סדרה 1 — קל · פונקציות עם שורש · כיתה י״א

עשר שאלות קצרות על כל הפרק: תחום ואפסים של מכפלה, גזירה של $g\sqrt{f}$ , שיפוע, נקודה שבה הנגזרת לא קיימת, וסימן של $f'$ . כל שאלה דורשת צעד אחד או שניים.

בכל שאלה שאלו קודם: מה התחום? אפס שנמצא מחוץ לתחום אינו נקודה של הגרף.

תרגילים

תרגיל 1

מהו תחום ההגדרה של $f(x)=(x+2)\sqrt{9-3x}$ ?

$x \geq -2$
$x \geq 3$
$x \leq 3$
$-2 \leq x \leq 3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $x \leq 3$

הפתרון:

9-3x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 3

רק השורש מגביל

הנכונה: $x \leq 3$ . הגורם $x+2$ הוא פולינום, והוא לא מגביל את התחום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה $f(x)=(x+1)\sqrt{x+6}$ . חשבו את $f(3)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\begin{aligned}f(3) &= 4 \cdot \sqrt{9} \\ &= 4 \cdot 3 \\ &= 12\end{aligned}

מציבים בשני הגורמים

$12$ . מציבים $x=3$ בשני הגורמים, לא רק בשורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה $f(x)=x\sqrt{x+1}$ . מהי $f'(x)$ ?

$\frac{2x+1}{2\sqrt{x+1}}$
$\frac{1}{2\sqrt{x+1}}$
$\frac{3x+2}{2\sqrt{x+1}}$
$\frac{3x+2}{\sqrt{x+1}}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $\frac{3x+2}{2\sqrt{x+1}}$

הפתרון:

f'(x)=\sqrt{x+1}+\frac{x}{2\sqrt{x+1}}

כלל המכפלה

=\frac{2(x+1)+x}{2\sqrt{x+1}}=\frac{3x+2}{2\sqrt{x+1}}

מכנה משותף

הנכונה: $\frac{3x+2}{2\sqrt{x+1}}$ . $\frac{2x+1}{2\sqrt{x+1}}$ שכחה לכפול את $x+1$ ב- $2$ . $\frac{1}{2\sqrt{x+1}}$ כפלה נגזרות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה $f(x)=(x+1)\sqrt{x+3}$ . חשבו את $f'(1)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.5

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x+3)+(x+1)}{2\sqrt{x+3}} \\ &= \frac{3x+7}{2\sqrt{x+3}}\end{aligned}

הנגזרת

\begin{aligned}f'(1) &= \frac{10}{4} \\ &= 2.5\end{aligned}

מציבים

$2.5$ . מי שמקבל $2$ הציב רק ב- $\sqrt{x+3}$ ושכח את המחובר השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה $f(x)=(x-4)\sqrt{x+2}$ . בכמה נקודות הגרף חותך את ציר ה- $x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x \geq -2

תחום

\begin{aligned}x &= 4 \\ \quad x &= -2\end{aligned}

שני האפסים, ושניהם בתחום

שתי נקודות: $(-2,0)$ ו- $(4,0)$ . גם הקצה הוא נקודת חיתוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הוכיחו או הפריכו: הגרף של $f(x)=(x-5)\sqrt{3-x}$ חותך את ציר ה- $x$ בשתי נקודות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

x \leq 3

תחום

x=5 \notin \text{תחום}

נפסל

x=3

נקודה אחת בלבד

הטענה לא נכונה. רק $(3,0)$ . הגורם $x-5$ מתאפס מחוץ לתחום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה $f(x)=x+\sqrt{2x-4}$ . באיזה $x$ הפונקציה מוגדרת אבל הנגזרת שלה לא קיימת?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f'(x)=1+\frac{1}{\sqrt{2x-4}}

הנגזרת

\begin{aligned}2x-4 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

המכנה מתאפס

f(2)=2

אבל $f$ מוגדרת שם

$x=2$ , קצה התחום. בכל $x>2$ הנגזרת קיימת וחיובית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

התאימו לכל פונקציה את תחום ההגדרה שלה.

$(x+3)\sqrt{x-1}$
$x^2\sqrt{2-x}$
$(x-1)\sqrt{x+3}$
$x+\sqrt{6-2x}$

$x \geq -3$
$x \geq 1$
$x \leq 2$
$x \leq 3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $(x+3)\sqrt{x-1}$ — $x \geq 1$ · $x^2\sqrt{2-x}$ — $x \leq 2$ · $(x-1)\sqrt{x+3}$ — $x \geq -3$ · $x+\sqrt{6-2x}$ — $x \leq 3$

הפתרון:

x-1 \geq 0

רק מה שבתוך השורש קובע

6-2x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 3

מחלקים ב- $-2$ והופכים

הפולינום שמחוץ לשורש לא משנה את התחום. $(x+3)\sqrt{x-1}$ ו- $(x-1)\sqrt{x+3}$ נראים דומים, אבל רק מה שבתוך השורש קובע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה $f(x)=x^2\sqrt{x+5}$ . מצאו את שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה $x=-1$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3.75

הפתרון:

f'(x)=\frac{5x(x+4)}{2\sqrt{x+5}}

הנגזרת

\begin{aligned}f'(-1) &= \frac{5 \cdot (-1) \cdot 3}{2 \cdot 2} \\ &= -\frac{15}{4} \\ &= -3.75\end{aligned}

מציבים

$-3.75$ . השיפוע שלילי: ב- $-4<x<0$ הפונקציה יורדת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

לפונקציה $f$ המוגדרת ב- $x \geq -1$ הנגזרת $f'(x)=\frac{3x-6}{2\sqrt{x+1}}$ . באיזה תחום $f$ עולה?

$x<2$
$x>2$
$x>-1$
$-1<x<2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $x>2$

הפתרון:

2\sqrt{x+1}>0

המכנה חיובי

3x-6>0 \ \Rightarrow \ x>2

הסימן של המונה

הנכונה: $x>2$ . $x<2$ כולל ערכים מחוץ לתחום, ושם $f$ יורדת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev