סדרה 2 — בינוני · המעגל · כיתה י״א

עשר שאלות בינוניות. כמעט בכל שאלה שני משפטים ברצף: משולש שווה שוקיים ואחריו זווית היקפית, מיתר ואחריו פיתגורס, משיק ואחריו חיסור זוויות.

כשהשאלה לא נפתרת במשפט אחד, חפשו משולש שווה שוקיים של שני רדיוסים, או זווית ישרה של קוטר או של משיק. אלה שתי הדלתות של הפרק.

תרגילים

תרגיל 1

במעגל שמרכזו $O$ נתון המיתר $AB$ , ו- $\angle OAB = 28^\circ$ . הנקודה $C$ על הקשת הגדולה $AB$ . חשבו את $\angle ACB$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 62

הפתרון:

\angle OBA = 28^\circ

$OA = OB$ רדיוסים; במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות

\begin{aligned}\angle AOB &= 180^\circ - 56^\circ \\ &= 124^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש $OAB$

\angle ACB = 62^\circ

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת

המלכודת: לענות $28^\circ$ או $56^\circ$ . $\angle OAB$ אינה זווית היקפית: הקודקוד שלה על המעגל, אבל $OA$ אינו מיתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במעגל שרדיוסו $13$ נתונים שני מיתרים מקבילים, $AB = 24$ ו- $CD = 10$ . המרכז נמצא בין המיתרים. מהו המרחק בין שני המיתרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 17

הפתרון:

\begin{aligned}OM &= \sqrt{13^2 - 12^2} \\ &= 5\end{aligned}

האנך חוצה את $AB$ ; פיתגורס

\begin{aligned}ON &= \sqrt{13^2 - 5^2} \\ &= 12\end{aligned}

האנך חוצה את $CD$ ; פיתגורס

\begin{aligned}MN &= 5 + 12 \\ &= 17\end{aligned}

המרכז בין המיתרים: מחברים

המלכודת: $12 - 5 = 7$ . מחסרים רק כששני המיתרים באותו צד של המרכז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

המרובע $ABCD$ חסום במעגל, והיחס בין הזוויות הנגדיות הוא $\angle A : \angle C = 2 : 3$ . חשבו את $\angle C$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 108

הפתרון:

\angle A + \angle C = 180^\circ

במרובע חסום במעגל סכום זוויות נגדיות $180^\circ$

\begin{aligned}2k + 3k &= 180^\circ \ \Rightarrow \ k \\ &= 36^\circ\end{aligned}

חמישה חלקים שווים

\begin{aligned}\angle C &= 3 \cdot 36^\circ \\ &= 108^\circ\end{aligned}

שלושה חלקים

המלכודת: לחלק $360^\circ$ לחמישה. רק שתי זוויות נגדיות, וסכומן $180^\circ$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

$AB$ קוטר של מעגל, $C$ נקודה על המעגל, $AC = 9$ ו- $BC = 12$ . מהו רדיוס המעגל?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.5

הפתרון:

\angle ACB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

\begin{aligned}AB &= \sqrt{9^2 + 12^2} \\ &= 15\end{aligned}

פיתגורס

\begin{aligned}r &= \frac{15}{2} \\ &= 7.5\end{aligned}

הרדיוס הוא חצי קוטר

המלכודת: $r = 15$ . פיתגורס נתן את הקוטר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

$PA$ משיק למעגל שמרכזו $O$ בנקודה $A$ . הנקודה $B$ על המעגל, באותו צד של $OA$ כמו $P$ , ו- $\angle AOB = 70^\circ$ . חשבו את $\angle PAB$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 35

הפתרון:

\begin{aligned}\angle OAB &= \frac{180^\circ - 70^\circ}{2} \\ &= 55^\circ\end{aligned}

$OA = OB$ רדיוסים; זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות

\angle OAP = 90^\circ

המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

\begin{aligned}\angle PAB &= 90^\circ - 55^\circ \\ &= 35^\circ\end{aligned}

חיסור זוויות

יוצא בדיוק חצי מ- $\angle AOB$ . המלכודת: לעצור ב- $55^\circ$ , שהיא $\angle OAB$ ולא $\angle PAB$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

המרובע $ABCD$ חסום במעגל. האלכסון $BD$ יוצר את הזוויות $\angle ABD = 25^\circ$ ו- $\angle DBC = 40^\circ$ . כמה מעלות בזווית $\angle ADC$ ?

$65^\circ$
$130^\circ$
$50^\circ$
$115^\circ$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $115^\circ$

הפתרון:

\begin{aligned}\angle ABC &= 25^\circ + 40^\circ \\ &= 65^\circ\end{aligned}

הזווית ב- $B$ מורכבת משני חלקים

\begin{aligned}\angle ADC &= 180^\circ - 65^\circ \\ &= 115^\circ\end{aligned}

במרובע חסום במעגל סכום זוויות נגדיות $180^\circ$

הנכונה: $115^\circ$ . $65^\circ$ היא $\angle ABC$ עצמה; $130^\circ$ ו- $50^\circ$ באים מהכפלה, שמתאימה לזווית מרכזית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

המלבן $ABCD$ , שאורכי הצלעות שלו $6$ ו- $8$ , חסום במעגל. שטח העיגול הוא $k\pi$ . מהו $k$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

\begin{aligned}AC &= \sqrt{6^2 + 8^2} \\ &= 10\end{aligned}

פיתגורס במשולש $ABC$

\begin{aligned}AC\ \text{קוטר} \\ \quad r &= 5\end{aligned}

זווית היקפית בת $90^\circ$ נשענת על קוטר: האלכסון הוא קוטר

\begin{aligned}S &= \pi \cdot 5^2 \\ &= 25\pi\end{aligned}

שטח העיגול

המלכודת: $100\pi$ , כשמציבים את האלכסון כרדיוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

$PA$ משיק למעגל שמרכזו $O$ בנקודה $A$ . רדיוס המעגל $7$ ו- $OP = 25$ . חישבו את $PA$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

\angle OAP = 90^\circ

PA^2 = 25^2 + 7^2

PA^2 = 674

PA \approx 25.96

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $PA^2 = 25^2 + 7^2$ → $PA^2 = 25^2 - 7^2 = 576$

הפתרון:

OP^2 = OA^2 + PA^2

$OP$ מול הזווית הישרה, ולכן הוא היתר

\begin{aligned}PA &= \sqrt{625 - 49} \\ &= 24\end{aligned}

מחסרים את ריבוע הניצב מריבוע היתר

המשיק $PA$ הוא ניצב, ולכן הוא קצר מהיתר $OP$ . תשובה ארוכה מ- $25$ היא סימן לטעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הוכיחו או הפריכו: במעגל שרדיוסו $10$ יש מיתר שאורכו $22$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

2r = 20

הקוטר הוא המיתר הארוך ביותר במעגל

22 > 20

ולכן אין מיתר שאורכו $22$

לא נכון. המלכודת: לחשוב שמיתר יכול להיות כל אורך. הקוטר, $2r$ , הוא התקרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $10$ נתון מיתר $AB = 16$ . $M$ היא אמצע $AB$ , וההמשך של $OM$ פוגש את המעגל בנקודה $D$ שעל הקשת הקטנה. השלימו.

$OM =$ ____ , $MD =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $OM =$ 6 , $MD =$ 4

הפתרון:

\begin{aligned}OM \perp AB \\ \quad AM &= 8\end{aligned}

קטע ממרכז המעגל שחוצה מיתר מאונך למיתר

\begin{aligned}OM &= \sqrt{10^2 - 8^2} \\ &= 6\end{aligned}

פיתגורס במשולש $OMA$

\begin{aligned}MD &= OD - OM \\ &= 10 - 6 \\ &= 4\end{aligned}

$OD$ רדיוס

המלכודת: $MD = 10$ . רק $OD$ הוא רדיוס; $MD$ הוא החלק שנשאר אחרי $OM$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev