משיק, היקף ושטח · המעגל · כיתה י״א

גלגל של אופניים נוגע בכביש בנקודה אחת בלבד. הכביש הוא משיק לגלגל: ישר שיש לו נקודה משותפת אחת בלבד עם המעגל. החישור שיורד מציר הגלגל אל נקודת המגע עומד ישר על הכביש. בשרטוט: $OA$ רדיוס, והישר $t$ משיק למעגל בנקודה $A$ .

המשיק

t

והרדיוס

OA

נפגשים בזווית ישרה, בנקודת ההשקה

A

t \perp OA

המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.

t \perp OA \ \Rightarrow \ t\ \text{משיק}

והמשפט ההפוך: ישר המאונך לרדיוס בקצהו שעל המעגל הוא משיק.

כמה שווה המרחק מהמרכז $O$ אל המשיק $t$ ?

להציג את התשובה והפתרון

הרדיוס. מרחק מנקודה לישר נמדד לאורך האנך, והאנך מ- $O$ אל המשיק הוא בדיוק $OA$ .

פיתגורס עם משיק

מנקודה $P$ שמחוץ למעגל מעבירים משיק $PA$ . המשולש $OAP$ ישר זווית ב- $A$ , והיתר שלו הוא $OP$ :

OP^2 = r^2 + PA^2

אורך המשיק

רדיוס המעגל $6$ , והמרחק מהנקודה $P$ אל המרכז הוא $10$ . מהו אורך המשיק $PA$ ?

\angle OAP = 90^\circ

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

10^2 = 6^2 + PA^2

פיתגורס; $OP$ הוא היתר

\begin{aligned}PA^2 &= 64 \ \Rightarrow \ PA \\ &= 8\end{aligned}

אורך המשיק

היקף המעגל ושטח העיגול

P = 2\pi r

היקף המעגל: אורך הקו העגול.

S = \pi r^2

שטח העיגול: השטח שהמעגל סוגר.

גלגל שהרדיוס שלו $35$ ס״מ עושה סיבוב אחד שלם על הכביש. כמה ס״מ הוא מתקדם? הביעו באמצעות $\pi$ .

להציג את התשובה והפתרון

$70\pi$ ס״מ, בערך $220$ ס״מ. בסיבוב אחד הגלגל מתקדם בדיוק היקף אחד: $2\pi \cdot 35$ .

בבגרות כותבים תשובה מדויקת עם $\pi$ , למשל $36\pi$ , אלא אם מבקשים לעגל. ואם נתון קוטר, מחלקים ב- $2$ לפני שמציבים ב- $\pi r^2$ .

שתי טעויות במשיק ובשטח.

OA^2 = OP^2 + PA^2

OP^2 = OA^2 + PA^2

הזווית הישרה היא ב- $A$ , ולכן היתר הוא $OP$ , הצלע שמולה.

\begin{aligned}d &= 10 \ \Rightarrow \ S \\ &= 100\pi\end{aligned}

\begin{aligned}r &= 5 \ \Rightarrow \ S \\ &= 25\pi\end{aligned}

הנוסחה היא עם רדיוס. קוטר $10$ נותן רדיוס $5$ .

תרגילים

תרגיל 1

$PA$ משיק למעגל שמרכזו $O$ בנקודה $A$ . רדיוס המעגל $5$ , ו- $OP = 13$ . מהו אורך המשיק $PA$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\angle OAP = 90^\circ

המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

13^2 = 5^2 + PA^2

פיתגורס במשולש $OAP$ ; $OP$ הוא היתר

\begin{aligned}PA^2 &= 144 \ \Rightarrow \ PA \\ &= 12\end{aligned}

אורך המשיק

המלכודת: $PA^2 = 13^2 + 5^2$ . היתר הוא $OP$ , כי הוא מול הזווית הישרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

$AB$ קוטר של מעגל, והישר $BP$ משיק למעגל בנקודה $B$ . נתון $\angle PAB = 32^\circ$ . חשבו את $\angle APB$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 58

הפתרון:

\angle ABP = 90^\circ

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, ו- $AB$ עובר דרך המרכז

\begin{aligned}\angle APB &= 180^\circ - 90^\circ - 32^\circ \\ &= 58^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש $ABP$

המלכודת: לחפש זווית היקפית. $P$ אינה על המעגל; הזווית הישרה באה מהמשיק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

רדיוס המעגל $7$ . היקף המעגל הוא $k\pi$ . מהו $k$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14

הפתרון:

\begin{aligned}P &= 2\pi r \\ &= 2\pi \cdot 7 \\ &= 14\pi\end{aligned}

היקף המעגל

המלכודת: $\pi r^2 = 49\pi$ . זו נוסחת השטח, לא ההיקף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

רדיוס המעגל $6$ . שטח העיגול הוא $k\pi$ . מהו $k$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36

הפתרון:

\begin{aligned}S &= \pi r^2 \\ &= \pi \cdot 6^2 \\ &= 36\pi\end{aligned}

שטח העיגול

המלכודת: $12\pi$ . זה ההיקף. בשטח הרדיוס בריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

היקף המעגל $20\pi$ . שטח העיגול הוא $k\pi$ . מהו $k$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 100

הפתרון:

\begin{aligned}2\pi r &= 20\pi \ \Rightarrow \ r \\ &= 10\end{aligned}

מההיקף מוצאים את הרדיוס

\begin{aligned}S &= \pi \cdot 10^2 \\ &= 100\pi\end{aligned}

שטח העיגול

המלכודת: להציב $20$ ברדיוס. קודם מוצאים את $r$ מההיקף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

קוטר של חצי עיגול הוא $AB = 12$ . שטח חצי העיגול הוא $k\pi$ . מהו $k$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18

הפתרון:

\begin{aligned}r &= \frac{12}{2} \\ &= 6\end{aligned}

הרדיוס הוא חצי קוטר

\begin{aligned}S &= \frac{\pi \cdot 6^2}{2} \\ &= 18\pi\end{aligned}

חצי משטח העיגול

שתי מלכודות: להציב $12$ ברדיוס ( $144\pi$ ), או לשכוח לחלק ב- $2$ ( $36\pi$ ).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

רדיוס המעגל $5$ . המרחקים מהמרכז $O$ אל הישרים $a$ , $b$ ו- $c$ הם $3$ , $5$ ו- $7$ , בהתאמה. איזה ישר משיק למעגל?

הישר $a$
הישר $c$
הישר $b$
אף אחד מהם

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג הישר $b$

הפתרון:

d(O, a) = 3 < 5

$a$ חותך את המעגל בשתי נקודות

\begin{aligned}d(O, b) &= 5 \\ &= r\end{aligned}

המרחק שווה לרדיוס: $b$ משיק

d(O, c) = 7 > 5

$c$ לא נוגע במעגל

הנכונה: הישר $b$ . המלכודת: לבחור בישר הקרוב ביותר. ישר קרוב מדי חותך את המעגל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

$PA$ משיק למעגל שמרכזו $O$ בנקודה $A$ . אורך המשיק $PA = 15$ , ו- $OP = 17$ . מהו רדיוס המעגל?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\angle OAP = 90^\circ

המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

17^2 = r^2 + 15^2

פיתגורס במשולש $OAP$

\begin{aligned}r^2 &= 64 \ \Rightarrow \ r \\ &= 8\end{aligned}

הרדיוס

המלכודת: $r = 17 - 15 = 2$ . אורכים במשולש ישר זווית לא מחסרים ישירות; מחסרים ריבועים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הוכיחו או הפריכו: כל ישר המאונך לרדיוס הוא משיק למעגל.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

OM = \frac{r}{2} < r

דוגמה נגדית: הישר $CE$ מאונך לרדיוס $OA$ באמצע שלו, $M$

\Rightarrow \ CE\ \text{חותך}

המרחק מהמרכז קטן מהרדיוס, ולכן הישר חותך את המעגל בשתי נקודות

לא נכון. המשפט ההפוך דורש שהישר יהיה מאונך לרדיוס בקצה שלו שעל המעגל. המלכודת: לשכוח את שתי המילים «בקצה שלו».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

רדיוס המעגל $4$ . חשבו את שטח העיגול. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 50.27

הפתרון:

\begin{aligned}S &= \pi \cdot 4^2 \\ &= 16\pi\end{aligned}

שטח העיגול, בדיוק

16\pi \approx 50.27

ורק בסוף מעגלים

המלכודת: לעגל את $\pi$ ל- $3.14$ באמצע ולקבל $50.24$ . מעגלים רק את התוצאה הסופית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

פיתגורס עם משיק

היקף המעגל ושטח העיגול

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev