סדרה 1 — קל · חשבון דיפרנציאלי מתקדם · כיתה י״א

עשר שאלות קצרות על כל הפרק: אסימפטוטות של פונקציה רציונלית, הנגזרת השנייה ונקודות פיתול, נגזרת של פונקציה טריגונומטרית, והקשר בין $f'$ לבין $f$ . כל שאלה דורשת צעד אחד או שניים.

לפני כל שאלה שאלו: מבקשים ערך ( $f$ ), עלייה וירידה ( $f'$ ) או קמירות ( $f''$ )? הטעות הנפוצה בפרק היא לענות בנגזרת הלא נכונה.

תרגילים

תרגיל 1

מהן האסימפטוטות של $f(x)=\frac{3x-1}{x+2}$ ?

$x=2$ ו- $y=3$
$x=-2$ ו- $y=-\frac{1}{2}$
$x=-2$ ו- $y=3$
$x=\frac{1}{3}$ ו- $y=3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $x=-2$ ו- $y=3$

הפתרון:

\begin{aligned}x+2 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= -2\end{aligned}

המכנה מתאפס, המונה נותן $-7 \neq 0$

\begin{aligned}y &= \frac{3}{1} \\ &= 3\end{aligned}

דרגות שוות: היחס בין המקדמים המובילים

הנכונה: $x=-2$ ו- $y=3$ . $y=-\frac{1}{2}$ הוא הערך ב- $x=0$ , לא באינסוף. $x=\frac{1}{3}$ הוא אפס של המונה — שם הגרף חותך את הציר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

לפונקציה $f(x)=\frac{ax+1}{x-3}$ יש אסימפטוטה אופקית $y=5$ . מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\begin{aligned}y &= \frac{a}{1} \\ &= a\end{aligned}

דרגות שוות

a=5

משווים לאסימפטוטה

האסימפטוטה האופקית נקבעת רק מהמקדמים המובילים. ה- $1$ וה- $3$ לא משפיעים עליה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מצאו את שיעור ה- $x$ של נקודת הפיתול של $f(x)=x^3-9x^2+4$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f'(x)=3x^2-18x

נגזרת ראשונה

\begin{aligned}f''(x) &= 6x-18 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

נגזרת שנייה

f''(2)<0 ,\ f''(4)>0

הסימן מתחלף

מי שמשווה את $f'$ לאפס מוצא את נקודות הקיצון, $x=0$ ו- $x=6$ , ולא את נקודת הפיתול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהי $f''(x)$ עבור $f(x)=x^4-2x^3$ ?

$12x-12$
$4x^3-6x^2$
$12x^2-12x$
$12x^2-6x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $12x^2-12x$

הפתרון:

f'(x)=4x^3-6x^2

גוזרים פעם אחת

f''(x)=12x^2-12x

גוזרים שוב

הנכונה: $12x^2-12x$ . $4x^3-6x^2$ היא הנגזרת הראשונה. $12x^2-6x$ שכחה לגזור את $-6x^2$ עד הסוף: $(-6x^2)'=-12x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה $f(x)=x\cos x$ . חשבו את $f'(0)$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

f'(x)=\cos x-x\sin x

כלל המכפלה

\begin{aligned}f'(0) &= 1-0 \\ &= 1\end{aligned}

מציבים

הנגזרת של מכפלה אינה מכפלת הנגזרות: $1 \cdot (-\sin x)$ נותנת $0$ ב- $x=0$ , וזו טעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הוכיחו או הפריכו: הפונקציה $f(x)=x^3+3x$ קמורה ( $\cup$ ) בכל התחום $x>0$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f''(x)=6x

נגזרת שנייה

x>0 \ \Rightarrow \ f''(x)>0

חיובית בכל התחום

הטענה נכונה. הקמירות נקבעת מ- $f''$ . העובדה ש- $f$ עולה (כי $f'=3x^2+3>0$ ) אינה אומרת דבר על הקמירות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הנגזרת של פונקציה $f$ היא $f'(x)=(x-1)(x-5)$ . באיזה $x$ יש לפונקציה $f$ נקודת מקסימום?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

x<1: f'>0 \qquad 1<x<5: f'<0 \qquad x>5: f'>0

טבלת סימנים

x=1

מעלייה לירידה

ב- $x=5$ יש מינימום. הפרבולה של $f'$ פתוחה כלפי מעלה, ולכן היא שלילית בין השורשים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

היקף של מלבן הוא $20$ ס״מ. מהו השטח הגדול ביותר האפשרי שלו (בסמ״ר)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

\begin{aligned}S(x) &= x(10-x) \\ \quad 0<x<10\end{aligned}

חצי ההיקף הוא $10$

\begin{aligned}S'(x) &= 10-2x \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

מקסימום

S(5)=25

ריבוע שצלעו $5$

הצלע השנייה היא $10-x$ , לא $20-x$ : ההיקף כולל שתי צלעות מכל סוג.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

כמה אסימפטוטות אנכיות יש לפונקציה $f(x)=\frac{x+1}{x^2-x-2}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

x^2-x-2=(x-2)(x+1)

מפרקים את המכנה

x=-1: \ \text{0/0}

המונה מתאפס גם הוא: אין שם אסימפטוטה

x=2

האסימפטוטה האנכית היחידה

לא כל אפס של המכנה הוא אסימפטוטה. ב- $x=-1$ הגורם מצטמצם, ולגרף יש שם «חור», לא אסימפטוטה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

איזו טענה נכונה לגבי $f(x)=\frac{1}{x}$ ?

קעורה ( $\cap$ ) ב- $x>0$ וקמורה ( $\cup$ ) ב- $x<0$
קמורה ( $\cup$ ) בכל תחום הגדרתה
קמורה ( $\cup$ ) ב- $x>0$ וקעורה ( $\cap$ ) ב- $x<0$
יש לה נקודת פיתול ב- $x=0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג קמורה ( $\cup$ ) ב- $x>0$ וקעורה ( $\cap$ ) ב- $x<0$

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= -\frac{1}{x^2} \\ \quad f''(x) &= \frac{2}{x^3}\end{aligned}

שתי נגזרות

x>0: f''>0 \qquad x<0: f''<0

הסימן של $x^3$

הנכונה: קמורה ב- $x>0$ , קעורה ב- $x<0$ . הקמירות מתחלפת, אבל אין נקודת פיתול: $x=0$ אינו בתחום ההגדרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev