circ = 75^\circ. זו הזווית החיצונית, לא ∠DEC\angle DEC עצמה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

100°?OABD

במעגל שמרכזו OO נתון ∠AOB=100∘\angle AOB = 100^\circ. הנקודה DD נמצאת על הקשת הקטנה ABAB. כמה מעלות בזווית ∠ADB\angle ADB?

  1. 130∘130^\circ
  2. 100∘100^\circ
  3. 50∘50^\circ
  4. 260∘260^\circ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 130∘130^\circ

הפתרון:

360∘−100∘=260∘360^\circ - 100^\circ = 260^\circ

DD על הקשת הקטנה, ולכן ∠ADB\angle ADB נשענת על הקשת הגדולה

∠ADB=12⋅260∘=130∘\begin{aligned}\angle ADB &= \frac{1}{2} \cdot 260^\circ \\ &= 130^\circ\end{aligned}

זווית היקפית שווה למחצית הקשת שעליה היא נשענת

הנכונה: 130∘130^\circ. המלכודת: 50∘50^\circ נכון רק לנקודה על הקשת הגדולה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

OABC

המשולש ABCABC חסום במעגל, ו-∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ. נתון AC=6AC = 6 ו-BC=8BC = 8. מהו רדיוס המעגל?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

AB קוטרAB\ \text{קוטר}

זווית היקפית בת 90∘90^\circ נשענת על קוטר

AB=62+82=10\begin{aligned}AB &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= 10\end{aligned}

פיתגורס במשולש ABCABC

r=102=5\begin{aligned}r &= \frac{10}{2} \\ &= 5\end{aligned}

הרדיוס הוא חצי קוטר

המלכודת: לענות 1010. היתר הוא קוטר, והרדיוס חצי ממנו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

?OABC

הוכיחו או הפריכו: זווית היקפית הנשענת על מיתר שאינו קוטר היא תמיד חדה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

∠AOB=120∘\angle AOB = 120^\circ

דוגמה נגדית: מיתר ABAB שהזווית המרכזית שלו 120∘120^\circ

∠ACB=12(360∘−120∘)=120∘\begin{aligned}\angle ACB &= \frac{1}{2}(360^\circ - 120^\circ) \\ &= 120^\circ\end{aligned}

כש-CC על הקשת הקטנה, הזווית נשענת על הקשת הגדולה

לא נכון. זווית היקפית שהקודקוד שלה על הקשת הקטנה היא קהה. המלכודת: לבדוק רק נקודה אחת על המעגל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

20°OABC

במעגל שמרכזו OO נתון המיתר ABAB, ו-∠OAB=20∘\angle OAB = 20^\circ. הנקודה CC נמצאת על הקשת הגדולה ABAB. השלימו.

∠AOB=\angle AOB = ____° , ∠ACB=\angle ACB = ____°

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ∠AOB=\angle AOB = 140° , ∠ACB=\angle ACB = 70°

הפתרון:

OA=OB ⇒ ∠OBA=20∘\begin{aligned}OA &= OB \ \Rightarrow \ \angle OBA \\ &= 20^\circ\end{aligned}

רדיוסים שווים; במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות

∠AOB=180∘−2⋅20∘=140∘\begin{aligned}\angle AOB &= 180^\circ - 2 \cdot 20^\circ \\ &= 140^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש OABOAB

∠ACB=12⋅140∘=70∘\begin{aligned}\angle ACB &= \frac{1}{2} \cdot 140^\circ \\ &= 70^\circ\end{aligned}

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת

המלכודת: לחשוב ש-∠ACB=20∘\angle ACB = 20^\circ או 40∘40^\circ. קודם מוצאים את המרכזית מהמשולש שווה השוקיים, ורק אחר כך חוצים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

OABC

ABAB קוטר של מעגל, ו-CC נקודה על המעגל. הוכיחו: ∠CAB+∠CBA=90∘\angle CAB + \angle CBA = 90^\circ.

  • ABAB קוטר
  • CC על המעגל

∠CAB+∠CBA=90∘\angle CAB + \angle CBA = 90^\circ

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה
  2. ∠CAB+∠CBA+∠ACB=180∘\angle CAB + \angle CBA + \angle ACB = 180^\circ — סכום הזוויות במשולש
  3. ∠CAB+∠CBA=90∘\angle CAB + \angle CBA = 90^\circ — חיסור: 180∘−90∘180^\circ - 90^\circ

הפתרון:

∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

∠CAB+∠CBA+∠ACB=180∘\angle CAB + \angle CBA + \angle ACB = 180^\circ

סכום הזוויות במשולש

∠CAB+∠CBA=90∘\angle CAB + \angle CBA = 90^\circ

חיסור: 180∘−90∘180^\circ - 90^\circ

שתי הזוויות החדות במשולש ישר זווית משלימות ל-90∘90^\circ. המלכודת: לנמק את הזווית הישרה במילה «נתון». היא נובעת מהקוטר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

80°?OABC

במעגל שמרכזו OO נתון ∠AOB=80∘\angle AOB = 80^\circ, והנקודה CC על הקשת הגדולה ABAB. חישבו את ∠ACB\angle ACB. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

∠AOB=80∘\angle AOB = 80^\circ
∠ACB=2⋅∠AOB\angle ACB = 2 \cdot \angle AOB
∠ACB=160∘\angle ACB = 160^\circ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ∠ACB=2⋅∠AOB\angle ACB = 2 \cdot \angle AOB → ∠ACB=12∠AOB=40∘\angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB = 40^\circ

הפתרון:

∠ACB=12⋅80∘=40∘\begin{aligned}\angle ACB &= \frac{1}{2} \cdot 80^\circ \\ &= 40^\circ\end{aligned}

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת

השורה השנייה הפכה את המשפט. המלכודת: הזווית שהקודקוד שלה רחוק מהקשת נראית גדולה, אבל היא הקטנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת