סדרה 3 — לקראת הבגרות · המעגל · כיתה י״א

שלוש שאלות בנוסח שאלת הגאומטריה של הבגרות, כל אחת מפורקת לסעיפים. כל סעיף הוא תרגיל נפרד, עם אותו נתון בראשו. סעיף מאוחר משתמש בתוצאה של סעיף קודם, כמו בבחינה.

בבחינה סעיף שלא הצלחתם בו לא עוצר אתכם: מותר להשתמש בטענה של סעיף קודם גם בלי להוכיח אותה. ובכל הוכחה, טענה ונימוק בכל שורה.

תרגילים

תרגיל 1

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ , ו- $AB = 10$ . הישר $BD$ משיק למעגל בנקודה $B$ . הנקודה $C$ על המעגל, ו- $AC = 8$ . ההמשך של $AC$ פוגש את המשיק בנקודה $D$ . א. הוכיחו: $BC \perp AD$ .

$AB$ קוטר
$C$ על המעגל ועל הקטע $AD$

$BC \perp AD$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle ACB = 90^\circ$ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה
$BC \perp AD$ — $C$ על $AD$ , ולכן הזווית בין $BC$ ל- $AD$ היא $\angle ACB$

הפתרון:

\angle ACB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

BC \perp AD

$C$ על $AD$ , ולכן הזווית בין $BC$ ל- $AD$ היא $\angle ACB$

המלכודת: לנמק «המשיק מאונך לרדיוס». המשיק נותן זווית ישרה ב- $B$ , לא ב- $C$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ , ו- $AB = 10$ . הישר $BD$ משיק למעגל בנקודה $B$ . הנקודה $C$ על המעגל, ו- $AC = 8$ . ההמשך של $AC$ פוגש את המשיק בנקודה $D$ . ב. הוכיחו: $\triangle ACB \sim \triangle ABD$ .

$AB$ קוטר
$BD$ משיק בנקודה $B$
$C$ על המעגל ועל הקטע $AD$

$\triangle ACB \sim \triangle ABD$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle ACB = 90^\circ$ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה
$\angle ABD = 90^\circ$ — המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
$\angle CAB = \angle BAD$ — זווית משותפת לשני המשולשים
$\triangle ACB \sim \triangle ABD$ — ז.ז — שתי זוויות שוות בהתאמה

הפתרון:

\angle ACB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

\angle ABD = 90^\circ

המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

\angle CAB = \angle BAD

זווית משותפת לשני המשולשים

\triangle ACB \sim \triangle ABD

ז.ז — שתי זוויות שוות בהתאמה

שתי זוויות ישרות משני משפטים שונים: הקוטר נותן את $C$ , והמשיק נותן את $B$ . המלכודת: לכתוב את הדמיון בסדר קודקודים לא מתאים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ , ו- $AB = 10$ . הישר $BD$ משיק למעגל בנקודה $B$ . הנקודה $C$ על המעגל, ו- $AC = 8$ . ההמשך של $AC$ פוגש את המשיק בנקודה $D$ . ג. חשבו את $AD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12.5

הפתרון:

\frac{AC}{AB} = \frac{AB}{AD}

יחס צלעות מתאימות במשולשים הדומים מסעיף ב

\begin{aligned}\frac{8}{10} &= \frac{10}{AD} \ \Rightarrow \ AD \\ &= \frac{100}{8} \\ &= 12.5\end{aligned}

כפל בהצלבה

המלכודת: להתאים את $AC$ ל- $BD$ . $AC$ מול הזווית ב- $B$ במשולש $ACB$ , ולכן מתאים ל- $AB$ , שמול הזווית ב- $D$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

המרובע $ABCD$ חסום במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $5$ . האלכסון $AC$ הוא קוטר, ו- $AB = BC$ . א. חשבו את $\angle BAC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 45

הפתרון:

\angle ABC = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

\begin{aligned}\angle BAC &= \angle BCA \\ &= \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} \\ &= 45^\circ\end{aligned}

$AB = BC$ : במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות

המלכודת: להניח ש- $\angle ABC = 60^\circ$ כי שתי צלעות שוות. המשולש שווה שוקיים וגם ישר זווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

המרובע $ABCD$ חסום במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $5$ . האלכסון $AC$ הוא קוטר, ו- $AB = BC$ . ב. חשבו את $\angle ADB$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 45

הפתרון:

\angle ADB = \angle ACB

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת ( $AB$ ) שוות

\angle ACB = 45^\circ

מסעיף א

\begin{aligned}\angle ADC &= 90^\circ \ \Rightarrow \ \angle BDC \\ &= 45^\circ\end{aligned}

זווית היקפית על הקוטר $AC$ ; ולכן $DB$ חוצה את $\angle ADC$

המלכודת: לחפש זווית מרכזית. $D$ ו- $C$ על המעגל ורואות את אותה קשת $AB$ , לכן הזוויות שוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

המרובע $ABCD$ חסום במעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $5$ . האלכסון $AC$ הוא קוטר, ו- $AB = BC$ . ג. חשבו את שטח המשולש $ABC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

\begin{aligned}AC &= 2 \cdot 5 \\ &= 10\end{aligned}

הקוטר

\begin{aligned}OB \perp AC \\ \quad OB &= 5\end{aligned}

$AB = BC$ , ולכן $B$ על האנך האמצעי של $AC$ ; $OB$ רדיוס

\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{10 \cdot 5}{2} \\ &= 25\end{aligned}

בסיס כפול גובה חלקי $2$

דרך אחרת: $AB = BC = 5\sqrt{2}$ , ו- $\frac{5\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}}{2} = 25$ . המלכודת: לקחת את הרדיוס כבסיס ואת הקוטר כגובה, ולכפול פעמיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

$PA$ משיק למעגל שמרכזו $O$ בנקודה $A$ . הישר $PO$ חותך את המעגל בנקודות $B$ ו- $C$ , כאשר $B$ בין $P$ ל- $O$ . נתון $PA = 12$ ו- $PB = 6$ . א. מהי הזווית $\angle OAP$ , ומה הנימוק?

$45^\circ$ , כי המשולש $OAP$ שווה שוקיים
$90^\circ$ , כי המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
$90^\circ$ , כי זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה
אי אפשר לדעת בלי הרדיוס

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $90^\circ$ , כי המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

הפתרון:

\angle OAP = 90^\circ

המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

הנכונה: $90^\circ$ , כי המשיק מאונך לרדיוס. המלכודת: הנימוק של הקוטר. הוא נכון לזווית $\angle BAC$ , שהקודקוד שלה על המעגל ו- $BC$ קוטר, לא ל- $\angle OAP$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

$PA$ משיק למעגל שמרכזו $O$ בנקודה $A$ . הישר $PO$ חותך את המעגל בנקודות $B$ ו- $C$ , כאשר $B$ בין $P$ ל- $O$ . נתון $PA = 12$ ו- $PB = 6$ . ב. מצאו את רדיוס המעגל.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

OP = r + 6

$OB$ רדיוס, ו- $B$ בין $P$ ל- $O$

(r + 6)^2 = r^2 + 12^2

פיתגורס במשולש $OAP$ , שבו $\angle OAP = 90^\circ$

\begin{aligned}12r + 36 &= 144 \ \Rightarrow \ r \\ &= 9\end{aligned}

$r^2$ מתבטל

בדיקה: $OP = 15$ , ו- $9^2 + 12^2 = 225 = 15^2$ ✓. המלכודת: $OP = 6$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

$PA$ משיק למעגל שמרכזו $O$ בנקודה $A$ . הישר $PO$ חותך את המעגל בנקודות $B$ ו- $C$ , כאשר $B$ בין $P$ ל- $O$ . נתון $PA = 12$ ו- $PB = 6$ . ג. חשבו את שטח המשולש $OAP$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 54

הפתרון:

\begin{aligned}OA &= 9 \\ \quad PA &= 12\end{aligned}

מסעיף ב; שניהם ניצבים

\begin{aligned}S_{OAP} &= \frac{9 \cdot 12}{2} \\ &= 54\end{aligned}

שטח משולש ישר זווית

המלכודת: $\frac{15 \cdot 12}{2}$ . $OP$ הוא היתר, לא ניצב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

$PA$ משיק למעגל שמרכזו $O$ בנקודה $A$ . הישר $PO$ חותך את המעגל בנקודות $B$ ו- $C$ , כאשר $B$ בין $P$ ל- $O$ . נתון $PA = 12$ ו- $PB = 6$ . ד. הוכיחו: $\angle PAB = \angle OAC$ .

$PA$ משיק בנקודה $A$
$BC$ קוטר
$B$ בין $P$ ל- $O$

$\angle PAB = \angle OAC$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle OAP = 90^\circ$ — המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
$\angle BAC = 90^\circ$ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה
$\angle PAB = 90^\circ - \angle OAB$ — הקרן $AB$ בתוך הזווית $\angle OAP$
$\angle OAC = 90^\circ - \angle OAB$ — הקרן $AO$ בתוך הזווית $\angle BAC$
$\angle PAB = \angle OAC$ — שני גדלים השווים לאותו גודל שווים זה לזה

הפתרון:

\angle OAP = 90^\circ

המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

\angle BAC = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

\angle PAB = 90^\circ - \angle OAB

הקרן $AB$ בתוך הזווית $\angle OAP$

\angle OAC = 90^\circ - \angle OAB

הקרן $AO$ בתוך הזווית $\angle BAC$

\angle PAB = \angle OAC

שני גדלים השווים לאותו גודל שווים זה לזה

שתי זוויות ישרות חולקות את אותה זווית $\angle OAB$ , ומה שנשאר שווה. המלכודת: להשתמש בנתונים המספריים. ההוכחה נכונה לכל רדיוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev