פותרים יחד · פונקציות עם שורש · כיתה י״א

ארבע שאלות בסגנון שאלת השורש של הבגרות, אחת לכל רעיון: פרמטר מתוך נקודה ואז חקירה, משיק, הזזה של גרף, וקריאת $f$ מתוך הגרף של $f'$ . כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל לחיצה, אמרו לעצמכם מה אתם הייתם עושים. הפער בין התוכנית שלכם לבין השלב שמופיע הוא מה שמלמד.

1 — פרמטר מתוך נקודה, ואז חקירה

פעילות אינטראקטיבית

נתונה $f(x)=(x-9)\sqrt{x+a}$ , ו- $a$ פרמטר. הגרף עובר בנקודה $(6,\,0)$ . א. מצאו את $a$ . ב. מצאו את תחום ההגדרה ואת נקודות החיתוך עם ציר ה- $x$ . ג. מצאו את נקודות הקיצון וקבעו את סוגן. ד. נתונה $g(x)=f(x)+c$ . עבור איזה $c$ הישר $y=0$ משיק לגרף של $g$ ?

\begin{aligned}f(x) &= (x-9)\sqrt{x+a} \\ \quad (6,\,0)\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הנקודה נותנת משוואה אחת, וזה מספיק לפרמטר אחד.

א.

\begin{aligned}(6-9)\sqrt{6+a} &= 0 \ \Rightarrow \ 6+a \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= -6\end{aligned}

$6-9 \neq 0$ , ולכן השורש הוא שמתאפס.

ב. תחום

\begin{aligned}f(x) &= (x-9)\sqrt{x-6} \ \\ \quad x \geq 6\end{aligned}

הגרף מתחיל בקצה $x=6$ .

ב. ציר x

\begin{aligned}x &= 6 \\ \quad x &= 9\end{aligned}

שני האפסים בתחום.

ג. נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x-6)+(x-9)}{2\sqrt{x-6}} \\ &= \frac{3x-21}{2\sqrt{x-6}} \ \\ \quad x>6\end{aligned}

מכפלה ומכנה משותף.

ג. חשודות

\begin{aligned}x &= 7 \ \\ \quad f(7) &= -2 \cdot 1 \\ &= -2 \qquad \text{קצה}: \ (6,\,0)\end{aligned}

אפס של המונה, ועוד הקצה.

ג. סוג

f'(6.5)<0 \qquad f'(10)>0

מינימום $(7,\,-2)$ ; מקסימום מקומי בקצה $(6,\,0)$ .

ד.

\begin{aligned}g(7) &= -2+c \\ &= 0 \ \Rightarrow \ c \\ &= 2\end{aligned}

משיק אופקי ל- $g$ רק בנקודת הקיצון הפנימית. $c$ מזיז את הגרף למעלה עד שהמינימום נוגע בציר.

סעיף ד נפתר בלי לגזור שוב: הזזה למעלה לא משנה את ה- $x$ של נקודת הקיצון, רק את הגובה שלה.

לעשות את הפעילות ב-elev

למה המשיק של $g$ בקצה $x=6$ לא יכול להיות $y=0$ ?

להציג את התשובה והפתרון

ב- $x=6$ הנגזרת לא קיימת: המונה $3 \cdot 6-21=-3 \neq 0$ והמכנה $0$ . הגרף יוצא מהקצה תלול, ולכן המשיק שם אינו אופקי.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — משוואת משיק ונקודת חיתוך

פעילות אינטראקטיבית

המשיק ל- $(x+2)\sqrt{2x+1}$

נתונה $f(x)=(x+2)\sqrt{2x+1}$ . המשיק לגרף בנקודה שבה $x=4$ חותך את ציר ה- $x$ . מצאו את שיעור ה- $x$ של נקודת החיתוך.

$0.4$

$-2$

$4$

$-1$

מה מחשבים קודם?

את הנקודה: $f(4)$

להציג את התשובה והפתרון

משיק צריך נקודה ושיפוע.

פותרים $f(x)=0$

להציג את התשובה והפתרון

זה החיתוך של הגרף עם הציר, לא של המשיק.

\begin{aligned}f(4) &= 6 \cdot \sqrt{9} \\ &= 18\end{aligned}

הנקודה $(4,\,18)$

מהי $f'(x)$ ?

$\frac{3x+3}{\sqrt{2x+1}}$

להציג את התשובה והפתרון

$\sqrt{2x+1}+\frac{x+2}{\sqrt{2x+1}}$ , ומכנה משותף.

$\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$

להציג את התשובה והפתרון

זו רק הנגזרת של השורש, בלי כלל המכפלה.

\begin{aligned}f'(4) &= \frac{15}{3} \\ &= 5\end{aligned}

השיפוע

מה משוואת המשיק, ואיפה הוא חותך את ציר ה- $x$ ?

$y=5x-2$ , ומציבים $y=0$

להציג את התשובה והפתרון

$y-18=5(x-4)$ .

$y=18x-67$

להציג את התשובה והפתרון

החלפתם בין הערך לשיפוע.

\begin{aligned}y &= 5x-2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0.4\end{aligned}

חיתוך המשיק עם ציר $x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x=0.4$ . $-2$ הוא חיתוך הגרף עם הציר. $4$ הוא נקודת ההשקה. $-1$ פותר $f'(x)=0$ : שם המשיק אופקי, וזו שאלה אחרת.

לעשות את הפעילות ב-elev

האם המשיק הזה חותך את הגרף שוב, במקום אחר?

להציג את התשובה והפתרון

אפשר לבדוק בנקודה: $f(0)=2$ , ועל המשיק $y(0)=-2$ . הגרף מעל המשיק שם. כדי לענות בוודאות צריך לפתור משוואה עם שורש. בשאלות הבגרות שואלים על נקודת ההשקה ועל חיתוך עם הצירים.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — פרמטר, ואז הזזה של הגרף

פעילות אינטראקטיבית

נתונה $f(x)=(x-a)\sqrt{x}$ , ו- $a$ פרמטר. לפונקציה נקודת קיצון ב- $x=4$ . א. מצאו את $a$ . ב. מצאו את נקודת הקיצון וקבעו את סוגה. ג. נתונה $g(x)=f(x+2)$ . מצאו את תחום ההגדרה של $g$ ואת נקודת הקיצון שלה.

\begin{aligned}f(x) &= (x-a)\sqrt{x} \\ \quad f'(4) &= 0\end{aligned}

לחצו «להתחיל». נקודת קיצון פנימית: $f'=0$ .

נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{x}+\frac{x-a}{2\sqrt{x}} \\ &= \frac{3x-a}{2\sqrt{x}}\end{aligned}

הפרמטר נשאר במונה.

א.

\begin{aligned}3 \cdot 4-a &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 12\end{aligned}

מציבים $x=4$ במונה.

ב.

\begin{aligned}f(4) &= (4-12) \cdot 2 \\ &= -16 \ ;\quad f'(1)<0 \\ \ f'(9)>0\end{aligned}

מינימום $(4,\,-16)$ .

ג. תחום

\begin{aligned}g(x) &= (x+2-12)\sqrt{x+2} \ \\ \quad x+2 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq -2\end{aligned}

מציבים $x+2$ במקום $x$ .

ג. קיצון

\begin{aligned}x+2 &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \ \\ \quad g(2) &= f(4) \\ &= -16\end{aligned}

הגרף של $g$ הוא הגרף של $f$ מוזז 2 שמאלה. מינימום $(2,\,-16)$ .

$f(x+2)$ מזיזה שמאלה, לא ימינה. הגובה לא משתנה: רק שיעור ה- $x$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

מה סוג הנקודה $(-2,\,0)$ בגרף של $g$ ?

להציג את התשובה והפתרון

זו הזזה של הקצה $(0,0)$ של $f$ . $f$ יוצאת מ- $(0,0)$ בירידה אל המינימום, ולכן $(0,0)$ מקסימום מקומי בקצה. אותו דבר ל- $g$ ב- $(-2,0)$ .

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — קוראים את $f$ מתוך הגרף של $f'$

הגרף של f′

הגרף של

f'

עבור

f(x)=x+4\surd(1-x)

, המוגדרת ב-

x \leq 1

. הגרף חותך את ציר ה-

x

ב-

x=-3

וצולל למטה ליד

x=1

פעילות אינטראקטיבית

מהגרף של $f'$ אל נקודות הקיצון של $f$

בשרטוט הגרף של $f'$ עבור $f(x)=x+4\sqrt{1-x}$ . מצאו את נקודות הקיצון של $f$ וקבעו את סוגן. נתונה $g(x)=-f(x)$ . מה סוג נקודת הקיצון של $g$ ב- $x=-3$ ?

$f$ : מקסימום $(-3,5)$ , מינימום בקצה $(1,1)$ ; $g$ : מינימום ב- $x=-3$

$f$ : מינימום $(-3,5)$ ; $g$ : מקסימום ב- $x=-3$

$f$ : מקסימום $(-3,5)$ בלבד; $g$ : מקסימום ב- $x=-3$

$f$ : אין קיצון, כי $f'$ רק יורדת

מה הסימן של $f'$ משני צדי $x=-3$ ?

מ- $+$ ל- $-$

להציג את התשובה והפתרון

משמאל הקו מעל הציר, מימין מתחתיו.

אין החלפת סימן, כי $f'$ יורדת כל הזמן

להציג את התשובה והפתרון

$f'$ יורדת, אבל עוברת מחיובי לשלילי.

\begin{aligned}x &= -3: \ + \to - \ \Rightarrow \ \max \\ \quad f(-3) &= -3+8 \\ &= 5\end{aligned}

מקסימום $(-3,\,5)$

ומה עם הקצה $x=1$ ?

מינימום: $f$ מגיעה אליו בירידה

להציג את התשובה והפתרון

ב- $-3<x<1$ הנגזרת שלילית.

לא נקודת קיצון, כי $f'(1)$ לא קיימת

להציג את התשובה והפתרון

קצה שבו $f'$ לא קיימת הוא נקודה חשודה.

\begin{aligned}f(1) &= 1+0 \\ &= 1\end{aligned}

מינימום בקצה $(1,\,1)$

מה קורה לנקודה $x=-3$ ב- $g=-f$ ?

היא הופכת למינימום

להציג את התשובה והפתרון

שיקוף בציר ה- $x$ הופך מקסימום למינימום.

היא נשארת מקסימום

להציג את התשובה והפתרון

$g'=-f'$ : כל הסימנים מתהפכים.

g'(x)=-f'(x): \ - \to + \ \Rightarrow \ \min(-3,\,-5)

מינימום של $g$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ל- $f$ מקסימום $(-3,5)$ ומינימום בקצה $(1,1)$ ; ל- $g$ מינימום ב- $x=-3$ . מי שבחר «אין קיצון» קרא את הכיוון של $f'$ במקום את הסימן שלה. ומי שבחר «מקסימום $(-3,5)$ בלבד» שכח את הקצה.

לעשות את הפעילות ב-elev

איפה נמצא הגרף של $-f'$ ביחס לגרף בשרטוט?

להציג את התשובה והפתרון

הוא השיקוף שלו בציר ה- $x$ : עובר ב- $(-3,0)$ , שלילי משמאל וחיובי מימין. בבגרות מבקשים לפעמים לזהות איזה משני הגרפים הוא $f'$ : בודקים סימן בנקודה אחת, למשל $f'(0)=1-2=-1<0$ .

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה, ושאלה 5 מוסיפה את $g=-f$ .

תרגילים

תרגיל 1

נתונה $f(x)=(x-7)\sqrt{x+a}$ , ו- $a$ פרמטר. הגרף עובר בנקודה $(4,\,0)$ . מצאו את $a$ ואת נקודת המינימום של הפונקציה.

$a=$ ____ ; מינימום: $x=$ ____ , $y=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $a=$ -4 ; מינימום: $x=$ 5 , $y=$ -2

הפתרון:

\begin{aligned}(4-7)\sqrt{4+a} &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= -4\end{aligned}

השורש מתאפס

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x-4)+(x-7)}{2\sqrt{x-4}} \\ &= \frac{3x-15}{2\sqrt{x-4}}\end{aligned}

הנגזרת

\begin{aligned}x &= 5 \ ;\quad f(5) \\ &= -2 \cdot 1 \\ &= -2\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

$a=-4$ ומינימום $(5,\,-2)$ . הקצה $(4,0)$ הוא מקסימום מקומי. $a=4$ היה נותן $\sqrt{8}$ , לא $0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה $f(x)=(x-1)\sqrt{2x+1}$ . המשיק לגרף בנקודה שבה $x=4$ חותך את ציר ה- $y$ . מצאו את שיעור ה- $y$ של נקודת החיתוך.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -7

הפתרון:

\begin{aligned}f(4) &= 3 \cdot 3 \\ &= 9\end{aligned}

הנקודה $(4,\,9)$

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(2x+1)+(x-1)}{\sqrt{2x+1}} \\ &= \frac{3x}{\sqrt{2x+1}} \ \Rightarrow \ f'(4) \\ &= 4\end{aligned}

השיפוע

\begin{aligned}y-9 &= 4(x-4) \ \Rightarrow \ y \\ &= 4x-7\end{aligned}

המשיק

\begin{aligned}x &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= -7\end{aligned}

חיתוך עם ציר $y$

$-7$ . זה לא $f(0)=-1$ : המשיק והגרף נפגשים רק ב- $x=4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה $f(x)=(x-a)\sqrt{x}$ , ו- $a$ פרמטר. לפונקציה נקודת קיצון ב- $x=1$ . נתונה $g(x)=f(x-3)$ . מצאו את $a$ , את שיעור ה- $x$ של נקודת הקיצון של $g$ , ואת תחום ההגדרה של $g$ .

$a=$ ____ ; קיצון של $g$ ב- $x=$ ____ ; תחום: $x \geq$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $a=$ 3 ; קיצון של $g$ ב- $x=$ 4 ; תחום: $x \geq$ 3

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{3x-a}{2\sqrt{x}} \ \Rightarrow \ 3-a \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 3\end{aligned}

מציבים $x=1$

\begin{aligned}x-3 &= 1 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

הזזה 3 ימינה

x-3 \geq 0 \ \Rightarrow \ x \geq 3

התחום זז איתו

$a=3$ , קיצון של $g$ ב- $x=4$ , תחום $x \geq 3$ . $f(x-3)$ מזיזה ימינה: מי שעונה $x=-2$ הזיז לכיוון הלא נכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הגרף של f′

בשרטוט הגרף של $f'$ , הנגזרת של פונקציה $f$ המוגדרת ב- $x \leq 4$ . הגרף חותך את ציר ה- $x$ רק ב- $x=3$ . מה נכון לגבי $f$ ?

מקסימום ב- $x=3$ בלבד
מינימום ב- $x=3$ ומקסימום בקצה $x=4$
אין לה נקודות קיצון, כי $f'$ יורדת
מקסימום ב- $x=3$ ומינימום בקצה $x=4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד מקסימום ב- $x=3$ ומינימום בקצה $x=4$

הפתרון:

x<3: \ f'>0 \qquad 3<x<4: \ f'<0

קוראים סימנים

x=3: \ + \to - \ \Rightarrow \ \max

קיצון פנימי

x=4: \ \text{קצה} \ \Rightarrow \ \min

מגיעה אליו בירידה

הנכונה: מקסימום ב- $x=3$ ומינימום בקצה $x=4$ . זו הנגזרת של $f(x)=x+2\sqrt{4-x}$ : מקסימום $(3,\,5)$ ומינימום בקצה $(4,\,4)$ . «מקסימום בלבד» שכח את הקצה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה $f(x)=x+2\sqrt{4-x}$ , ונתונה $g(x)=-f(x)$ . מהו הערך הקטן ביותר של $g$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -5

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 1-\frac{1}{\sqrt{4-x}} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

הקיצון של $f$

\begin{aligned}f(3) &= 3+2 \\ &= 5 \ \\ \quad f(4) &= 4\end{aligned}

מקסימום ב- $x=3$ , מינימום בקצה

g(3)=-5

שיקוף: המקסימום של $f$ הוא המינימום של $g$

הערך הקטן ביותר של $g$ הוא $-5$ . הוא מוחלט, כי $5$ הוא הערך הגדול ביותר של $f$ : כש- $x$ קטן בלי גבול, גם $f$ קטנה בלי גבול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — פרמטר מתוך נקודה, ואז חקירה

2 — משוואת משיק ונקודת חיתוך

3 — פרמטר, ואז הזזה של הגרף

4 — קוראים את fff מתוך הגרף של f′f'f′

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

4 — קוראים את $f$ מתוך הגרף של $f'$