סדרה 2 — בינוני · חשבון דיפרנציאלי מתקדם · כיתה י״א

עשר שאלות של שני צעדים ויותר: פרמטרים בפונקציה רציונלית, נקודת פיתול עם פרמטר, מה $f'$ אומרת על $f$ , ובעיות קיצון על גרף ועל צורה.

בבעיית קיצון כתבו קודם משתנה אחד ואת התחום שלו. אחרי שמצאתם נקודה חשודה, בדקו את הסימן של הנגזרת משני צדיה: « $=0$ » לבד לא מבטיח קיצון.

תרגילים

תרגיל 1

לפונקציה $f(x)=\frac{ax+3}{x+b}$ יש אסימפטוטה אנכית $x=-1$ ואסימפטוטה אופקית $y=2$ . מצאו את $a$ ואת $b$ , ואת נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה- $y$ .

$a=$ ____ ; $b=$ ____ ; חיתוך עם ציר $y$ : $y=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $a=$ 2 ; $b=$ 1 ; חיתוך עם ציר $y$ : $y=$ 3

הפתרון:

\begin{aligned}-1+b &= 0 \ \Rightarrow \ b \\ &= 1\end{aligned}

המכנה מתאפס ב- $x=-1$

\begin{aligned}y &= a \\ &= 2\end{aligned}

היחס בין המקדמים המובילים

\begin{aligned}f(0) &= \frac{3}{1} \\ &= 3\end{aligned}

מציבים $x=0$

מי שכותב $b=-1$ השווה את $b$ לאסימפטוטה במקום לפתור $x+b=0$ . בדיקה: ב- $x=-1$ המונה $-2+3=1 \neq 0$ , ולכן זו באמת אסימפטוטה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו הערך הגדול ביותר של הפונקציה $f(x)=\frac{x}{x^2+4}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25

הפתרון:

f'(x)=\frac{4-x^2}{(x^2+4)^2}

כלל המנה

x=\pm 2

נקודות חשודות

\begin{aligned}f(2) &= \frac{2}{8} \\ &= 0.25 \qquad f(-2) \\ &= -0.25\end{aligned}

מקסימום ומינימום

הערך הגדול ביותר הוא $f(2)$ , לא $2$ . ורחוק מהראשית $f$ מתקרבת ל- $0$ , כך ש- $0.25$ הוא באמת הערך הגדול ביותר בכל התחום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מצאו את שיעורי ה- $x$ של נקודות הפיתול של $f(x)=x^4-8x^3+18x^2-5$ .

הקטן: $x=$ ____ ; הגדול: $x=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הקטן: $x=$ 1 ; הגדול: $x=$ 3

הפתרון:

f'(x)=4x^3-24x^2+36x

נגזרת ראשונה

\begin{aligned}f''(x) &= 12x^2-48x+36 \\ &= 12(x-1)(x-3)\end{aligned}

נגזרת שנייה

f''(0)>0 ,\ f''(2)<0 ,\ f''(4)>0

הסימן מתחלף בשתיהן

שימו לב ש- $f'(x)=4x(x-3)^2$ : ב- $x=3$ הנגזרת מתאפסת בלי קיצון. זו נקודת פיתול אופקית, והמשיק שם מקביל לציר ה- $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

לפונקציה $f(x)=x^3+ax^2+5$ יש נקודת פיתול ב- $x=2$ . מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -6

הפתרון:

f''(x)=6x+2a

נגזרת שנייה

\begin{aligned}f''(2) &= 12+2a \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= -6\end{aligned}

מציבים

נקודת פיתול היא אפס של $f''$ , לא של $f'$ . מי שפותר $f'(2)=0$ מקבל $a=-3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ידוע ש- $f'$ עולה בתחום מסוים. מה נכון בוודאות לגבי $f$ בתחום זה?

$f$ חיובית
$f$ קעורה ( $\cap$ )
$f$ עולה
$f$ קמורה ( $\cup$ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $f$ קמורה ( $\cup$ )

הפתרון:

f' \nearrow \ \Rightarrow \ f'' \geq 0

הנגזרת של $f'$ היא $f''$

\cup

השיפועים גדלים: הגרף מתעקל כלפי מעלה

הנכונה: $f$ קמורה. « $f$ עולה» דורש $f'>0$ , ו- $f'$ יכולה לעלות ולהישאר שלילית (למשל $x^2$ ב- $x<0$ ).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מצאו את שיעור ה- $x$ של נקודת הפיתול של $f(x)=x+2\sin x$ בתחום $0<x<2\pi$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.14

הפתרון:

f'(x)=1+2\cos x

נגזרת ראשונה

f''(x)=-2\sin x

נגזרת שנייה

\begin{aligned}f'' &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \pi\end{aligned}

הפתרון היחיד בתחום הפתוח

0<x<\pi: f''<0 \qquad \pi<x<2\pi: f''>0

הסימן מתחלף

$x=0$ ו- $x=2\pi$ מאפסים גם הם את $\sin x$ , אבל הם מחוץ לתחום. והנגזרת של $\cos x$ היא $-\sin x$ : בלי המינוס כל הסימנים מתהפכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

f(x) = 4 − x²

P

על הגרף ברביע הראשון, והאנכים ממנו לצירים.

מהנקודה $P$ שעל הגרף של $f(x)=4-x^2$ , ברביע הראשון, מורידים אנכים לצירים. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן שנוצר עם הצירים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.08

הפתרון:

\begin{aligned}S(x) &= x(4-x^2) \\ &= 4x-x^3 \\ \quad 0<x<2\end{aligned}

רוחב $x$ , גובה $f(x)$

\begin{aligned}S'(x) &= 4-3x^2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= \frac{2}{\sqrt{3}}\end{aligned}

מקסימום

\begin{aligned}S &= \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{8}{3} \\ &= \frac{16}{3\sqrt{3}} \approx 3.08\end{aligned}

השטח

התחום הוא $0<x<2$ , כי ברביע הראשון $f(x)>0$ . מי שמציב את $x \approx 1.15$ ב- $f$ במקום ב- $S$ מקבל את הגובה, $\frac{8}{3}$ , ולא את השטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

גינה מלבנית ששטחה $72$ מ״ר צמודה לקיר ארוך. מגדרים את שלוש הצלעות האחרות. מהו אורך הגדר הקצר ביותר (במטרים)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

\begin{aligned}L(y) &= 2y+\frac{72}{y} \\ \quad y>0\end{aligned}

$y$ : הצלע המאונכת לקיר; הצלע המקבילה לקיר $\frac{72}{y}$

\begin{aligned}L'(y) &= 2-\frac{72}{y^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ y \\ &= 6\end{aligned}

מינימום

\begin{aligned}L(6) &= 12+12 \\ &= 24\end{aligned}

הגדר

רק שלוש צלעות מגודרות. מי שכותב $2y+\frac{144}{y}$ גידר גם את הצלע שלאורך הקיר, ומקבל $y=\sqrt{72}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הוכיחו או הפריכו: לפונקציה $f(x)=x^4+x$ יש נקודת פיתול.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

f''(x)=12x^2

נגזרת שנייה

f''(0)=0

חשודה אחת

f''(x) \geq 0

הסימן אינו מתחלף

הטענה לא נכונה. $f''(0)=0$ , אבל $f''$ חיובית משני הצדדים. אפס של $f''$ הוא רק מועמד לפיתול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

לפונקציה $f(x)=\frac{2x^2+1}{x^2-a}$ יש אסימפטוטה אנכית $x=3$ . מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

\begin{aligned}3^2-a &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 9\end{aligned}

המכנה מתאפס ב- $x=3$

2 \cdot 9+1=19 \neq 0

המונה לא מתאפס שם

אז יש שתי אסימפטוטות אנכיות, $x=3$ ו- $x=-3$ . מי שכותב $a=3$ שכח שהמשתנה במכנה בריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev