הגרף של f והגרף של f′

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בגרף אחד שני קווים: ff והנגזרת שלה. הם נראים שונים לגמרי, ובכל זאת כל אחד מספר על השני. חפשו איפה f′f' חוצה את הציר, ומה ff עושה באותו xx.

הגרף של f ושל f′
ff′ff′-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.533.54-4-3-2-11234567891011xy
f(x)=x√(x+3)f(x)=x\surd(x+3) והנגזרת f′(x)=3x+62√(x+3)f'(x)=\frac{3x+6}{2\surd(x+3)} על אותם צירים. f′f' מתחת לציר ב-−3<x<−2-3<x<-2, ושם ff יורדת. f′f' חוצה את הציר ב-x=−2x=-2, בדיוק מתחת למינימום של ff.

לפי הגרף: באיזה קטע f′f' שלילית, ומה עושה ff באותו קטע?

להציג את התשובה והפתרון

f′<0f'<0 ב-−3<x<−2-3<x<-2, ושם ff יורדת מ-00 ל-−2-2. ב-x>−2x>-2 הנגזרת חיובית, ו-ff עולה. ב-x=−3x=-3 לגרף של f′f' אין נקודה: שם הנגזרת לא קיימת.

מה קוראים בגרף של f′f'

f′>0f'>0

ff עולה. לא חשוב אם f′f' עצמה עולה או יורדת

f′<0f'<0

ff יורדת

f′=0 וחוצהf'=0 \ \text{וחוצה}

נקודת קיצון של ff: מ-++ ל-−- מקסימום, מ-−- ל-++ מינימום

f′→±∞f' \to \pm\infty

קצה התחום: ff מוגדרת שם, f′f' לא

גובה של נקודה בגרף של f′f' הוא שיפוע, לא ערך של ff. השיא של f′f' אינו השיא של ff: הוא המקום שבו ff עולה הכי מהר.

הגרף של f′
(0,0)(4,0)-1.5-1-0.500.511.522.533.544.55-9-8-7-6-5-4-3-2-11234567f′(x)x
הגרף של הנגזרת f′f' של פונקציה ff המוגדרת ב-x≤5x \leq 5. ב-x=5x=5 הגרף של f′f' צולל למטה ואין לו ערך.

איפה ff עולה הכי מהר?

להציג את התשובה והפתרון

במקום שבו f′f' הכי גבוהה, בערך ב-x=2.5x=2.5. זו לא נקודת קיצון של ff: שם ff רק עולה בתלילות הגדולה ביותר.

פרמטר אחד

בשאלת פרמטר נותנים נתון אחד על ff או על f′f', ומוצאים ממנו את הפרמטר. לפני שמציבים, שאלו: הנתון מדבר על ערך (ff) או על שיפוע (f′f')?

פרמטר מתוך נקודת קיצון

נתונה f(x)=(x−a)x+6f(x)=(x-a)\sqrt{x+6}, ו-aa פרמטר. לפונקציה נקודת קיצון ב-x=−2x=-2. מצאו את aa ואת סוג הנקודה.

f′(x)=2(x+6)+(x−a)2x+6=3x+12−a2x+6\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x+6)+(x-a)}{2\sqrt{x+6}} \\ &= \frac{3x+12-a}{2\sqrt{x+6}}\end{aligned}

גוזרים עם aa

3(−2)+12−a=0 ⇒ a=6\begin{aligned}3(-2)+12-a &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 6\end{aligned}

בנקודת קיצון פנימית f′=0f'=0

f′(x)=3x+62x+6 ;f′(−3)<0 f′(0)>0\begin{aligned}f'(x) &= \frac{3x+6}{2\sqrt{x+6}} \ ;\quad f'(-3)<0 \\ \ f'(0)>0\end{aligned}

מציבים את aa ובודקים סימן

f(−2)=−8⋅2=−16\begin{aligned}f(-2) &= -8 \cdot 2 \\ &= -16\end{aligned}

מינימום (−2, −16)(-2,\,-16)

שלוש טעויות בקריאת f′f' ובפרמטר.

max⁡f′ ⇒ max⁡f\max f' \ \Rightarrow \ \max f
f′=0 +→− ⇒ max⁡f\begin{aligned}f' &= 0 \\ \ + \to - \ \Rightarrow \ \max f\end{aligned}

השיא של f′f' הוא המקום שבו ff עולה הכי מהר, לא המקום שבו היא הכי גבוהה.

f′(x)↘ ⇒ f↘f'(x) \searrow \ \Rightarrow \ f \searrow
f′(x)<0 ⇒ f↘f'(x)<0 \ \Rightarrow \ f \searrow

ff יורדת רק כש-f′f' שלילית. f′f' שיורדת אבל חיובית אומרת ש-ff עדיין עולה.

f(−2)=0f(-2)=0
f′(−2)=0f'(-2)=0

נקודת קיצון אומרת שהשיפוע 00. הגובה f(−2)f(-2) יכול להיות כל מספר.

תרגילים

תרגיל 1

הגרף של f′
(4,0)-3-2-10123456-6-5-4-3-2-11234f′(x)x

בשרטוט הגרף של f′f', הנגזרת של פונקציה ff המוגדרת ב-x≤6x \leq 6. הגרף חותך את ציר ה-xx רק ב-x=4x=4. מה נכון לגבי ff?

  1. עולה בכל התחום, כי f′f' יורדת
  2. יש לה מקסימום ב-x=0x=0, כי שם f′f' גבוהה
  3. עולה ב-x<4x<4 ויורדת ב-4<x<64<x<6
  4. יורדת ב-x<4x<4 ועולה ב-4<x<64<x<6
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג עולה ב-x<4x<4 ויורדת ב-4<x<64<x<6

הפתרון:

x<4: f′>0x<4: \ f'>0

הקו מעל הציר

4<x<6: f′<04<x<6: \ f'<0

הקו מתחת לציר

x=4: +→−x=4: \ + \to -

מקסימום של ff

הנכונה: עולה ב-x<4x<4 ויורדת ב-4<x<64<x<6. f′f' יורדת בכל הגרף, אבל מה שקובע את ff הוא הסימן של f′f'. זו הנגזרת של f(x)=x6−xf(x)=x\sqrt{6-x}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

לפונקציה ff המוגדרת ב-x≥−3x \geq -3 הנגזרת f′(x)=3x+62x+3f'(x)=\frac{3x+6}{2\sqrt{x+3}}. כמה נקודות קיצון יש ל-ff, כולל קצה התחום?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f′=0 ⇒ x=−2 ; −→+\begin{aligned}f' &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -2 \ ;\ - \to +\end{aligned}

מינימום

−3<x<−2: f′<0-3<x<-2: \ f'<0

יוצאת מהקצה בירידה

x=−3x=-3

מקסימום בקצה

שתי נקודות: מינימום ב-x=−2x=-2 ומקסימום בקצה x=−3x=-3. מי שסופר רק את אפסי הנגזרת עונה 11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

התאימו לכל פונקציה את התיאור של הנגזרת שלה.

  • xx+3x\sqrt{x+3}
  • x3−xx\sqrt{3-x}
  • 2x+32\sqrt{x+3}
  • −x−x+3-x-\sqrt{x+3}
  • חיובית ב-x<2x<2, שלילית ב-2<x<32<x<3
  • חיובית בכל התחום
  • שלילית ב-−3<x<−2-3<x<-2, חיובית ב-x>−2x>-2
  • שלילית בכל התחום
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: xx+3x\sqrt{x+3} — שלילית ב-−3<x<−2-3<x<-2, חיובית ב-x>−2x>-2 · x3−xx\sqrt{3-x} — חיובית ב-x<2x<2, שלילית ב-2<x<32<x<3 · 2x+32\sqrt{x+3} — חיובית בכל התחום · −x−x+3-x-\sqrt{x+3} — שלילית בכל התחום

הפתרון:

(x3−x)′=6−3x23−x\left(x\sqrt{3-x}\right)'=\frac{6-3x}{2\sqrt{3-x}}

מתאפסת ב-x=2x=2

(2x+3)′=1x+3>0\left(2\sqrt{x+3}\right)'=\frac{1}{\sqrt{x+3}}>0

תמיד חיובית

(−x−x+3)′=−1−12x+3<0\left(-x-\sqrt{x+3}\right)'=-1-\frac{1}{2\sqrt{x+3}}<0

תמיד שלילית

שתי פונקציות מונוטוניות ושתיים עם קיצון. בכל אחת הסימן של f′f' הוא הסימן של המונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה f(x)=xx+3f(x)=x\sqrt{x+3}. הוכיחו או הפריכו: הנקודה (−2, 0)(-2,\,0) נמצאת על הגרף של f′f'.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f′(−2)=−6+62⋅1=0\begin{aligned}f'(-2) &= \frac{-6+6}{2 \cdot 1} \\ &= 0\end{aligned}

מציבים בנגזרת

הטענה נכונה. (−2,0)(-2,0) על הגרף של f′f', ו-(−2,−2)(-2,-2) על הגרף של ff. אותו xx, שני גרפים, שני גבהים שונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה f(x)=(x+a)x+2f(x)=(x+a)\sqrt{x+2}, ו-aa פרמטר. לפונקציה נקודת קיצון ב-x=2x=2. מצאו את aa ואת שיעור ה-yy של נקודת הקיצון.

a=a= ____ , y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: a=a= -10 , y=y= -16

הפתרון:

f′(x)=3x+4+a2x+2f'(x)=\frac{3x+4+a}{2\sqrt{x+2}}

גוזרים עם aa

10+a=0 ⇒ a=−10\begin{aligned}10+a &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= -10\end{aligned}

f′(2)=0f'(2)=0

f(2)=(2−10)⋅2=−16\begin{aligned}f(2) &= (2-10) \cdot 2 \\ &= -16\end{aligned}

הגובה

a=−10a=-10 ו-y=−16y=-16. את aa מוצאים מ-f′f'; את yy מ-ff, אחרי שמציבים את aa.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

y = f(x)
(−4,0)(0, 4√2)(2,0)-5-4-3-2-10123-6-5-4-3-2-11234567xy

בשרטוט הגרף של f(x)=(x+4)2−xf(x)=(x+4)\sqrt{2-x}. מה נכון לגבי הנגזרת f′f'?

  1. f′(2)=0f'(2)=0
  2. f′(0)f'(0) לא קיימת
  3. f′>0f'>0 ב-x<0x<0 ו-f′<0f'<0 ב-0<x<20<x<2
  4. f′>0f'>0 בכל התחום
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג f′>0f'>0 ב-x<0x<0 ו-f′<0f'<0 ב-0<x<20<x<2

הפתרון:

f′(x)=−3x22−xf'(x)=\frac{-3x}{2\sqrt{2-x}}

הנגזרת

x=0: max⁡x=0: \ \max

בגרף: עולה ואז יורדת

x=2: קצהx=2: \ \text{קצה}

שם הנגזרת לא קיימת

הנכונה: f′>0f'>0 משמאל ל-00 ו-f′<0f'<0 מימין לו. ב-x=0x=0 יש מקסימום פנימי, ושם f′(0)=0f'(0)=0. הנגזרת לא קיימת דווקא בקצה x=2x=2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה f(x)=x+kx+1f(x)=x+k\sqrt{x+1}, ו-kk פרמטר. לפונקציה נקודת קיצון ב-x=3x=3. מצאו את kk.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -4

הפתרון:

f′(x)=1+k2x+1f'(x)=1+\frac{k}{2\sqrt{x+1}}

הנגזרת

f′(3)=1+k4=0 ⇒ k=−4\begin{aligned}f'(3) &= 1+\frac{k}{4} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ k \\ &= -4\end{aligned}

מציבים

f(3)=3−4⋅2=−5\begin{aligned}f(3) &= 3-4 \cdot 2 \\ &= -5\end{aligned}

מינימום (3, −5)(3,\,-5)

k=−4k=-4. אם k>0k>0 הנגזרת חיובית תמיד ואין קיצון פנימי: לכן הסימן השלילי חייב לצאת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה f(x)=x6−xf(x)=x\sqrt{6-x}. קוראים את נקודת הקיצון מתוך הנגזרת. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

f′(x)=12−3x26−xf'(x)=\frac{12-3x}{2\sqrt{6-x}}
x<4: f′(x)>0 ⇒ f↗x<4: \ f'(x)>0 \ \Rightarrow \ f \nearrow
4<x<6: f′(x)<0 ⇒ f↘4<x<6: \ f'(x)<0 \ \Rightarrow \ f \searrow
⇒ min⁡(4, 42)\Rightarrow \ \min\left(4,\,4\sqrt{2}\right)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ⇒ min⁡(4, 42)\Rightarrow \ \min\left(4,\,4\sqrt{2}\right) → ⇒ max⁡(4, 42)\Rightarrow \ \max\left(4,\,4\sqrt{2}\right)

הפתרון:

↗ ואז ↘\nearrow \ \text{ואז} \ \searrow

עולה ואז יורדת

f(4)=42f(4)=4\sqrt{2}

הגובה נכון

השורה האחרונה. עולה ואז יורדת זה מקסימום. שתי השורות שלפניה נכונות, והטעות היא רק בשם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה f(x)=(x−a)x+1f(x)=(x-a)\sqrt{x+1}, ו-aa פרמטר. המשיק לגרף בנקודה שבה x=0x=0 עובר בנקודה (2, 0)(2,\,0). מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

f(0)=−af(0)=-a

הנקודה (0, −a)(0,\,-a)

f′(x)=3x+2−a2x+1 ⇒ f′(0)=2−a2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{3x+2-a}{2\sqrt{x+1}} \ \Rightarrow \ f'(0) \\ &= \frac{2-a}{2}\end{aligned}

השיפוע

y=−a+2−a2xy=-a+\tfrac{2-a}{2}x

המשיק

0=−a+(2−a) ⇒ a=1\begin{aligned}0 &= -a+(2-a) \ \Rightarrow \ a \\ &= 1\end{aligned}

מציבים (2,0)(2,0)

a=1a=1. הנקודה (2,0)(2,0) על המשיק, לא על הגרף. מי שמציב אותה ב-ff מקבל a=2a=2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה f(x)=x25−xf(x)=x^2\sqrt{5-x}. בכמה נקודות הגרף של f′f' חותך את ציר ה-xx?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f′(x)=5x(4−x)25−xf'(x)=\frac{5x(4-x)}{2\sqrt{5-x}}

הנגזרת

x=0 x=4\begin{aligned}x &= 0 \\ \ x &= 4\end{aligned}

אפסי המונה

שתי נקודות. x=5x=5 אינו אחת מהן: שם f′f' לא קיימת, ולגרף שלה אין שם נקודה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת