תרגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשרה תרגילים על כל הפרק: תחום, גזירה של gfg\sqrt{f}, משיק, נקודות קיצון פנימיות ובקצה, פרמטר ומספר פתרונות. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

נתונה f(x)=(x+4)6−2xf(x)=(x+4)\sqrt{6-2x}. מהו הערך הגדול ביותר של xx שבו הפונקציה מוגדרת?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

6−2x≥0 ⇒ x≤36-2x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 3

תחום

x=3x=3. −4-4 הוא אפס של הגורם, לא גבול של התחום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה f(x)=x4−xf(x)=x\sqrt{4-x}. מהי f′(x)f'(x)?

  1. 8−3x4−x\frac{8-3x}{\sqrt{4-x}}
  2. 8−x24−x\frac{8-x}{2\sqrt{4-x}}
  3. −124−x\frac{-1}{2\sqrt{4-x}}
  4. 8−3x24−x\frac{8-3x}{2\sqrt{4-x}}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 8−3x24−x\frac{8-3x}{2\sqrt{4-x}}

הפתרון:

f′(x)=4−x−x24−x=2(4−x)−x24−x\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{4-x}-\frac{x}{2\sqrt{4-x}} \\ &= \frac{2(4-x)-x}{2\sqrt{4-x}}\end{aligned}

מכפלה ושרשרת

הנכונה: 8−3x24−x\frac{8-3x}{2\sqrt{4-x}}. 8−x24−x\frac{8-x}{2\sqrt{4-x}} שכחה את המינוס של הנגזרת הפנימית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה f(x)=(x+2)x+4f(x)=(x+2)\sqrt{x+4}. חשבו את f′(0)f'(0).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.5

הפתרון:

f′(x)=2(x+4)+(x+2)2x+4=3x+102x+4\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x+4)+(x+2)}{2\sqrt{x+4}} \\ &= \frac{3x+10}{2\sqrt{x+4}}\end{aligned}

הנגזרת

f′(0)=104=2.5\begin{aligned}f'(0) &= \frac{10}{4} \\ &= 2.5\end{aligned}

מציבים

2.52.5. f(0)=4f(0)=4 הוא הערך, לא השיפוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

נתונה f(x)=(x−1)x+2f(x)=(x-1)\sqrt{x+2}. מצאו את נקודת המינימום של הפונקציה.

x=x= ____ , y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=x= -1 , y=y= -2

הפתרון:

f′(x)=3x+32x+2f'(x)=\frac{3x+3}{2\sqrt{x+2}}

הנגזרת

x=−1 ; −→+x=-1 \ ;\ - \to +

מינימום

f(−1)=−2⋅1=−2\begin{aligned}f(-1) &= -2 \cdot 1 \\ &= -2\end{aligned}

הגובה

מינימום (−1, −2)(-1,\,-2), והקצה (−2,0)(-2,0) מקסימום מקומי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה f(x)=x2x+5f(x)=x\sqrt{2x+5}. המשיק לגרף בנקודה שבה x=−2x=-2 חותך את ציר ה-xx. מצאו את שיעור ה-xx של נקודת החיתוך.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -4

הפתרון:

f(−2)=−2⋅1=−2\begin{aligned}f(-2) &= -2 \cdot 1 \\ &= -2\end{aligned}

הנקודה

f′(x)=3x+52x+5 ⇒ f′(−2)=−1\begin{aligned}f'(x) &= \frac{3x+5}{\sqrt{2x+5}} \ \Rightarrow \ f'(-2) \\ &= -1\end{aligned}

השיפוע

y=−x−4=0 ⇒ x=−4\begin{aligned}y &= -x-4 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -4\end{aligned}

המשיק וחיתוכו

x=−4x=-4. הנקודה נמצאת מחוץ לתחום של ff (x≥−2.5x \geq -2.5), אבל המשיק הוא ישר שלם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הוכיחו או הפריכו: לפונקציה f(x)=(x+4)2−xf(x)=(x+4)\sqrt{2-x} יש מקסימום מוחלט בנקודה (0, 42)(0,\,4\sqrt{2}).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f′(x)=−3x22−xf'(x)=\frac{-3x}{2\sqrt{2-x}}

עולה ב-x<0x<0, יורדת ב-0<x<20<x<2

f(2)=0x<−4: f<0\begin{aligned}f(2) &= 0 \\ \quad x<-4: \ f<0\end{aligned}

אין ערך גבוה יותר

הטענה נכונה. זו נקודת הקיצון הפנימית היחידה, והפונקציה עולה אליה ויורדת ממנה עד הקצה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה f(x)=(x+a)3−xf(x)=(x+a)\sqrt{3-x}, ו-aa פרמטר. לפונקציה נקודת קיצון ב-x=1x=1. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f′(x)=2(3−x)−(x+a)23−x=6−3x−a23−x\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(3-x)-(x+a)}{2\sqrt{3-x}} \\ &= \frac{6-3x-a}{2\sqrt{3-x}}\end{aligned}

גוזרים עם aa

3−a=0 ⇒ a=3\begin{aligned}3-a &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 3\end{aligned}

מציבים x=1x=1

a=3a=3. מי ששוכח את המינוס של 3−x\sqrt{3-x} מקבל 6−x+a23−x\frac{6-x+a}{2\sqrt{3-x}}, ומגיע ל-a=−5a=-5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

נתונה f(x)=x2x+5f(x)=x^2\sqrt{x+5}. לפונקציה מקסימום מקומי (−4, 16)(-4,\,16) ומינימום (0,0)(0,0). כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=20f(x)=20?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

−5≤x≤0: f≤16<20-5 \leq x \leq 0: \ f \leq 16<20

אין פתרון בענף השמאלי

x>0: 0↗x>0: \ 0 \nearrow

פתרון אחד

פתרון אחד. המקסימום המקומי 1616 נמוך מ-2020, ולכן רק הענף הימני מגיע לשם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה f(x)=(x+a)xf(x)=(x+a)\sqrt{x}, ו-aa פרמטר. המשיק לגרף בנקודה שבה x=4x=4 מקביל לישר y=2xy=2x. מצאו את aa ואת משוואת המשיק y=2x+ny=2x+n.

a=a= ____ ; n=n= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: a=a= -4 ; n=n= -8

הפתרון:

f′(x)=3x+a2x ⇒ f′(4)=12+a4=2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{3x+a}{2\sqrt{x}} \ \Rightarrow \ f'(4) \\ &= \frac{12+a}{4} \\ &= 2\end{aligned}

השיפוע

a=−4 f(4)=0⋅2=0\begin{aligned}a &= -4 \ \\ \quad f(4) &= 0 \cdot 2 \\ &= 0\end{aligned}

הנקודה (4,0)(4,0)

y=2(x−4)=2x−8\begin{aligned}y &= 2(x-4) \\ &= 2x-8\end{aligned}

המשיק

a=−4a=-4 ו-y=2x−8y=2x-8. f(4)=0f(4)=0: המשיק עובר בנקודה שבה הגרף חוצה את ציר ה-xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה f(x)=(x+4)2−xf(x)=(x+4)\sqrt{2-x}. לכמה ערכים שלמים של kk יש למשוואה f(x)=kf(x)=k בדיוק שני פתרונות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

x<0: f↗420<x≤2: 42↘0x<0: \ f \nearrow 4\sqrt{2} \qquad 0<x \leq 2: \ 4\sqrt{2} \searrow 0

שני ענפים

0≤k<42≈5.660 \leq k<4\sqrt{2} \approx 5.66

פתרון בכל ענף

k=012345\begin{aligned}k &= 0 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5\end{aligned}

שישה ערכים

שישה ערכים. k=0k=0 נכלל, כי הקצה (2,0)(2,0) נקודה של הגרף. k<0k<0 נותן פתרון אחד בלבד, בענף השמאלי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת