סדרה 3 — לקראת הבגרות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שלוש שאלות בנוסח פרק 4 של הבגרות, כל אחת מחולקת לסעיפים. כל סעיף הוא תרגיל נפרד, עם אותה פתיחה: פונקציה רציונלית עם פרמטר עד נקודות הפיתול, פונקציה שנתונה רק הנגזרת שלה, וקטע אנכי ארוך ביותר בין שני גרפים.

כמו בבחינה: כל סעיף משתמש בקודמו. לפני שמתחילים סעיף, כתבו מה כבר מצאתם: את הפרמטר, את f′f', את נקודות החיתוך.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה הפונקציה f(x)=axx2+9f(x)=\frac{ax}{x^2+9}, כאשר a>0a>0 פרמטר. הערך הגדול ביותר של הפונקציה הוא 11. א. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

f′(x)=a(x2+9)−ax⋅2x(x2+9)2=a(9−x2)(x2+9)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{a(x^2+9)-ax \cdot 2x}{(x^2+9)^2} \\ &= \frac{a(9-x^2)}{(x^2+9)^2}\end{aligned}

כלל המנה

x=3 (max⁡)x=−3 (min⁡)\begin{aligned}x &= 3 \ (\max) \\ \quad x &= -3 \ (\min)\end{aligned}

כי a>0a>0

f(3)=3a18=a6=1 ⇒ a=6\begin{aligned}f(3) &= \frac{3a}{18} \\ &= \frac{a}{6} \\ &= 1 \ \Rightarrow \ a \\ &= 6\end{aligned}

הערך הגדול ביותר

המקסימום הוא ערך של ff, ולכן משווים את f(3)f(3) ל-11. מי שמשווה את f′f' ל-11 מחפש שיפוע, לא גובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה הפונקציה f(x)=axx2+9f(x)=\frac{ax}{x^2+9}, כאשר a>0a>0 פרמטר. הערך הגדול ביותר של הפונקציה הוא 11. ב. מצאו את נקודת המינימום של ff ואת האסימפטוטה האופקית שלה.

מינימום: x=x= ____ , y=y= ____ ; אסימפטוטה: y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מינימום: x=x= -3 , y=y= -1 ; אסימפטוטה: y=y= 0

הפתרון:

f(x)=6xx2+9f(x)=\frac{6x}{x^2+9}

עם a=6a=6

f(−3)=−1818=−1\begin{aligned}f(-3) &= \frac{-18}{18} \\ &= -1\end{aligned}

המינימום

y=0y=0

דרגת המונה קטנה מדרגת המכנה

הפונקציה אי-זוגית: f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x). לכן המינימום הוא «השתקפות» של המקסימום (3, 1)(3,\,1). ואין אסימפטוטה אנכית: x2+9>0x^2+9>0 תמיד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הפונקציה f(x)=axx2+9f(x)=\frac{ax}{x^2+9}, כאשר a>0a>0 פרמטר. הערך הגדול ביותר של הפונקציה הוא 11. ג. כמה נקודות פיתול יש לפונקציה ff?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f′′(x)=12x(x2−27)(x2+9)3f''(x)=\frac{12x(x^2-27)}{(x^2+9)^3}

גוזרים את f′f' בכלל המנה

x=0x=±33\begin{aligned}x &= 0 \\ \quad x &= \pm 3\sqrt{3}\end{aligned}

אפסי המונה

x<−33:−−33<x<0:+0<x<33:−x>33:+x<-3\sqrt{3}: - \quad -3\sqrt{3}<x<0: + \quad 0<x<3\sqrt{3}: - \quad x>3\sqrt{3}: +

הסימן מתחלף בשלושתן

המכנה (x2+9)3(x^2+9)^3 תמיד חיובי ולא משפיע על הסימן. מי שעונה 11 מצא רק את x=0x=0 ושכח את הגורם x2−27x^2-27.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה הפונקציה f(x)=axx2+9f(x)=\frac{ax}{x^2+9}, כאשר a>0a>0 פרמטר. הערך הגדול ביותר של הפונקציה הוא 11. ד. נתונה g(x)=k⋅f(x)g(x)=k \cdot f(x), כאשר k<0k<0. הערך הגדול ביותר של gg הוא 44. מצאו את kk.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -4

הפתרון:

k<0k<0

הכפלה במספר שלילי הופכת את הגרף

max⁡g=k⋅min⁡f=k⋅(−1)\begin{aligned}\max g &= k \cdot \min f \\ &= k \cdot (-1)\end{aligned}

המקסימום של gg בא מהמינימום של ff

−k=4 ⇒ k=−4\begin{aligned}-k &= 4 \ \Rightarrow \ k \\ &= -4\end{aligned}

פותרים

מי שכותב k⋅1=4k \cdot 1=4 לקח את המקסימום של ff ומקבל k=4k=4, בסתירה ל-k<0k<0. כש-k<0k<0 המקסימום והמינימום מתחלפים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הפונקציה ff מוגדרת לכל xx, ונגזרתה היא f′(x)=(x−1)2(x+2)f'(x)=(x-1)^2(x+2). א. מה נכון לגבי נקודות הקיצון של ff?

  1. מינימום ב-x=−2x=-2 בלבד
  2. אין לפונקציה נקודות קיצון
  3. מינימום ב-x=−2x=-2 ומקסימום ב-x=1x=1
  4. מקסימום ב-x=−2x=-2 ומינימום ב-x=1x=1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א מינימום ב-x=−2x=-2 בלבד

הפתרון:

f′(x)=0 ⇒ x=1 x=−2\begin{aligned}f'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \\ \ x &= -2\end{aligned}

נקודות חשודות

x<−2:f′<0−2<x<1:f′>0x>1:f′>0x<-2: f'<0 \qquad -2<x<1: f'>0 \qquad x>1: f'>0

(x−1)2≥0(x-1)^2 \geq 0, ולכן הסימן לפי x+2x+2

min⁡:x=−2\min: x=-2

ב-x=1x=1 הסימן לא מתחלף

הנכונה: מינימום ב-x=−2x=-2 בלבד. ב-x=1x=1 הנגזרת מתאפסת, אבל נשארת חיובית משני הצדדים — בגלל הריבוע. שם אין קיצון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הפונקציה ff מוגדרת לכל xx, ונגזרתה היא f′(x)=(x−1)2(x+2)f'(x)=(x-1)^2(x+2). ב. מצאו את שיעורי ה-xx של נקודות הפיתול של ff.

הקטן: x=x= ____ ; הגדול: x=x= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הקטן: x=x= -1 ; הגדול: x=x= 1

הפתרון:

f′′(x)=2(x−1)(x+2)+(x−1)2f''(x)=2(x-1)(x+2)+(x-1)^2

כלל המכפלה

f′′(x)=(x−1)(3x+3)=3(x−1)(x+1)\begin{aligned}f''(x) &= (x-1)(3x+3) \\ &= 3(x-1)(x+1)\end{aligned}

מוציאים גורם משותף (x−1)(x-1)

x<−1:+−1<x<1:−x>1:+x<-1: + \qquad -1<x<1: - \qquad x>1: +

הסימן מתחלף בשתיהן

ב-x=1x=1 מתקיים גם f′=0f'=0 וגם נקודת פיתול: זו נקודת פיתול אופקית. מי שפותח את (x−1)2(x+2)(x-1)^2(x+2) לפולינום לפני הגזירה מגיע לאותה תשובה, בדרך ארוכה יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הפונקציה ff מוגדרת לכל xx, ונגזרתה היא f′(x)=(x−1)2(x+2)f'(x)=(x-1)^2(x+2). ג. באיזה תחום הפונקציה ff קעורה (∩\cap)?

  1. −2<x<1-2<x<1
  2. x<−2x<-2
  3. x<−1x<-1 או x>1x>1
  4. −1<x<1-1<x<1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד −1<x<1-1<x<1

הפתרון:

f′′(x)=3(x−1)(x+1)f''(x)=3(x-1)(x+1)

מסעיף ב

−1<x<1:f′′<0-1<x<1: f''<0

פרבולה פתוחה כלפי מעלה, שלילית בין השורשים

הנכונה: −1<x<1-1<x<1. התחום −2<x<1-2<x<1 נלקח מ-f′f': שם ff עולה. עלייה וקמירות הן שתי שאלות שונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

f(x) = 12/x ו-g(x) = 8 − x
ABfg012345678012345678xy
הישר האנכי x=tx=t חותך את gg ב-AA ואת ff ב-BB.

נתונות הפונקציות f(x)=12xf(x)=\frac{12}{x} ו-g(x)=8−xg(x)=8-x, בתחום x>0x>0. הישר x=tx=t חותך את הגרף של gg בנקודה AA ואת הגרף של ff בנקודה BB, כאשר AA מעל BB. א. מצאו את שיעורי ה-xx של נקודות החיתוך של שני הגרפים.

הקטן: x=x= ____ ; הגדול: x=x= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הקטן: x=x= 2 ; הגדול: x=x= 6

הפתרון:

12x=8−x ⇒ 12=8x−x2\begin{aligned}\frac{12}{x} &= 8-x \ \Rightarrow \ 12 \\ &= 8x-x^2\end{aligned}

כופלים ב-x≠0x \neq 0

x2−8x+12=0 ⇒ x=2 x=6\begin{aligned}x^2-8x+12 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \\ \ x &= 6\end{aligned}

משוואה ריבועית

בין x=2x=2 ל-x=6x=6 הישר מעל ההיפרבולה. זה התחום של tt בסעיפים הבאים: מחוצה לו AA מתחת ל-BB.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונות הפונקציות f(x)=12xf(x)=\frac{12}{x} ו-g(x)=8−xg(x)=8-x, בתחום x>0x>0. הישר x=tx=t חותך את הגרף של gg בנקודה AA ואת הגרף של ff בנקודה BB, כאשר AA מעל BB. ב. עבור איזה ערך של tt אורך הקטע ABAB הגדול ביותר? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.46

הפתרון:

d(t)=8−t−12t2≤t≤6\begin{aligned}d(t) &= 8-t-\frac{12}{t} \\ \quad 2 \leq t \leq 6\end{aligned}

העליון פחות התחתון

d′(t)=−1+12t2=0 ⇒ t=12=23\begin{aligned}d'(t) &= -1+\frac{12}{t^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= \sqrt{12} \\ &= 2\sqrt{3}\end{aligned}

נקודה חשודה בתחום

d′(3)>0, d′(4)<0d'(3)>0 ,\ d'(4)<0

מקסימום

t=23≈3.46t=2\sqrt{3} \approx 3.46

התשובה

בקצוות d(2)=d(6)=0d(2)=d(6)=0, ולכן המקסימום בפנים. מי שכותב 12t−(8−t)\frac{12}{t}-(8-t) מקבל פונקציה שלילית בתחום, ואת אותו tt — אבל כמינימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונות הפונקציות f(x)=12xf(x)=\frac{12}{x} ו-g(x)=8−xg(x)=8-x, בתחום x>0x>0. הישר x=tx=t חותך את הגרף של gg בנקודה AA ואת הגרף של ff בנקודה BB, כאשר AA מעל BB. ג. מהו האורך הגדול ביותר של הקטע ABAB?

  1. 8−438-4\sqrt{3}
  2. 43−44\sqrt{3}-4
  3. 8−238-2\sqrt{3}
  4. 22
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 8−438-4\sqrt{3}

הפתרון:

d(23)=8−23−1223d(2\sqrt{3})=8-2\sqrt{3}-\frac{12}{2\sqrt{3}}

מציבים בסעיף ב

1223=63=23\begin{aligned}\frac{12}{2\sqrt{3}} &= \frac{6}{\sqrt{3}} \\ &= 2\sqrt{3}\end{aligned}

מנטרלים את השורש מהמכנה

d=8−43≈1.07d=8-4\sqrt{3} \approx 1.07

האורך

הנכונה: 8−438-4\sqrt{3}. 8−238-2\sqrt{3} הוא הגובה של AA בלבד, בלי לחסר את BB. במקסימום 12t=t\frac{12}{t}=t: שני המחוברים שווים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת