סדרה 2 — בינוני · מתאם ורגרסיה · כיתה י״א

עשר שאלות בשני שלבים: $S_y$ ו- $r$ מנתונים, קו מתוך ממוצעים וסטיות תקן, שאלות הפוכות, שינוי של כל ערכי $y$ , פרבולה עם $r=0$ , נקודה חריגה, גרף ממוצעים ושינוי יחידות.

בכל שינוי של $y$ שאלו: חיבור (הקו זז, $m$ ו- $r$ לא משתנים) או כפל ( $m$ , $b$ ו- $S_y$ מוכפלים, $r$ לא משתנה)? אחוזים הם תמיד כפל.

תרגילים

תרגיל 1

חוג ספורט רשם בחמישה שבועות את מספר המודעות שפורסמו ( $x$ ) ואת מספר הנרשמים ( $y$ ). $x$ : $4,\ 6,\ 7,\ 8,\ 10$ . $y$ : $18,\ 14,\ 20,\ 22,\ 26$ . נתון $S_x=2$ . חשבו את $S_y$ ואת $r$ .

$S_y=$ ____ , $r=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $S_y=$ 4 , $r=$ 0.8

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{x} &= 7 \qquad \bar{y} \\ &= 20\end{aligned}

הממוצעים

y-\bar{y}:\ -2,\ -6,\ 0,\ 2,\ 6

ההפרשים של $y$

\begin{aligned}S_y &= \sqrt{\frac{4+36+0+4+36}{5}} \\ &= \sqrt{16} \\ &= 4\end{aligned}

סטיית התקן

6+6+0+2+18=32

המכפלות, עם $x-\bar{x}:\ -3,\ -1,\ 0,\ 1,\ 3$

\begin{aligned}r &= \frac{32}{5 \cdot 2 \cdot 4} \\ &= 0.8\end{aligned}

מקדם המתאם

$r=0.8$ . בשבוע השני היו יותר מודעות ופחות נרשמים, אבל נקודה אחת לא הופכת את המגמה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

לנתוני החוג: $\bar{x}=7$ , $\bar{y}=20$ , $S_x=2$ , $S_y=4$ , $r=0.8$ . מצאו את קו הרגרסיה $y=mx+b$ .

$m=$ ____ , $b=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $m=$ 1.6 , $b=$ 8.8

הפתרון:

\begin{aligned}m &= 0.8 \cdot \frac{4}{2} \\ &= 1.6\end{aligned}

השיפוע

\begin{aligned}b &= 20-1.6 \cdot 7 \\ &= 20-11.2 \\ &= 8.8\end{aligned}

דרך $(\bar{x},\,\bar{y})$

הקו: $y=1.6x+8.8$ . מי שכתב $b=20$ שכח שהקו עובר ב- $(7,\,20)$ ולא ב- $(0,\,20)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

השיפוע של קו הרגרסיה הוא $4$ , $r=0.6$ ו- $S_x=3$ . מהי $S_y$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

4=0.6 \cdot \frac{S_y}{3}

$m=r \cdot \frac{S_y}{S_x}$

\begin{aligned}S_y &= \frac{4 \cdot 3}{0.6} \\ &= 20\end{aligned}

מבודדים

$S_y=20$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

קו הרגרסיה הוא $y=-2x+90$ , $S_x=5$ ו- $S_y=12.5$ . מהו $r$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.8

הפתרון:

\begin{aligned}r &= \frac{m \cdot S_x}{S_y} \\ &= \frac{-2 \cdot 5}{12.5} \\ &= -0.8\end{aligned}

מבודדים את $r$

$r=-0.8$ : אותו סימן כמו השיפוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

קו הרגרסיה הוא $y=2x+10$ . כל הערכים של $y$ גדלים ב- $20\%$ . מה הניבוי החדש ל- $x=5$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

\begin{aligned}y(5) &= 2 \cdot 5+10 \\ &= 20\end{aligned}

הניבוי הקודם

1.2 \cdot 20=24

כל ניבוי מוכפל ב- $1.2$

$24$ . תוספת של $20\%$ היא כפל ב- $1.2$ , ולא חיבור של $20$ או של $0.2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

קו הרגרסיה הוא $y=5x+40$ . כל הערכים של $y$ יורדים ב- $20\%$ . מה הקו החדש?

$y=4x+40$
$y=4x+32$
$y=5x+20$
$y=5x+32$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $y=4x+32$

הפתרון:

y \to 0.8y

ירידה של $20\%$

\begin{aligned}0.8 \cdot 5 &= 4 \qquad 0.8 \cdot 40 \\ &= 32\end{aligned}

גם $m$ וגם $b$ מוכפלים

הנכונה: $y=4x+32$ . בכפל של $y$ משתנה גם השיפוע, לא רק החותך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

חשבו את $r$ לנקודות $(1,\,4)$ , $(2,\,1)$ , $(3,\,0)$ , $(4,\,1)$ , $(5,\,4)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{x} &= 3 \qquad \bar{y} \\ &= 2\end{aligned}

הממוצעים

x-\bar{x}:\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2 \qquad y-\bar{y}:\ 2,\ -1,\ -2,\ -1,\ 2

ההפרשים

-4+1+0-1+4=0

סכום המכפלות

$r=0$ , אבל הנקודות על פרבולה: $y=(x-3)^2$ . אין קשר ליניארי, ויש קשר מלא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

שש נקודות, ואחת חריגה

בדיאגרמה: חמש נקודות על קו ישר עולה, ונקודה שישית $(7,\,1)$ נמוכה מאוד. מה נכון?

הנקודה $(7,\,1)$ לא משפיעה על $r$
בלי הנקודה $(7,\,1)$ , $r=1$
בלי הנקודה $(7,\,1)$ , $r$ קטן
עם הנקודה, $r>1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב בלי הנקודה $(7,\,1)$ , $r=1$

הפתרון:

(2,3),\ \dots,\ (6,7)

חמש הנקודות על הקו $y=x+1$ : מתאם מלא

r=0

עם הנקודה החריגה: סכום המכפלות יוצא בדיוק $0$

הנכונה: בלי הנקודה, $r=1$ . נקודה חריגה אחת הורידה את $r$ מ- $1$ ל- $0$ . ו- $r>1$ אף פעם אינו אפשרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

גיל של ילדים ( $x$ ) ומספר הספרים שקראו בשנה ( $y$ ). בני $8$ : $10,\ 12,\ 14$ . בני $9$ : $15,\ 17,\ 19,\ 17$ . בני $10$ : $22,\ 20$ . השלימו את גרף הממוצעים, ומצאו בכמה עולה הממוצע בין גיל $9$ לגיל $10$ .

$8$ : ____ , $9$ : ____ , $10$ : ____ , עלייה: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $8$ : 12 , $9$ : 17 , $10$ : 21 , עלייה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{36}{3} &= 12 \qquad \frac{68}{4} \\ &= 17 \qquad \frac{42}{2} \\ &= 21\end{aligned}

הממוצעים

21-17=4

העלייה בין $9$ ל- $10$

העליות הן $5$ ו- $4$ : גרף הממוצעים עולה, וקרוב לקו ישר, אבל לא בדיוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

השיפוע של קו הרגרסיה של המרחק ( $y$ , בק״מ) לפי זמן הנסיעה ( $x$ , בדקות) הוא $0.8$ . מה השיפוע אם הזמן יימדד בשעות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 48

הפתרון:

1 \ \text{שעה}=60 \ \text{דקות}

המרה

0.8 \cdot 60=48

ק״מ לשעה

$48$ ק״מ לכל שעה. השיפוע תלוי ביחידות, ו- $r$ לא. מי שחילק ב- $60$ קיבל מספר קטן מאוד, וזה לא סביר למהירות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev