סדרה 2 — בינוני · פונקציות עם שורש · כיתה י״א

עשר שאלות בינוניות: נקודת קיצון פנימית ובקצה, משיק וחיתוכו, תחומי עלייה וירידה, פרמטר אחד, מספר פתרונות, ושני הסוגים של נקודה חשודה.

כל שאלה כאן היא שניים או שלושה צעדים. כתבו את הנגזרת כשבר אחד לפני כל דבר אחר: ממנה יוצאים האפסים, הסימנים והקצה.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה $f(x)=(x-10)\sqrt{x+2}$ . מצאו את נקודת המינימום של הפונקציה.

$x=$ ____ , $y=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x=$ 2 , $y=$ -16

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x+2)+(x-10)}{2\sqrt{x+2}} \\ &= \frac{3x-6}{2\sqrt{x+2}}\end{aligned}

הנגזרת

\begin{aligned}x &= 2 \ ;\quad f'(0)<0 \\ \ f'(7)>0\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$

\begin{aligned}f(2) &= -8 \cdot 2 \\ &= -16\end{aligned}

הגובה

מינימום $(2,\,-16)$ . הקצה $(-2,0)$ הוא מקסימום מקומי, ולא נשאל כאן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה $f(x)=(x+3)\sqrt{1-x}$ . המשיק לגרף בנקודה שבה $x=0$ חותך את ציר ה- $x$ . מצאו את שיעור ה- $x$ של נקודת החיתוך.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

f(0)=3

הנקודה $(0,\,3)$

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{-3x-1}{2\sqrt{1-x}} \ \Rightarrow \ f'(0) \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

השיפוע

\begin{aligned}y &= -\tfrac{1}{2}x+3 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

המשיק וחיתוכו

$x=6$ , מחוץ לתחום של $f$ ( $x \leq 1$ ). אין בזה בעיה: המשיק הוא ישר שלם, והוא לא מוגבל לתחום של הפונקציה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה $f(x)=(x+2)\sqrt{7-x}$ . באיזה תחום הפונקציה יורדת?

$4<x<7$
$x<4$
$-2<x<4$
$x>4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $4<x<7$

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(7-x)-(x+2)}{2\sqrt{7-x}} \\ &= \frac{12-3x}{2\sqrt{7-x}}\end{aligned}

הנגזרת

x<4: \ f'>0 \qquad 4<x<7: \ f'<0

סימן המונה

הנכונה: $4<x<7$ . $x>4$ כולל ערכים מחוץ לתחום. התחום נגמר ב- $x=7$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הוכיחו או הפריכו: הנקודה $(0,0)$ היא נקודת מינימום של $f(x)=x^2\sqrt{3-x}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{4x(3-x)-x^2}{2\sqrt{3-x}} \\ &= \frac{x(12-5x)}{2\sqrt{3-x}}\end{aligned}

הנגזרת

f'(-1)<0 \qquad f'(1)>0

מ- $-$ ל- $+$

הטענה נכונה. ויותר מזה: $f \geq 0$ בכל התחום, ולכן זה מינימום מוחלט.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה $f(x)=(x+a)\sqrt{x+6}$ , ו- $a$ פרמטר. לפונקציה נקודת קיצון ב- $x=-2$ . מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -6

הפתרון:

f'(x)=\frac{3x+12+a}{2\sqrt{x+6}}

גוזרים עם $a$

\begin{aligned}-6+12+a &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= -6\end{aligned}

מציבים $x=-2$ במונה

$a=-6$ . בדיקה: $f(x)=(x-6)\sqrt{x+6}$ ו- $f(-2)=-8 \cdot 2=-16$ , מינימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה $f(x)=(x-7)\sqrt{x+5}$ . לפונקציה מקסימום מקומי בקצה $(-5,0)$ ומינימום ב- $(-1,-16)$ . כמה פתרונות יש למשוואה $f(x)=-10$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

-5<x<-1: \ 0 \searrow -16

פתרון אחד בירידה

x>-1: \ -16 \nearrow

פתרון אחד בעלייה

שני פתרונות. בין הקצה למינימום הגרף עובר את $-10$ פעם אחת, ואחרי המינימום עוד פעם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מחפשים את האפסים של הנגזרת של $f(x)=x^2\sqrt{x+5}$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

f'(x)=2x\sqrt{x+5}+\frac{x^2}{2\sqrt{x+5}}

=\frac{4x(x+5)+x^2}{2\sqrt{x+5}}

=\frac{5x^2+20x}{2\sqrt{x+5}}

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \\ \ x &= 4\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $f'(x)=0 \ \Rightarrow \ x=0 ,\ x=4$ → $f'(x)=0 \ \Rightarrow \ x=0 ,\ x=-4$

הפתרון:

5x^2+20x=5x(x+4)

מפרקים

\begin{aligned}x+4 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -4\end{aligned}

הסימן

השורה האחרונה. $5x(x+4)=0$ נותן $x=-4$ , לא $4$ . ו- $x=4$ גם לא היה מאפס: $5 \cdot 16+80 \neq 0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה $f(x)=(x+3)\sqrt{x+3}$ . מהי משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה $x=1$ ?

$y=\frac{1}{4}x+\frac{31}{4}$
$y=3x+5$
$y=8$
$y=3x+8$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $y=3x+5$

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{x+3}+\frac{x+3}{2\sqrt{x+3}} \\ &= \frac{3}{2}\sqrt{x+3}\end{aligned}

$\frac{x+3}{\sqrt{x+3}}=\sqrt{x+3}$

\begin{aligned}f(1) &= 8 \\ \quad f'(1) &= 3\end{aligned}

נקודה ושיפוע

\begin{aligned}y-8 &= 3(x-1) \ \Rightarrow \ y \\ &= 3x+5\end{aligned}

המשיק

הנכונה: $y=3x+5$ . $\frac{1}{4}$ הוא שיפוע של $\sqrt{x+3}$ לבדו, בלי כלל המכפלה. $y=3x+8$ שכח להציב את הנקודה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מיינו את הנקודות: באיזו הנגזרת מתאפסת, ובאיזו היא לא קיימת?

$f'$ מתאפסת
$f'$ לא קיימת

$x=-\frac{4}{3}$ עבור $(x-2)\sqrt{2x+6}$
$x=-3$ עבור $(x-2)\sqrt{2x+6}$
$x=-5$ עבור $x^2\sqrt{x+5}$
$x=0$ עבור $x^2\sqrt{x+5}$
$x=3$ עבור $(x-1)\sqrt{4-x}$
$x=4$ עבור $(x-1)\sqrt{4-x}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x=-\frac{4}{3}$ עבור $(x-2)\sqrt{2x+6}$ — $f'$ מתאפסת · $x=-3$ עבור $(x-2)\sqrt{2x+6}$ — $f'$ לא קיימת · $x=0$ עבור $x^2\sqrt{x+5}$ — $f'$ מתאפסת · $x=-5$ עבור $x^2\sqrt{x+5}$ — $f'$ לא קיימת · $x=3$ עבור $(x-1)\sqrt{4-x}$ — $f'$ מתאפסת · $x=4$ עבור $(x-1)\sqrt{4-x}$ — $f'$ לא קיימת

הפתרון:

\left((x-2)\sqrt{2x+6}\right)'=\frac{3x+4}{\sqrt{2x+6}}

אפס ב- $-\frac{4}{3}$ , קצה ב- $-3$

\left((x-1)\sqrt{4-x}\right)'=\frac{9-3x}{2\sqrt{4-x}}

אפס ב- $3$ , קצה ב- $4$

בכל פונקציה אחת מכל סוג: אפס המונה, וקצה התחום שבו המכנה מתאפס. שני הסוגים הם נקודות חשודות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה $f(x)=8\sqrt{x+2}-2x$ . מצאו את נקודת המקסימום ואת הערך של הפונקציה בקצה התחום.

מקסימום: $x=$ ____ , $y=$ ____ ; בקצה: $y=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מקסימום: $x=$ 2 , $y=$ 12 ; בקצה: $y=$ 4

הפתרון:

f'(x)=\frac{4}{\sqrt{x+2}}-2

הנגזרת

\begin{aligned}\sqrt{x+2} &= 2 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \quad f(2) &= 16-4 \\ &= 12\end{aligned}

המקסימום

\begin{aligned}f(-2) &= 0+4 \\ &= 4\end{aligned}

הקצה: מינימום מקומי

מקסימום $(2,\,12)$ ומינימום מקומי בקצה $(-2,\,4)$ . $f(-2)=4$ : $-2x$ עם $x=-2$ נותן $+4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev