תרגול

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשרה תרגילים על כל הפרק: אסימפטוטות של פונקציה רציונלית, הנגזרת השנייה ונקודות פיתול, ונגזרות של פונקציות טריגונומטריות. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

מהי האסימפטוטה האופקית של f(x)=4x−12x+5f(x) = \frac{4x-1}{2x+5}? (כתבו את ערך ה-yy)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

4x2x=2\frac{4x}{2x} = 2

הדרגות שוות — יחס המקדמים המובילים

האסימפטוטה האופקית היא y=2y = 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהי הנגזרת של f(x)=cos⁡4xf(x) = \cos 4x?

  1. −4cos⁡4x-4\cos 4x
  2. −4sin⁡4x-4\sin 4x
  3. −sin⁡4x-\sin 4x
  4. 4sin⁡4x4\sin 4x
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב −4sin⁡4x-4\sin 4x

הפתרון:

(cos⁡u)′=−sin⁡u⋅u′(\cos u)' = -\sin u \cdot u'

כלל השרשרת

(cos⁡4x)′=−4sin⁡4x(\cos 4x)' = -4\sin 4x

שלוש הטעויות: לשכוח את המינוס, לשכוח את המקדם 44 של הפנימי, או להשאיר קוסינוס במקום סינוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מצאו את שיעור ה-xx של נקודת הפיתול של f(x)=x3+6x2−2f(x) = x^3 + 6x^2 - 2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2

הפתרון:

f′(x)=3x2+12xf'(x) = 3x^2 + 12x
f′′(x)=6x+12=0⇒x=−2\begin{aligned}f''(x) &= 6x + 12 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= -2\end{aligned}
f′′(−3)=−6<0  f′′(0)=12>0\begin{aligned}f''(-3) &= -6 < 0 \ \\ \ f''(0) &= 12 > 0\end{aligned}

הסימן מתחלף

נקודת הפיתול ב-x=−2x = -2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

כמה אסימפטוטות אנכיות יש ל-f(x)=x−2x2−4f(x) = \frac{x-2}{x^2-4}?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

x2−4=0⇒x=±2\begin{aligned}x^2 - 4 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm 2\end{aligned}

המכנה מתאפס בשתי נקודות

x−2(x−2)(x+2)=1x+2\frac{x-2}{(x-2)(x+2)} = \frac{1}{x+2}

אחרי הצמצום הפונקציה סופית ב-x=2x = 2 — חור, לא אסימפטוטה

x=−2: x−2=−4≠0\begin{aligned}x &= -2: \ x - 2 \\ &= -4 \ne 0\end{aligned}

אסימפטוטה

אסימפטוטה אנכית אחת בלבד: x=−2x = -2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה f(x)=sin⁡2xf(x) = \sin 2x. חשבו את f′(π6)f'\left(\frac{\pi}{6}\right).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

f′(x)=2cos⁡2xf'(x) = 2\cos 2x
f′(π6)=2cos⁡π3=2⋅0.5\begin{aligned}f'\left(\frac{\pi}{6}\right) &= 2\cos\frac{\pi}{3} \\ &= 2 \cdot 0.5\end{aligned}
=1= 1

מציבים בזווית הפנימית 2x2x, לא ב-xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה f(x)=x3−12xf(x) = x^3 - 12x. בעזרת הנגזרת השנייה, מצאו את נקודת המינימום המקומי. מהו שיעור ה-yy שלה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -16

הפתרון:

f′(x)=3x2−12=0⇒x=±2\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 - 12 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= \pm 2\end{aligned}
f′′(x)=6x  f′′(2)=12>0\begin{aligned}f''(x) &= 6x \ \\ \ f''(2) &= 12 > 0\end{aligned}

מינימום

f(2)=8−24=−16\begin{aligned}f(2) &= 8 - 24 \\ &= -16\end{aligned}

ב-x=−2x = -2 מתקיים f′′(−2)=−12<0f''(-2) = -12 < 0 — שם המקסימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

לפונקציה f(x)=x4−4x3f(x) = x^4 - 4x^3 יש נקודת פיתול ב-x=0x = 0.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f′′(x)=12x2−24x=12x(x−2)\begin{aligned}f''(x) &= 12x^2 - 24x \\ &= 12x(x-2)\end{aligned}
f′′(−1)=36>0  f′′(1)=−12<0\begin{aligned}f''(-1) &= 36 > 0 \ \\ \ f''(1) &= -12 < 0\end{aligned}

הסימן מתחלף ב-x=0x = 0

לא די ש-f′′(0)=0f''(0) = 0 — כאן הסימן באמת מתחלף, ולכן יש פיתול. יש נקודת פיתול נוספת ב-x=2x = 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

נתונה f(x)=x+2cos⁡xf(x) = x + 2\cos x בתחום 0≤x≤π0 \le x \le \pi. מהו הערך הגדול ביותר של הפונקציה בתחום? (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.256

הפתרון:

f′(x)=1−2sin⁡x=0⇒sin⁡x=12\begin{aligned}f'(x) &= 1 - 2\sin x \\ &= 0 \Rightarrow \sin x \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}
x=π6  x=5π6\begin{aligned}x &= \frac{\pi}{6} \ \\ \ x &= \frac{5\pi}{6}\end{aligned}

שני הפתרונות בתחום

f′′(x)=−2cos⁡x  f′′(π6)=−3<0\begin{aligned}f''(x) &= -2\cos x \ \\ \ f''\left(\frac{\pi}{6}\right) &= -\sqrt{3} < 0\end{aligned}

מקסימום

f(π6)=π6+3≈2.256f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6} + \sqrt{3} \approx 2.256

ב-5π6\frac{5\pi}{6} יש מינימום, f≈0.886f \approx 0.886.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

לפונקציה f(x)=ax+3x−2f(x) = \frac{ax+3}{x-2} יש אסימפטוטה אופקית y=4y = 4. מהו שיעור ה-xx של נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-xx?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.75

הפתרון:

axx=a=4\begin{aligned}\frac{ax}{x} &= a \\ &= 4\end{aligned}

יחס המקדמים המובילים

f(x)=4x+3x−2f(x) = \frac{4x+3}{x-2}
4x+3=0⇒x=−0.75\begin{aligned}4x + 3 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -0.75\end{aligned}

המונה מתאפס

בנקודה x=−0.75x = -0.75 המכנה אינו מתאפס, ולכן זו נקודת חיתוך אמיתית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

גובה פני המים בנמל אשדוד (במטרים) נתון על ידי h(t)=2+sin⁡πt6h(t) = 2 + \sin\frac{\pi t}{6}, כאשר tt הוא הזמן בשעות, 0≤t≤120 \le t \le 12. באיזו שעה tt פני המים יורדים בקצב המהיר ביותר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

h′(t)=π6cos⁡πt6h'(t) = \frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi t}{6}

קצב השינוי

h′′(t)=−π236sin⁡πt6=0⇒t=0612\begin{aligned}h''(t) &= -\frac{\pi^2}{36}\sin\frac{\pi t}{6} \\ &= 0 \Rightarrow t \\ &= 0 \\ 6 \\ 12\end{aligned}

קיצון של הקצב — בנקודת פיתול של hh או בקצה התחום

h′(6)=π6cos⁡π=−π6\begin{aligned}h'(6) &= \frac{\pi}{6}\cos\pi \\ &= -\frac{\pi}{6}\end{aligned}

הערך הנמוך ביותר של h′h'

ב-t=0t = 0 וב-t=12t = 12 הקצב הוא +π6+\frac{\pi}{6} — שם המים עולים הכי מהר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת