משולש ומרובע חסומים במעגל

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

דרך כל שלוש נקודות שאינן על ישר אחד עובר מעגל אחד בלבד. לכן כל משולש אפשר לחסום במעגל. עם ארבע נקודות זה כבר לא מובטח. הסתכלו על המרובע שבשרטוט: ארבעת הקודקודים שלו על המעגל, ושתי זוויות נגדיות מסומנות.

80°100°ABCD
המרובע ABCDABCD חסום במעגל: ארבעת הקודקודים שלו על המעגל.

חברו: 80∘+100∘80^\circ + 100^\circ. האם זה מקרה?

להציג את התשובה והפתרון

לא. ∠A\angle A נשענת על הקשת BCDBCD, ו-∠C\angle C על הקשת BADBAD. יחד שתי הקשתות הן המעגל כולו, 360∘360^\circ, ולכן סכום הזוויות הוא חצי: 180∘180^\circ.

המשפט והמשפט ההפוך

∠A+∠C=180∘∠B+∠D=180∘\begin{aligned}\angle A + \angle C &= 180^\circ \\ \quad \angle B + \angle D &= 180^\circ\end{aligned}

במרובע חסום במעגל, סכום כל שתי זוויות נגדיות הוא 180∘180^\circ

המשפט ההפוך: מרובע שבו סכום זוג זוויות נגדיות הוא 180∘180^\circ אפשר לחסום במעגל.

משולש ישר זווית בתוך מעגל

מרכז המעגל החוסם משולש הוא נקודת החיתוך של האנכים האמצעיים לצלעות. במשולש ישר זווית קל למצוא אותו: הזווית הישרה היא זווית היקפית, ולכן היא נשענת על קוטר. היתר הוא קוטר, ומרכז המעגל הוא אמצע היתר.

R=AB2R = \frac{AB}{2}

כאשר ∠C=90∘\angle C = 90^\circ ו-ABAB הוא היתר

רדיוס המעגל החוסם

במשולש ABCABC נתון ∠C=90∘\angle C = 90^\circ, AC=5AC = 5 ו-BC=12BC = 12. מהו רדיוס המעגל החוסם את המשולש?

AB=52+122=13\begin{aligned}AB &= \sqrt{5^2 + 12^2} \\ &= 13\end{aligned}

פיתגורס

AB קוטרAB\ \text{קוטר}

זווית היקפית בת 90∘90^\circ נשענת על קוטר

R=132=6.5\begin{aligned}R &= \frac{13}{2} \\ &= 6.5\end{aligned}

הרדיוס הוא חצי קוטר

האם אפשר לחסום במעגל מקבילית שהזוויות שלה 70∘70^\circ ו-110∘110^\circ?

להציג את התשובה והפתרון

לא. במקבילית זוויות נגדיות שוות: 70∘+70∘=140∘≠180∘70^\circ + 70^\circ = 140^\circ \neq 180^\circ. מקבילית אפשר לחסום במעגל רק כשהיא מלבן.

שתי טעויות במרובע חסום.

∠A+∠B=180∘\angle A + \angle B = 180^\circ
∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ

הזוויות המשלימות הן נגדיות, לא סמוכות.

R=ABR = AB
R=AB2R = \frac{AB}{2}

היתר הוא קוטר, והרדיוס הוא חצי ממנו.

תרגילים

תרגיל 1

72°?ABCD

המרובע ABCDABCD חסום במעגל, ו-∠A=72∘\angle A = 72^\circ. חשבו את ∠C\angle C.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 108

הפתרון:

∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ

במרובע חסום במעגל סכום זוויות נגדיות 180∘180^\circ

∠C=180∘−72∘=108∘\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - 72^\circ \\ &= 108^\circ\end{aligned}

חישוב

המלכודת: לענות 72∘72^\circ, כאילו זוויות נגדיות שוות. זה נכון במקבילית, לא במרובע חסום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

?ABCD

המרובע ABCDABCD חסום במעגל. הזווית ∠A\angle A גדולה פי 33 מהזווית ∠C\angle C. חשבו את ∠C\angle C.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 45

הפתרון:

∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ

במרובע חסום במעגל סכום זוויות נגדיות 180∘180^\circ

3∠C+∠C=180∘3\angle C + \angle C = 180^\circ

הצבה של ∠A=3∠C\angle A = 3\angle C

∠C=45∘∠A=135∘\begin{aligned}\angle C &= 45^\circ \\ \quad \angle A &= 135^\circ\end{aligned}

חילוק ב-44

המלכודת: לחלק 180∘180^\circ ב-33. יש ארבעה חלקים שווים: שלושה ב-∠A\angle A ואחד ב-∠C\angle C.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ABCD

איזה מהמרובעים הבאים אפשר תמיד לחסום במעגל?

  1. מלבן
  2. דלתון
  3. מעוין
  4. מקבילית
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א מלבן

הפתרון:

90∘+90∘=180∘90^\circ + 90^\circ = 180^\circ

במלבן כל שתי זוויות נגדיות ישרות, וסכומן 180∘180^\circ

⇒ חסום\Rightarrow \ \text{חסום}

מרובע שבו סכום זוג זוויות נגדיות 180∘180^\circ אפשר לחסום במעגל

הנכונה: מלבן. במעוין ובמקבילית זוויות נגדיות שוות, והסכום 180∘180^\circ רק כשהן ישרות. המלכודת: לבחור במעוין בגלל הצלעות השוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

OABC

במשולש ABCABC נתון ∠C=90∘\angle C = 90^\circ, AC=8AC = 8 ו-BC=15BC = 15. מהו רדיוס המעגל החוסם את המשולש?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8.5

הפתרון:

AB=82+152=17\begin{aligned}AB &= \sqrt{8^2 + 15^2} \\ &= 17\end{aligned}

פיתגורס

AB קוטרAB\ \text{קוטר}

זווית היקפית בת 90∘90^\circ נשענת על קוטר

R=172=8.5\begin{aligned}R &= \frac{17}{2} \\ &= 8.5\end{aligned}

הרדיוס הוא חצי קוטר

המלכודת: לענות 1717. היתר הוא הקוטר, לא הרדיוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ABCD

הוכיחו או הפריכו: טרפז שווה שוקיים אפשר תמיד לחסום במעגל.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

∠A+∠D=180∘\angle A + \angle D = 180^\circ

זוויות חד-צדדיות בין הבסיסים המקבילים

∠D=∠C\angle D = \angle C

בטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות

∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ

הצבה; ולכן המרובע חסום במעגל לפי המשפט ההפוך

נכון. המלכודת: לחשוב שרק מרובע עם זוויות ישרות חסום. מספיק שזוג זוויות נגדיות משלים ל-180∘180^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

80°?ABCDE

המרובע ABCDABCD חסום במעגל. ממשיכים את הצלע DCDC מעבר ל-CC עד הנקודה EE, ו-∠BCE=80∘\angle BCE = 80^\circ. חשבו את ∠BAD\angle BAD.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 80

הפתרון:

∠BCD=180∘−80∘=100∘\begin{aligned}\angle BCD &= 180^\circ - 80^\circ \\ &= 100^\circ\end{aligned}

זוויות צמודות משלימות ל-180∘180^\circ

∠BAD=180∘−100∘=80∘\begin{aligned}\angle BAD &= 180^\circ - 100^\circ \\ &= 80^\circ\end{aligned}

במרובע חסום במעגל סכום זוויות נגדיות 180∘180^\circ

יוצא ש-∠BAD=∠BCE\angle BAD = \angle BCE: הזווית החיצונית שווה לזווית הפנימית שמולה. המלכודת: לענות 100∘100^\circ ולעצור באמצע הדרך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

OABCD

במרובע ABCDABCD נתון ∠ABC=∠ADC=90∘\angle ABC = \angle ADC = 90^\circ, ואורך האלכסון ACAC הוא 1010. מהו רדיוס המעגל שעובר דרך ארבעת הקודקודים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

∠B+∠D=180∘\angle B + \angle D = 180^\circ

ולכן ABCDABCD חסום במעגל, לפי המשפט ההפוך

AC קוטרAC\ \text{קוטר}

זווית היקפית בת 90∘90^\circ נשענת על קוטר

R=102=5\begin{aligned}R &= \frac{10}{2} \\ &= 5\end{aligned}

הרדיוס הוא חצי קוטר

המלכודת: לחפש את אורכי הצלעות. הן לא נחוצות: האלכסון שמול הזוויות הישרות הוא קוטר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

110°30°?ABCD

המרובע ABCDABCD חסום במעגל. נתון ∠ADC=110∘\angle ADC = 110^\circ ו-∠BAC=30∘\angle BAC = 30^\circ. חשבו את ∠ACB\angle ACB.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 80

הפתרון:

∠ABC=180∘−110∘=70∘\begin{aligned}\angle ABC &= 180^\circ - 110^\circ \\ &= 70^\circ\end{aligned}

במרובע חסום במעגל סכום זוויות נגדיות 180∘180^\circ

∠ACB=180∘−70∘−30∘=80∘\begin{aligned}\angle ACB &= 180^\circ - 70^\circ - 30^\circ \\ &= 80^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש ABCABC

המלכודת: לחסר 110∘110^\circ ישירות במשולש ABCABC. הזווית ∠ADC\angle ADC אינה במשולש הזה; קודם עוברים לזווית שמולה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

OABCD

במרובע ABCDABCD נתון ∠ABC=90∘\angle ABC = 90^\circ ו-∠ADC=90∘\angle ADC = 90^\circ. הוכיחו: אפשר לחסום את ABCDABCD במעגל, ו-ACAC הוא קוטר של המעגל.

  • ∠ABC=90∘\angle ABC = 90^\circ
  • ∠ADC=90∘\angle ADC = 90^\circ

ABCDABCD חסום במעגל, ו-ACAC קוטר

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠ABC+∠ADC=180∘\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ — חיבור שתי הזוויות הנתונות
  2. ABCDABCD חסום במעגל — מרובע שבו סכום זוג זוויות נגדיות 180∘180^\circ אפשר לחסום במעגל
  3. ACAC קוטר — זווית היקפית בת 90∘90^\circ נשענת על קוטר

הפתרון:

∠ABC+∠ADC=180∘\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ

חיבור שתי הזוויות הנתונות

ABCD חסוםABCD\ \text{חסום}

מרובע שבו סכום זוג זוויות נגדיות 180∘180^\circ אפשר לחסום במעגל

AC קוטרAC\ \text{קוטר}

זווית היקפית בת 90∘90^\circ נשענת על קוטר

המלכודת: לנמק את השורה השנייה במשפט הישר, «במרובע חסום סכום זוויות נגדיות 180∘180^\circ». כאן הולכים בכיוון ההפוך: מהסכום אל המעגל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ABCD

מיינו: איזה מרובע אפשר תמיד לחסום במעגל, ואיזה לא תמיד?

  • תמיד חסום
  • לא תמיד
  • דלתון
  • טרפז שווה שוקיים
  • מלבן
  • מעוין
  • מקבילית
  • ריבוע
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מלבן — תמיד חסום · ריבוע — תמיד חסום · טרפז שווה שוקיים — תמיד חסום · מעוין — לא תמיד · מקבילית — לא תמיד · דלתון — לא תמיד

הפתרון:

90∘+90∘=180∘90^\circ + 90^\circ = 180^\circ

במלבן ובריבוע זוויות נגדיות ישרות

∠A+∠C=180∘\angle A + \angle C = 180^\circ

בטרפז שווה שוקיים: זווית בסיס שווה לזווית הבסיס השנייה, וחד-צדדיות משלימות

מעוין ומקבילית חסומים רק כשהם ריבוע או מלבן. דלתון חסום רק כשזוג הזוויות הנגדיות השוות ישרות. המלכודת: «ארבע צלעות שוות» אינו תנאי למרובע חסום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת