סדרה 3 — לקראת הבגרות · מתאם ורגרסיה · כיתה י״א

שלוש שאלות בנוסח שאלה 2 של הבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים: טבלה של ששה זוגות עם בחירה של $r$ , קו רגרסיה נתון ושינוי באחוזים, וארבעה ימים עם דיאגרמת פיזור. בכל סעיף חוזרת הפתיחה של השאלה, כמו בבחינה.

כתבו כל סעיף כמו בבחינה: הנוסחה מהנוסחאון, ההצבה, והתוצאה. שמרו על ערכים לא מעוגלים עד השלב האחרון, ובכל ניבוי בדקו שה- $x$ בתוך תחום הנתונים.

תרגילים

תרגיל 1

שעות תרגול (x)	3	5	9	11	15	17
שגיאות (y)	26	22	20	22	14	16

שאלה א. בקורס הקלדה רשמו ששה משתתפים כמה שעות תרגלו ( $x$ ) וכמה שגיאות עשו במבחן הסיום ( $y$ ). ידוע: $\bar{x}=10$ ו- $S_x=5$ . א. חשבו את $\bar{y}$ ואת $S_y$ .

$\bar{y}=$ ____ , $S_y=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\bar{y}=$ 20 , $S_y=$ 4

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{y} &= \frac{120}{6} \\ &= 20\end{aligned}

הממוצע

y-\bar{y}:\ 6,\ 2,\ 0,\ 2,\ -6,\ -4

ההפרשים

\begin{aligned}S_y &= \sqrt{\frac{36+4+0+4+36+16}{6}} \\ &= \sqrt{16} \\ &= 4\end{aligned}

מחלקים ב- $N=6$

מי שחילק ב- $5$ קיבל $S_y=\sqrt{19.2} \approx 4.38$ . בנוסחאון מחלקים במספר הנתונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

שעות תרגול (x)	3	5	9	11	15	17
שגיאות (y)	26	22	20	22	14	16

שאלה א. בקורס הקלדה רשמו ששה משתתפים כמה שעות תרגלו ( $x$ ) וכמה שגיאות עשו במבחן הסיום ( $y$ ). ידוע: $\bar{x}=10$ ו- $S_x=5$ . ב. איזה מהערכים הוא $r$ : $-0.9$ , $-0.3$ , $0.3$ , $0.9$ ? בדקו בחישוב.

$0.3$
$-0.9$
$0.9$
$-0.3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $-0.9$

הפתרון:

x-\bar{x}:\ -7,\ -5,\ -1,\ 1,\ 5,\ 7

ההפרשים של $x$

-42-10+0+2-30-28=-108

סכום המכפלות

\begin{aligned}r &= \frac{-108}{6 \cdot 5 \cdot 4} \\ &= -0.9\end{aligned}

מקדם המתאם

הנכונה: $-0.9$ . תרגול מקטין את מספר השגיאות, ולכן המתאם שלילי. מי שבחר $0.9$ חשב ש«משפר» פירושו «חיובי».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

שעות תרגול (x)	3	5	9	11	15	17
שגיאות (y)	26	22	20	22	14	16

שאלה א. בקורס הקלדה רשמו ששה משתתפים כמה שעות תרגלו ( $x$ ) וכמה שגיאות עשו במבחן הסיום ( $y$ ). ידוע: $\bar{x}=10$ ו- $S_x=5$ . נתון $r=-0.9$ . ג. מצאו את קו הרגרסיה $y=mx+b$ .

$m=$ ____ , $b=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $m=$ -0.72 , $b=$ 27.2

הפתרון:

\begin{aligned}m &= -0.9 \cdot \frac{4}{5} \\ &= -0.72\end{aligned}

השיפוע

y-20=-0.72(x-10)

דרך $(10,\,20)$

\begin{aligned}b &= 20+7.2 \\ &= 27.2\end{aligned}

החותך

הקו: $y=-0.72x+27.2$ . כל שעת תרגול מורידה, בממוצע, $0.72$ שגיאות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

שעות תרגול (x)	3	5	9	11	15	17
שגיאות (y)	26	22	20	22	14	16

שאלה א. בקורס הקלדה רשמו ששה משתתפים כמה שעות תרגלו ( $x$ ) וכמה שגיאות עשו במבחן הסיום ( $y$ ). ידוע: $\bar{x}=10$ ו- $S_x=5$ . הקו הוא $y=-0.72x+27.2$ . ד. כמה שגיאות צפויות למשתתף שתרגל $12$ שעות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18.56

הפתרון:

\begin{aligned}y(12) &= -0.72 \cdot 12+27.2 \\ &= -8.64+27.2 \\ &= 18.56\end{aligned}

מציבים $x=12$

$18.56$ שגיאות בממוצע. $12$ בתוך התחום $3$ עד $17$ . לעומת זאת, ל- $40$ שעות הקו נותן $-1.6$ שגיאות: אקסטרפולציה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

שאלה ב. נבדקו השטח ( $x$ , במ״ר) ושכר הדירה החודשי ( $y$ , במאות שקלים) של דירות בעיר. קו הרגרסיה של $y$ לפי $x$ הוא $y=0.4x+6$ . ידוע: $\bar{x}=80$ , $S_x=15$ , $r=0.8$ . א. מצאו את $\bar{y}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 38

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{y} &= 0.4 \cdot 80+6 \\ &= 38\end{aligned}

$(\bar{x},\,\bar{y})$ על הקו

שכר הדירה הממוצע: $38$ מאות שקלים, כלומר $3800$ שקלים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

שאלה ב. נבדקו השטח ( $x$ , במ״ר) ושכר הדירה החודשי ( $y$ , במאות שקלים) של דירות בעיר. קו הרגרסיה של $y$ לפי $x$ הוא $y=0.4x+6$ . ידוע: $\bar{x}=80$ , $S_x=15$ , $r=0.8$ . ב. מצאו את $S_y$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.5

הפתרון:

0.4=0.8 \cdot \frac{S_y}{15}

$m=r \cdot \frac{S_y}{S_x}$

\begin{aligned}S_y &= \frac{0.4 \cdot 15}{0.8} \\ &= 7.5\end{aligned}

מבודדים

$S_y=7.5$ מאות שקלים. מי שקיבל $30$ הפך את השבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

שאלה ב. נבדקו השטח ( $x$ , במ״ר) ושכר הדירה החודשי ( $y$ , במאות שקלים) של דירות בעיר. קו הרגרסיה של $y$ לפי $x$ הוא $y=0.4x+6$ . ידוע: $\bar{x}=80$ , $S_x=15$ , $r=0.8$ . ג. בשנה הבאה עלה שכר הדירה בכל הדירות ב- $15\%$ . איזו טענה נכונה?

$r$ החדש $0.92$
השיפוע החדש $0.55$
השיפוע החדש $0.46$ , ו- $r$ לא משתנה
$S_y$ החדשה $22.5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג השיפוע החדש $0.46$ , ו- $r$ לא משתנה

הפתרון:

y \to 1.15y

עלייה של $15\%$ היא כפל

\begin{aligned}m &= 1.15 \cdot 0.4 \\ &= 0.46 \qquad S_y \\ &= 1.15 \cdot 7.5 \\ &= 8.625\end{aligned}

השיפוע וסטיית התקן מוכפלים

r=0.8

כפל בקבוע חיובי

הנכונה: $0.46$ , ו- $r$ לא משתנה. $0.55$ חיבר $0.15$ לשיפוע, $22.5$ חיבר $15$ לסטיית התקן, ו- $0.92$ כפל את $r$ . הקו החדש עובר ב- $(80,\,43.7)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

טמפרטורה ובקבוקי מים — 4 ימים

שאלה ג. בקיוסק בחוף נרשמו בארבעה ימים הטמפרטורה ( $x$ , במעלות) ומספר בקבוקי המים שנמכרו ( $y$ ): $(26,\,30)$ , $(28,\,40)$ , $(30,\,50)$ , $(32,\,80)$ . א. חשבו את $\bar{x}$ , $\bar{y}$ ו- $S_y$ . עגלו את $S_y$ לשתי ספרות אחרי הנקודה.

$\bar{x}=$ ____ , $\bar{y}=$ ____ , $S_y=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\bar{x}=$ 29 , $\bar{y}=$ 50 , $S_y=$ 18.71

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{116}{4} \\ &= 29 \qquad \bar{y} \\ &= \frac{200}{4} \\ &= 50\end{aligned}

הממוצעים

y-\bar{y}:\ -20,\ -10,\ 0,\ 30

ההפרשים

\begin{aligned}S_y &= \sqrt{\frac{400+100+0+900}{4}} \\ &= \sqrt{350} \approx 18.71\end{aligned}

סטיית התקן

$S_y \approx 18.71$ . את $\sqrt{350}$ כדאי לשמור בזיכרון של המחשבון לסעיף הבא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

טמפרטורה ובקבוקי מים — 4 ימים

שאלה ג. בקיוסק בחוף נרשמו בארבעה ימים הטמפרטורה ( $x$ , במעלות) ומספר בקבוקי המים שנמכרו ( $y$ ): $(26,\,30)$ , $(28,\,40)$ , $(30,\,50)$ , $(32,\,80)$ . ידוע $\bar{x}=29$ , $\bar{y}=50$ , $S_y=\sqrt{350}$ . ב. חשבו את $r$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.96

הפתרון:

\begin{aligned}x-\bar{x}:\ -3 \\ \ -1 \\ \ 1 \\ \ 3 \qquad S_x &= \sqrt{\frac{20}{4}} \\ &= \sqrt{5}\end{aligned}

ההפרשים וסטיית התקן של $x$

60+10+0+90=160

סכום המכפלות

r=\frac{160}{4 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{350}} \approx 0.96

מקדם המתאם

$r \approx 0.96$ : מתאם חיובי חזק מאוד, כמו שנראה בדיאגרמה. עיגול של $S_x$ ל- $2$ לפני החילוק נותן $1.07$ , מספר בלתי אפשרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

טמפרטורה ובקבוקי מים — 4 ימים

שאלה ג. בקיוסק בחוף נרשמו בארבעה ימים הטמפרטורה ( $x$ , במעלות) ומספר בקבוקי המים שנמכרו ( $y$ ): $(26,\,30)$ , $(28,\,40)$ , $(30,\,50)$ , $(32,\,80)$ . ג. מצאו את קו הרגרסיה $y=mx+b$ , וחזו כמה בקבוקים יימכרו ביום של $31°$ .

$m=$ ____ , $b=$ ____ , ניבוי: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $m=$ 8 , $b=$ -182 , ניבוי: 66

הפתרון:

\begin{aligned}m &= r \cdot \frac{S_y}{S_x} \\ &= \frac{160}{4 \cdot S_x \cdot S_y} \cdot \frac{S_y}{S_x} \\ &= \frac{160}{4 \cdot 5} \\ &= 8\end{aligned}

בלי עיגול: $S_x^2=5$

\begin{aligned}b &= 50-8 \cdot 29 \\ &= -182\end{aligned}

דרך $(29,\,50)$

\begin{aligned}y(31) &= 8 \cdot 31-182 \\ &= 66\end{aligned}

הניבוי

הקו: $y=8x-182$ . החותך שלילי, אבל אין לו משמעות: $x=0$ רחוק מאוד מתחום הנתונים. מי שעיגל את $r$ ל- $0.96$ קיבל $m \approx 8.03$ : קרוב, אבל עדיף לחשב בלי עיגול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev