הנגזרת של מכפלה עם שורש · פונקציות עם שורש · כיתה י״א

בכיתה י גזרנו $\sqrt{x+3}$ : גרף שמתחיל בנקודה אחת ורק עולה. עכשיו נכפול אותו בגורם $x$ . הסתכלו מה קורה לגרף לפני שגוזרים משהו.

y = x√(x + 3)

הגרף מתחיל ב-

(-3,0)

, יורד עד

(-2,-2)

, ורק אחר כך עולה ועובר ב-

(0,0)

. ל-

\surd(x+3)

לבד אין ירידה כזו: הגורם

x

הוא שיצר אותה.

לפי הגרף: מאיזה $x$ הפונקציה מוגדרת, ולמה הגרף מתחת לציר ה- $x$ בין $-3$ ל- $0$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התחום הוא $x \geq -3$ , כמו של השורש לבדו. בין $-3$ ל- $0$ הגורם $x$ שלילי והשורש חיובי, ולכן המכפלה שלילית. ב- $x=0$ הגורם מתאפס והגרף חוצה את הציר.

תחום ההגדרה ונקודות האפס של $g(x)\sqrt{ax+b}$

$g$ הוא פולינום, והוא מוגדר לכל $x$ . לכן התחום נקבע רק על ידי השורש: $ax+b \geq 0$ . מכפלה מתאפסת כשאחד הגורמים מתאפס, אבל רק אם הנקודה בתחום.

x\sqrt{x+3} \ : \ x \geq -3

אפסים: $x=0$ ו- $x=-3$

(x-5)\sqrt{2x+4} \ : \ x \geq -2

אפסים: $x=5$ ו- $x=-2$

(x+4)\sqrt{1-x} \ : \ x \leq 1

אפסים: $x=-4$ ו- $x=1$

(x-6)\sqrt{2-x} \ : \ x \leq 2

אפס אחד בלבד, $x=2$ . הערך $x=6$ מחוץ לתחום

גוזרים: כלל המכפלה, ובתוכו כלל השרשרת

\left(g \cdot \sqrt{f}\right)' = g' \cdot \sqrt{f} + g \cdot \frac{f'}{2\sqrt{f}}

\left(\sqrt{ax+b}\right)' = \frac{a}{2\sqrt{ax+b}}

הנגזרת הפנימית $a$ עולה למונה, עם הסימן שלה

אחרי הגזירה מביאים למכנה משותף $2\sqrt{f}$ . כך מתקבל שבר אחד, והנגזרת מתאפסת בדיוק כשהמונה מתאפס.

גוזרים ומכנסים

נתונה $f(x)=(x-2)\sqrt{x+1}$ . מצאו את $f'(x)$ כשבר אחד, ומצאו איפה היא מתאפסת.

f'(x)=1 \cdot \sqrt{x+1}+(x-2) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}}

כלל המכפלה

=\frac{2(x+1)+(x-2)}{2\sqrt{x+1}}

מכנה משותף: $\sqrt{x+1} \cdot 2\sqrt{x+1}=2(x+1)$

=\frac{3x}{2\sqrt{x+1}} \ ,\quad x>-1

מכנסים את המונה

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ 3x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0\end{aligned}

המונה מתאפס. $x=0$ בתחום

למה כתבנו $x>-1$ ולא $x \geq -1$ ליד הנגזרת?

להציג את התשובה והפתרון

ב- $x=-1$ המכנה $2\sqrt{x+1}$ הוא $0$ . הפונקציה מוגדרת שם, $f(-1)=0$ , אבל הנגזרת לא. על הנקודה הזו נדבר ביחידה הבאה.

כש- $g$ ממעלה שנייה

הדרך זהה. רק שהמונה יוצא ממעלה שנייה, ולעתים קרובות אפשר להוציא ממנו גורם משותף.

נגזרת של $x^2\sqrt{5-x}$

נתונה $f(x)=x^2\sqrt{5-x}$ . מצאו את $f'(x)$ ואת האפסים שלה.

f'(x)=2x\sqrt{5-x}+x^2 \cdot \frac{-1}{2\sqrt{5-x}}

הנגזרת הפנימית של $5-x$ היא $-1$

=\frac{4x(5-x)-x^2}{2\sqrt{5-x}}=\frac{20x-5x^2}{2\sqrt{5-x}}

מכנה משותף

=\frac{5x(4-x)}{2\sqrt{5-x}} \ ,\quad x<5

גורם משותף $5x$

\begin{aligned}x &= 0 \ \\ \quad x &= 4\end{aligned}

שני האפסים, ושניהם בתחום $x \leq 5$

פעילות אינטראקטיבית

גוזרים יחד: $(x-4)\sqrt{2x+1}$

נתונה $f(x)=(x-4)\sqrt{2x+1}$ . מצאו את $f'(x)$ כשבר אחד.

$\frac{3x-3}{\sqrt{2x+1}}$

$\frac{3x-7}{2\sqrt{2x+1}}$

$\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$

$\frac{2x-3}{\sqrt{2x+1}}$

איזה כלל מפעילים קודם?

כלל המכפלה

להציג את התשובה והפתרון

שני גורמים שתלויים ב- $x$ .

כופלים את הנגזרות: $1 \cdot (\sqrt{2x+1})'$

להציג את התשובה והפתרון

הנגזרת של מכפלה אינה מכפלת הנגזרות.

f'(x)=\sqrt{2x+1}+(x-4) \cdot \left(\sqrt{2x+1}\right)'

שני מחוברים

מהי $(\sqrt{2x+1})'$ ?

$\frac{2}{2\sqrt{2x+1}}=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$

להציג את התשובה והפתרון

הנגזרת הפנימית $2$ עולה למונה.

$\frac{1}{2\sqrt{2x+1}}$

להציג את התשובה והפתרון

שכחתם את הנגזרת הפנימית $2$ .

f'(x)=\sqrt{2x+1}+\frac{x-4}{\sqrt{2x+1}}

ה- $2$ מצטמצם

איך מביאים למכנה משותף?

כופלים את $\sqrt{2x+1}$ ב- $\frac{\sqrt{2x+1}}{\sqrt{2x+1}}$

להציג את התשובה והפתרון

במונה מתקבל $2x+1$ , בלי שורש.

מחברים מונים: $\sqrt{2x+1}+x-4$

להציג את התשובה והפתרון

למחובר הראשון אין מכנה $\sqrt{2x+1}$ .

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{(2x+1)+(x-4)}{\sqrt{2x+1}} \\ &= \frac{3x-3}{\sqrt{2x+1}}\end{aligned}

מתאפסת ב- $x=1$

להציג את התשובה והפתרון

$f'(x)=\frac{3x-3}{\sqrt{2x+1}}$ . התשובה עם $2$ במכנה שכחה את הנגזרת הפנימית. $\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$ כפלה נגזרות. $\frac{2x-3}{\sqrt{2x+1}}$ שכחה את ה- $x$ שבמחובר השני.

לעשות את הפעילות ב-elev

נתונה $f(x)=x+\sqrt{2x+1}$ , סכום ולא מכפלה. מהי $f'(x)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$f'(x)=1+\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$ . בסכום גוזרים כל מחובר לחוד, בלי כלל המכפלה. הנגזרת חיובית בכל $x>-\frac{1}{2}$ , ולכן הפונקציה עולה בכל התחום.

תבנית שכדאי לזכור: אחרי מכנה משותף, הנגזרת של $g\sqrt{ax+b}$ היא תמיד פולינום חלקי $2\sqrt{ax+b}$ . הסימן של המכנה חיובי, ולכן הסימן של $f'$ הוא הסימן של המונה.

שלוש טעויות בגזירת מכפלה עם שורש.

\left(\sqrt{5-x}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{5-x}}

\left(\sqrt{5-x}\right)'=\frac{-1}{2\sqrt{5-x}}

הנגזרת הפנימית של $5-x$ היא $-1$ . בלי המינוס, כל הסימנים של $f'$ מתהפכים.

\left(x\sqrt{x+3}\right)'=1 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+3}}

\sqrt{x+3}+\frac{x}{2\sqrt{x+3}}

מכפלה נגזרת בכלל המכפלה: שני מחוברים.

\sqrt{x+1}+\frac{x-2}{2\sqrt{x+1}}=\frac{2\sqrt{x+1}+x-2}{2\sqrt{x+1}}

=\frac{2(x+1)+x-2}{2\sqrt{x+1}}

במכנה משותף כופלים את $\sqrt{x+1}$ ב- $2\sqrt{x+1}$ , ומקבלים $2(x+1)$ , בלי שורש.

תרגילים

תרגיל 1

מהו תחום ההגדרה של $f(x)=(x+5)\sqrt{12-3x}$ ?

$x \geq -5$
$x \geq 4$
$-5 \leq x \leq 4$
$x \leq 4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $x \leq 4$

הפתרון:

12-3x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 4

רק השורש מגביל

x+5

פולינום: מוגדר לכל $x$

הנכונה: $x \leq 4$ . $x \geq -5$ מגיע מהגורם $x+5$ , אבל פולינום לא מגביל את התחום. $x \geq 4$ שכח להפוך את הכיוון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה $f(x)=(x-6)\sqrt{2-x}$ . באילו נקודות הגרף חותך את ציר ה- $x$ ?

רק ב- $x=2$
אין נקודות חיתוך
ב- $x=6$ וב- $x=2$
רק ב- $x=6$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א רק ב- $x=2$

הפתרון:

2-x \geq 0 \ \Rightarrow \ x \leq 2

תחום

\begin{aligned}x-6 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6 \notin \text{תחום}\end{aligned}

נפסל

\begin{aligned}\sqrt{2-x} &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2\end{aligned}

נקודה בתחום

הנכונה: רק $x=2$ . מי שבחר גם $x=6$ לא בדק את התחום: שם השורש $\sqrt{-4}$ לא מוגדר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה $f(x)=x\sqrt{x+5}$ . חשבו את $f'(-1)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.75

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \sqrt{x+5}+\frac{x}{2\sqrt{x+5}} \\ &= \frac{3x+10}{2\sqrt{x+5}}\end{aligned}

כלל המכפלה ומכנה משותף

\begin{aligned}f'(-1) &= \frac{7}{2 \cdot 2} \\ &= \frac{7}{4} \\ &= 1.75\end{aligned}

מציבים

$f'(-1)=1.75$ . מי שקיבל $2$ הציב רק במחובר הראשון, $\sqrt{4}$ , ושכח את $\frac{x}{2\sqrt{x+5}}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה $f(x)=(x+3)\sqrt{1-x}$ . מהי $f'(x)$ ?

$\frac{5-x}{2\sqrt{1-x}}$
$\frac{-3x+5}{2\sqrt{1-x}}$
$\frac{-1}{2\sqrt{1-x}}$
$\frac{-3x-1}{2\sqrt{1-x}}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $\frac{-3x-1}{2\sqrt{1-x}}$

הפתרון:

f'(x)=\sqrt{1-x}+(x+3) \cdot \frac{-1}{2\sqrt{1-x}}

כלל המכפלה; הנגזרת הפנימית $-1$

=\frac{2(1-x)-(x+3)}{2\sqrt{1-x}}=\frac{-3x-1}{2\sqrt{1-x}}

מכנה משותף

הנכונה: $\frac{-3x-1}{2\sqrt{1-x}}$ . $\frac{5-x}{2\sqrt{1-x}}$ שכחה את ה- $-1$ של הנגזרת הפנימית. $\frac{-1}{2\sqrt{1-x}}$ כפלה את הנגזרות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה $f(x)=x^2\sqrt{x+5}$ . מצאו את הערכים של $x$ שבהם $f'(x)=0$ .

הקטן: $x=$ ____ , הגדול: $x=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הקטן: $x=$ -4 , הגדול: $x=$ 0

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 2x\sqrt{x+5}+\frac{x^2}{2\sqrt{x+5}} \\ &= \frac{4x(x+5)+x^2}{2\sqrt{x+5}}\end{aligned}

מכפלה ומכנה משותף

=\frac{5x^2+20x}{2\sqrt{x+5}}=\frac{5x(x+4)}{2\sqrt{x+5}}

גורם משותף

\begin{aligned}x &= 0 \ \\ \quad x &= -4\end{aligned}

שניהם בתחום $x>-5$

שני אפסים, $-4$ ו- $0$ . מי שמצמצם ב- $x$ לפני שפותר מאבד את $x=0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה $f(x)=x+4\sqrt{1-x}$ . באיזה $x$ מתקיים $f'(x)=0$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 1+4 \cdot \frac{-1}{2\sqrt{1-x}} \\ &= 1-\frac{2}{\sqrt{1-x}}\end{aligned}

סכום: גוזרים כל מחובר

\begin{aligned}\sqrt{1-x} &= 2 \ \Rightarrow \ 1-x \\ &= 4 \ \Rightarrow \ x \\ &= -3\end{aligned}

משוואה

\begin{aligned}f'(-3) &= 1-\frac{2}{2} \\ &= 0\end{aligned}

בדיקה ✓

$x=-3$ . בסכום אין כלל מכפלה, אבל יש כלל שרשרת: בלי ה- $-1$ מתקבל $1+\frac{2}{\sqrt{1-x}}$ , שלא מתאפס לעולם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

גוזרים את $f(x)=(x-7)\sqrt{x+2}$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

f'(x)=\sqrt{x+2}+\frac{x-7}{2\sqrt{x+2}}

=\frac{2\sqrt{x+2}+x-7}{2\sqrt{x+2}}

=\frac{3x-3}{2\sqrt{x+2}}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $=\frac{2\sqrt{x+2}+x-7}{2\sqrt{x+2}}$ → $=\frac{2(x+2)+x-7}{2\sqrt{x+2}}$

הפתרון:

\sqrt{x+2} \cdot 2\sqrt{x+2}=2(x+2)

מה שקורה במכנה משותף

2x+4+x-7=3x-3

ואז השורה השלישית נכונה

השורה השנייה. כדי להגיע למכנה $2\sqrt{x+2}$ כופלים את $\sqrt{x+2}$ ב- $2\sqrt{x+2}$ , והשורש נעלם: $2(x+2)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הוכיחו או הפריכו: לפונקציה $f(x)=(x^2-9)\sqrt{x+1}$ ולנגזרת שלה $f'(x)$ יש אותו תחום הגדרה, $x \geq -1$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

f'(x)=2x\sqrt{x+1}+\frac{x^2-9}{2\sqrt{x+1}}

יש שורש במכנה

\begin{aligned}x &= -1: \ 2\sqrt{x+1} \\ &= 0\end{aligned}

המכנה מתאפס

x^2-9=-8 \neq 0

והמונה לא

הטענה לא נכונה. $f(-1)=0$ , אבל $f'(-1)$ לא מוגדרת. התחום של $f'$ הוא $x>-1$ : בלי הקצה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

התאימו לכל פונקציה את הנגזרת שלה.

$x\sqrt{x+3}$
$x\sqrt{3-x}$
$x+\sqrt{x+3}$
$x^2\sqrt{x+3}$

$\frac{3x+6}{2\sqrt{x+3}}$
$\frac{6-3x}{2\sqrt{3-x}}$
$\frac{x(5x+12)}{2\sqrt{x+3}}$
$1+\frac{1}{2\sqrt{x+3}}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x\sqrt{x+3}$ — $\frac{3x+6}{2\sqrt{x+3}}$ · $x\sqrt{3-x}$ — $\frac{6-3x}{2\sqrt{3-x}}$ · $x+\sqrt{x+3}$ — $1+\frac{1}{2\sqrt{x+3}}$ · $x^2\sqrt{x+3}$ — $\frac{x(5x+12)}{2\sqrt{x+3}}$

הפתרון:

\left(x\sqrt{3-x}\right)'=\frac{2(3-x)-x}{2\sqrt{3-x}}

המינוס מ- $3-x$

\left(x^2\sqrt{x+3}\right)'=\frac{4x(x+3)+x^2}{2\sqrt{x+3}}

$2x$ כפול $2(x+3)$

הסכום $x+\sqrt{x+3}$ הוא היחיד שנגזרתו אינה שבר אחד: בסכום אין כלל מכפלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה $f(x)=(x+a)\sqrt{x+4}$ , ו- $a$ פרמטר. ידוע ש- $f'(5)=4$ . מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2(x+4)+(x+a)}{2\sqrt{x+4}} \\ &= \frac{3x+8+a}{2\sqrt{x+4}}\end{aligned}

גוזרים עם הפרמטר

\begin{aligned}f'(5) &= \frac{23+a}{6} \\ &= 4 \ \Rightarrow \ a \\ &= 1\end{aligned}

מציבים $x=5$ : $\sqrt{9}=3$

$a=1$ . שימו לב: הנתון הוא על הנגזרת. מי שמציב ב- $f$ פותר $(5+a) \cdot 3=4$ ומקבל תשובה אחרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תחום ההגדרה ונקודות האפס של g(x)ax+bg(x)\sqrt{ax+b}g(x)ax+b​

גוזרים: כלל המכפלה, ובתוכו כלל השרשרת

כש-ggg ממעלה שנייה

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

תחום ההגדרה ונקודות האפס של $g(x)\sqrt{ax+b}$

כש- $g$ ממעלה שנייה