סדרה 3 — לקראת הבגרות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שלוש שאלות בנוסח שאלת השורש של הבגרות, מחולקות לסעיפים. כל תרגיל הוא סעיף אחד, עם אותה פתיחה. פרמטר מנקודה ומספר פתרונות; פרמטר מקיצון והזזה f+cf+c; וגרף של f′f' עם g=−fg=-f.

בבגרות כל סעיף נשען על הקודם. אחרי שמצאתם את הפרמטר, הציבו אותו ובדקו אותו בנתון לפני שממשיכים.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה הפונקציה f(x)=(x−3)2x+af(x)=(x-3)\sqrt{2x+a}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (−3, 0)(-3,\,0). א. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

(−3−3)−6+a=0(-3-3)\sqrt{-6+a}=0

מציבים את הנקודה

−6≠0 ⇒ −6+a=0 ⇒ a=6\begin{aligned}-6 \neq 0 \ \Rightarrow \ -6+a &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 6\end{aligned}

השורש מתאפס

a=6a=6. הגורם x−3x-3 שווה −6-6 ב-x=−3x=-3, ולכן רק השורש יכול להתאפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה הפונקציה f(x)=(x−3)2x+af(x)=(x-3)\sqrt{2x+a}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (−3, 0)(-3,\,0). ב. הציבו a=6a=6. מצאו את תחום ההגדרה ואת נקודת החיתוך הנוספת של הגרף עם ציר ה-xx.

תחום: x≥x \geq ____ ; חיתוך נוסף: x=x= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: תחום: x≥x \geq -3 ; חיתוך נוסף: x=x= 3

הפתרון:

2x+6≥0 ⇒ x≥−32x+6 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq -3

תחום

x−3=0 ⇒ x=3\begin{aligned}x-3 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

האפס השני

התחום x≥−3x \geq -3, והאפסים −3-3 (הקצה) ו-33.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הפונקציה f(x)=(x−3)2x+af(x)=(x-3)\sqrt{2x+a}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (−3, 0)(-3,\,0). ג. הציבו a=6a=6. מצאו את נקודת הקיצון הפנימית של ff.

x=x= ____ , y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=x= -1 , y=y= -8

הפתרון:

f′(x)=2x+6+x−32x+6=3x+32x+6\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{2x+6}+\frac{x-3}{\sqrt{2x+6}} \\ &= \frac{3x+3}{\sqrt{2x+6}}\end{aligned}

מכפלה; הנגזרת הפנימית 22 מצטמצמת

x=−1 ;f′(−2)<0 f′(0)>0\begin{aligned}x &= -1 \ ;\quad f'(-2)<0 \\ \ f'(0)>0\end{aligned}

מינימום

f(−1)=−4⋅2=−8\begin{aligned}f(-1) &= -4 \cdot 2 \\ &= -8\end{aligned}

הגובה

מינימום (−1, −8)(-1,\,-8). מי שכותב 122x+6\frac{1}{2\sqrt{2x+6}} שכח את הנגזרת הפנימית, ומקבל x=−95x=-\frac{9}{5}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה הפונקציה f(x)=(x−3)2x+af(x)=(x-3)\sqrt{2x+a}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (−3, 0)(-3,\,0). ד. הציבו a=6a=6. מה סוג הנקודה (−3, 0)(-3,\,0)?

  1. מקסימום מקומי בקצה התחום
  2. אינה נקודת קיצון
  3. מקסימום מוחלט
  4. מינימום מקומי בקצה התחום
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א מקסימום מקומי בקצה התחום

הפתרון:

−3<x<−1: f′<0-3<x<-1: \ f'<0

יוצאת מהקצה בירידה

f(5)=2⋅4=8>0\begin{aligned}f(5) &= 2 \cdot 4 \\ &= 8>0\end{aligned}

יש ערכים גבוהים יותר

הנכונה: מקסימום מקומי בקצה. לא מוחלט: אחרי x=3x=3 הפונקציה חיובית ועולה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

y = f(x)
(−3,0)(−1,−8)(3,0)-4-3-2-1012345-10-8-6-4-2246xy

נתונה הפונקציה f(x)=(x−3)2x+af(x)=(x-3)\sqrt{2x+a}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (−3, 0)(-3,\,0). ה. הציבו a=6a=6, והיעזרו בסקיצה שבשרטוט. לאילו ערכים של kk יש למשוואה f(x)=kf(x)=k בדיוק שני פתרונות?

  1. −8<k≤0-8<k \leq 0
  2. k≤0k \leq 0
  3. −8<k<0-8<k<0
  4. k>−8k>-8
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א −8<k≤0-8<k \leq 0

הפתרון:

−3≤x≤−1: 0↘−8-3 \leq x \leq -1: \ 0 \searrow -8

ענף ראשון

x≥−1: −8↗x \geq -1: \ -8 \nearrow

ענף שני, בלי גבול

k=0: x=−3 x=3\begin{aligned}k &= 0: \ x \\ &= -3 \\ \ x &= 3\end{aligned}

שני פתרונות גם ב-k=0k=0

הנכונה: −8<k≤0-8<k \leq 0. k=0k=0 נכלל: הקצה (−3,0)(-3,0) הוא נקודה של הגרף. k=−8k=-8 נותן פתרון אחד, ו-k>0k>0 פתרון אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה הפונקציה f(x)=x2a−2xf(x)=x^2\sqrt{a-2x}, ו-aa פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון ב-x=2x=2. א. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

f′(x)=2xa−2x+−2x22a−2x=x(4a−10x)2a−2x\begin{aligned}f'(x) &= 2x\sqrt{a-2x}+\frac{-2x^2}{2\sqrt{a-2x}} \\ &= \frac{x(4a-10x)}{2\sqrt{a-2x}}\end{aligned}

מכפלה ושרשרת

4a−20=0 ⇒ a=5\begin{aligned}4a-20 &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 5\end{aligned}

מציבים x=2x=2

a=5a=5. הנגזרת הפנימית של a−2xa-2x היא −2-2: בלעדיה מתקבל aa אחר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה הפונקציה f(x)=x2a−2xf(x)=x^2\sqrt{a-2x}, ו-aa פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון ב-x=2x=2. ב. הציבו a=5a=5. מצאו את נקודת המקסימום של ff.

x=x= ____ , y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=x= 2 , y=y= 4

הפתרון:

f′(x)=5x(2−x)5−2x x<2.5\begin{aligned}f'(x) &= \frac{5x(2-x)}{\sqrt{5-2x}} \ \\ \quad x<2.5\end{aligned}

הנגזרת

f′(1)>0f′(2.2)<0f'(1)>0 \qquad f'(2.2)<0

מ-++ ל-−-

f(2)=4⋅1=4\begin{aligned}f(2) &= 4 \cdot 1 \\ &= 4\end{aligned}

הגובה

מקסימום (2, 4)(2,\,4). בודקים סימן ב-2.22.2, לא ב-33: התחום נגמר ב-2.52.5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה הפונקציה f(x)=x2a−2xf(x)=x^2\sqrt{a-2x}, ו-aa פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון ב-x=2x=2. ג. הציבו a=5a=5. נתונה g(x)=f(x)+cg(x)=f(x)+c. מצאו את שני הערכים של cc שעבורם הישר y=10y=10 משיק לגרף של gg.

הקטן: c=c= ____ ; הגדול: c=c= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הקטן: c=c= 6 ; הגדול: c=c= 10

הפתרון:

g′(x)=f′(x)=0 ⇒ x=0 x=2\begin{aligned}g'(x) &= f'(x) \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 2\end{aligned}

משיק אופקי

g(0)=0+c=10 ⇒ c=10\begin{aligned}g(0) &= 0+c \\ &= 10 \ \Rightarrow \ c \\ &= 10\end{aligned}

במינימום

g(2)=4+c=10 ⇒ c=6\begin{aligned}g(2) &= 4+c \\ &= 10 \ \Rightarrow \ c \\ &= 6\end{aligned}

במקסימום

c=6c=6 או c=10c=10. משיק אופקי יש בכל נקודה שבה f′=0f'=0. מי שמוצא רק ערך אחד בדק רק את המקסימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הגרף של f′
(8,0)02468101214161820-6-5-4-3-2-11f′(x)x

בשרטוט הגרף של f′f', הנגזרת של הפונקציה f(x)=x−6x+1f(x)=x-6\sqrt{x+1}. הגרף של f′f' חותך את ציר ה-xx רק ב-x=8x=8. א. מה נכון לגבי נקודות הקיצון של ff?

  1. מינימום ב-x=8x=8 ומקסימום בקצה x=−1x=-1
  2. מינימום ב-x=8x=8 בלבד
  3. מקסימום ב-x=8x=8 ומינימום בקצה x=−1x=-1
  4. מקסימום ב-x=0x=0, כי שם f′f' משנה כיוון
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א מינימום ב-x=8x=8 ומקסימום בקצה x=−1x=-1

הפתרון:

−1<x<8: f′<0x>8: f′>0-1<x<8: \ f'<0 \qquad x>8: \ f'>0

קוראים סימנים

x=8: −→+ ⇒ min⁡x=8: \ - \to + \ \Rightarrow \ \min

קיצון פנימי

x=−1: קצהx=-1: \ \text{קצה}

יוצאת ממנו בירידה: מקסימום

הנכונה: מינימום ב-x=8x=8 ומקסימום בקצה x=−1x=-1. «מינימום בלבד» שכח את הקצה, שם f′f' צוללת ואינה קיימת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בשרטוט הגרף של f′f', הנגזרת של הפונקציה f(x)=x−6x+1f(x)=x-6\sqrt{x+1}. הגרף של f′f' חותך את ציר ה-xx רק ב-x=8x=8. ב. נתונה g(x)=−f(x)g(x)=-f(x). מצאו את הערך המינימלי של ff ואת שיעור ה-yy של נקודת המקסימום של gg.

מינימום של ff: ____ ; מקסימום של gg: y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מינימום של ff: -10 ; מקסימום של gg: y=y= 10

הפתרון:

f(8)=8−6⋅3=−10\begin{aligned}f(8) &= 8-6 \cdot 3 \\ &= -10\end{aligned}

המינימום של ff

g(8)=−f(8)=10\begin{aligned}g(8) &= -f(8) \\ &= 10\end{aligned}

שיקוף בציר xx

−10-10 ו-1010. השיקוף הופך מינימום למקסימום ומחליף את סימן הגובה. ה-xx נשאר 88.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת