פותרים יחד · המעגל · כיתה י״א

ארבע שאלות בנוסח שאלת הגאומטריה של הבגרות, אחת לכל רעיון של הפרק: זווית על קוטר, מרובע חסום, משיק ורדיוס, ומיתר עם האנך מהמרכז. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

בבגרות כל שורה בהוכחה היא טענה ונימוק. הנימוק הוא שם של משפט, לא «רואים בשרטוט». לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם איזה משפט אתם הייתם כותבים.

משפטי המעגל, לניסוח הנימוקים. הקלידו היקפית, משיק או מיתר, והרשימה תצטמצם. חלק מהמשפטים ברשימה אינם בחומר של 4 יח״ל השנה, למשל שני משיקים מנקודה אחת.

1 — זווית על קוטר, פיתגורס ושטח

פעילות אינטראקטיבית

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $5$ . הנקודה $C$ על המעגל, ו- $AC = 6$ . א. הוכיחו ש- $\angle ACB = 90^\circ$ . ב. חשבו את $BC$ . ג. חשבו את שטח המשולש $ABC$ ואת הגובה $CD$ לצלע $AB$ .

\begin{aligned}AB &= 2 \cdot 5 \\ &= 10 \\ \quad AC &= 6\end{aligned}

לחצו «להתחיל». המילה קוטר בשאלה היא הרמז הראשון: היא מבטיחה זווית ישרה.

א. זווית

\angle ACB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה.

ב. פיתגורס

\begin{aligned}BC &= \sqrt{10^2 - 6^2} \\ &= 8\end{aligned}

הקוטר $AB = 10$ הוא היתר של המשולש $ABC$ .

ג. שטח

\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{6 \cdot 8}{2} \\ &= 24\end{aligned}

במשולש ישר זווית, שני הניצבים הם בסיס וגובה.

ג. גובה

\begin{aligned}\frac{10 \cdot CD}{2} &= 24 \ \Rightarrow \ CD \\ &= 4.8\end{aligned}

אותו שטח, והפעם הבסיס הוא $AB$ .

הקוטר הפך שאלה על מעגל לשאלה על משולש ישר זווית. מכאן והלאה זה פיתגורס ושטח, כמו בכיתה י.

לעשות את הפעילות ב-elev

היכן נמצאת הנקודה $D$ : בין $A$ ל- $O$ , או בין $O$ ל- $B$ ?

להציג את התשובה והפתרון

בין $A$ ל- $O$ . במשולש $ACD$ : $AD = \sqrt{6^2 - 4.8^2} = 3.6$ , וזה פחות מהרדיוס $5$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — מרובע חסום עם קוטר

פעילות אינטראקטיבית

מרובע חסום, ואלכסון שהוא קוטר

המרובע $ABCD$ חסום במעגל, והאלכסון $AC$ הוא קוטר. $\angle BAC = 35^\circ$ ו- $\angle DAC = 20^\circ$ . חשבו את $\angle BCD$ .

$125^\circ$

$55^\circ$

$145^\circ$

$90^\circ$

מה ידוע על $\angle ABC$ ?

$\angle ABC = 90^\circ$ : זווית היקפית על הקוטר $AC$

להציג את התשובה והפתרון

$AC$ קוטר, ו- $B$ על המעגל.

$\angle ABC = 70^\circ$ : פי שניים מ- $35^\circ$

להציג את התשובה והפתרון

הכפלה מתאימה לזווית מרכזית, ו- $B$ אינה במרכז.

\angle ABC = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

מהי הדרך הקצרה אל $\angle BCD$ ?

דרך הזווית הנגדית לה, $\angle BAD$

להציג את התשובה והפתרון

במרובע חסום במעגל זוויות נגדיות משלימות ל- $180^\circ$ .

מחברים $35^\circ + 20^\circ$ , וזו התשובה

להציג את התשובה והפתרון

הסכום הזה הוא $\angle BAD$ , לא $\angle BCD$ .

\begin{aligned}\angle BAD &= 35^\circ + 20^\circ \\ &= 55^\circ\end{aligned}

הזווית ב- $A$ מורכבת משני חלקים

כמה מעלות בזווית $\angle BCD$ ?

$180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$

להציג את התשובה והפתרון

זוויות נגדיות במרובע חסום.

$90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$

להציג את התשובה והפתרון

זו רק $\angle ACB$ , חלק אחד של $\angle BCD$ .

\begin{aligned}\angle BCD &= 180^\circ - 55^\circ \\ &= 125^\circ\end{aligned}

משלימה ל- $180^\circ$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle BCD = 125^\circ$ . בדיקה: $\angle ACB = 55^\circ$ ו- $\angle ACD = 70^\circ$ , ויחד $125^\circ$ . התשובה $55^\circ$ היא רק $\angle ACB$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

חשבו את $\angle ACD$ בדרך אחרת: דרך המשולש $ACD$ .

להציג את התשובה והפתרון

$70^\circ$ . גם $\angle ADC = 90^\circ$ , כי היא נשענת על הקוטר, ולכן $\angle ACD = 90^\circ - 20^\circ$ . ו- $55^\circ + 70^\circ = 125^\circ$ , כמו קודם.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — משיק, רדיוס ומשוואה

פעילות אינטראקטיבית

$PA$ משיק למעגל שמרכזו $O$ בנקודה $A$ . הישר $PO$ חותך את המעגל בנקודה $B$ , הנמצאת בין $P$ ל- $O$ . נתון $PA = 12$ ו- $PB = 8$ . א. מצאו את רדיוס המעגל. ב. חשבו את שטח המשולש $OAP$ .

\begin{aligned}PA &= 12 \\ \quad PB &= 8 \\ \quad OA &= OB \\ &= r\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הרדיוס לא ידוע, ולכן מסמנים אותו $r$ ובונים משוואה.

זווית ישרה

\angle OAP = 90^\circ

המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.

היתר

\begin{aligned}OP &= OB + BP \\ &= r + 8\end{aligned}

$OB$ רדיוס, ו- $B$ בין $P$ ל- $O$ .

פיתגורס

(r + 8)^2 = r^2 + 12^2

במשולש $OAP$ היתר הוא $OP$ .

א. פותרים

\begin{aligned}16r + 64 &= 144 \ \Rightarrow \ r \\ &= 5\end{aligned}

$r^2$ מופיע בשני האגפים ומתבטל.

ב. שטח

\begin{aligned}S_{OAP} &= \frac{5 \cdot 12}{2} \\ &= 30\end{aligned}

הניצבים הם $OA$ ו- $PA$ .

שאלת משיק כמעט תמיד נגמרת בפיתגורס במשולש $OAP$ . הזווית הישרה היא ב- $A$ , לא ב- $O$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

מהו האורך $OP$ , ואיך בודקים את התשובה?

להציג את התשובה והפתרון

$OP = 5 + 8 = 13$ . בדיקה: $5^2 + 12^2 = 169 = 13^2$ ✓

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — מיתר, האנך מהמרכז ושוויון קטעים

פעילות אינטראקטיבית

במעגל שמרכזו $O$ , המיתר $AB$ שאורכו $16$ נמצא במרחק $6$ מהמרכז. $M$ היא אמצע $AB$ . ממשיכים את $OM$ עד שהוא פוגש את המעגל בנקודה $D$ , על הקשת הקטנה $AB$ . א. מצאו את רדיוס המעגל. ב. הוכיחו ש- $AD = BD$ . ג. חשבו את $AD$ .

\begin{aligned}AB &= 16 \\ \quad OM &= 6\end{aligned}

לחצו «להתחיל». $M$ אמצע המיתר, ולכן הקטע $OM$ מאונך למיתר.

א. אנך

\begin{aligned}OM \perp AB \\ \quad AM &= 8\end{aligned}

קטע ממרכז המעגל שחוצה מיתר מאונך למיתר.

א. רדיוס

\begin{aligned}r &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= 10\end{aligned}

פיתגורס במשולש $OMA$ .

ב. אנך אמצעי

\begin{aligned}DM \perp AB \\ \quad AM &= MB\end{aligned}

הישר $DM$ מאונך ל- $AB$ ועובר דרך האמצע שלו: זה האנך האמצעי.

ב. מסקנה

AD = BD

כל נקודה על האנך האמצעי של קטע נמצאת במרחק שווה מקצות הקטע.

ג. הקטע MD

\begin{aligned}MD &= OD - OM \\ &= 10 - 6 \\ &= 4\end{aligned}

$OD$ הוא רדיוס.

ג. פיתגורס

\begin{aligned}AD &= \sqrt{8^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{80} \\ &= 4\sqrt{5}\end{aligned}

פיתגורס במשולש $AMD$ ; תשובה מדויקת.

בשאלה אחת פעלו שלושה משפטים: האנך מהמרכז, פיתגורס, והאנך האמצעי. בכל שלב שם המשפט נכתב ליד הטענה.

לעשות את הפעילות ב-elev

למה אי אפשר לענות $AD = 10$ ?

להציג את התשובה והפתרון

כי $AD$ אינו רדיוס. $A$ ו- $D$ שתיהן על המעגל, ולכן $AD$ הוא מיתר. רק קטע שיוצא מ- $O$ הוא רדיוס.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה. ושאלה 5 מסכמת: משולש ישר זווית בתוך מעגל, ושטח העיגול.

תרגילים

תרגיל 1

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $13$ . הנקודה $C$ על המעגל, ו- $AC = 10$ . חשבו את $BC$ ואת שטח המשולש $ABC$ .

$BC =$ ____ , $S_{ABC} =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $BC =$ 24 , $S_{ABC} =$ 120

הפתרון:

\angle ACB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

\begin{aligned}BC &= \sqrt{26^2 - 10^2} \\ &= 24\end{aligned}

פיתגורס; הקוטר $AB = 26$ הוא היתר

\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{10 \cdot 24}{2} \\ &= 120\end{aligned}

שטח משולש ישר זווית: מכפלת הניצבים חלקי $2$

המלכודת: להציב את הרדיוס $13$ כיתר. היתר הוא הקוטר, $26$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

המרובע $ABCD$ חסום במעגל, והאלכסון $AC$ הוא קוטר. $\angle BAC = 40^\circ$ ו- $\angle DAC = 25^\circ$ . חשבו את $\angle BCD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 115

הפתרון:

\begin{aligned}\angle BAD &= 40^\circ + 25^\circ \\ &= 65^\circ\end{aligned}

הזווית ב- $A$ מורכבת משני חלקים

\begin{aligned}\angle BCD &= 180^\circ - 65^\circ \\ &= 115^\circ\end{aligned}

במרובע חסום במעגל סכום זוויות נגדיות $180^\circ$

בדיקה: $\angle ACB = 50^\circ$ ו- $\angle ACD = 65^\circ$ , יחד $115^\circ$ . המלכודת: לעצור ב- $\angle ACB$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

$PA$ משיק למעגל שמרכזו $O$ בנקודה $A$ . הישר $PO$ חותך את המעגל בנקודה $B$ , הנמצאת בין $P$ ל- $O$ . נתון $PA = 15$ ו- $PB = 9$ . מצאו את רדיוס המעגל.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\angle OAP = 90^\circ

המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

(r + 9)^2 = r^2 + 15^2

פיתגורס במשולש $OAP$ , ו- $OP = r + 9$

\begin{aligned}18r + 81 &= 225 \ \Rightarrow \ r \\ &= 8\end{aligned}

$r^2$ מתבטל

בדיקה: $OP = 17$ , ו- $8^2 + 15^2 = 289 = 17^2$ ✓. המלכודת: $OP = 9$ . הקטע $PB$ הוא רק החלק שמחוץ למעגל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במעגל שמרכזו $O$ , המיתר $AB$ שאורכו $24$ נמצא במרחק $5$ מהמרכז. $M$ אמצע $AB$ , וההמשך של $OM$ פוגש את המעגל בנקודה $D$ שעל הקשת הקטנה $AB$ . מהו אורך $AD$ ?

$6\sqrt{13}$
$8$
$13$
$4\sqrt{13}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $4\sqrt{13}$

הפתרון:

\begin{aligned}r &= \sqrt{5^2 + 12^2} \\ &= 13\end{aligned}

האנך מהמרכז חוצה את המיתר; פיתגורס במשולש $OMA$

\begin{aligned}MD &= 13 - 5 \\ &= 8\end{aligned}

$OD$ רדיוס

\begin{aligned}AD &= \sqrt{12^2 + 8^2} \\ &= \sqrt{208} \\ &= 4\sqrt{13}\end{aligned}

פיתגורס במשולש $AMD$

הנכונה: $4\sqrt{13}$ . $6\sqrt{13}$ מתקבל כשמחברים $MD = 13 + 5$ ; $13$ הוא הרדיוס; $8$ הוא $MD$ עצמו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

משולש ישר זווית, שאורכי הניצבים שלו $5$ ו- $12$ , חסום במעגל. שטח העיגול הוא $k\pi$ . מהו $k$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 42.25

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= \sqrt{5^2 + 12^2} \\ &= 13\end{aligned}

פיתגורס: היתר

\begin{aligned}R &= \frac{13}{2} \\ &= 6.5\end{aligned}

זווית היקפית בת $90^\circ$ נשענת על קוטר: היתר הוא קוטר

\begin{aligned}S &= \pi \cdot 6.5^2 \\ &= 42.25\pi\end{aligned}

שטח העיגול

המלכודת: $169\pi$ , כשמציבים את הקוטר במקום הרדיוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — זווית על קוטר, פיתגורס ושטח

2 — מרובע חסום עם קוטר

3 — משיק, רדיוס ומשוואה

4 — מיתר, האנך מהמרכז ושוויון קטעים

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev