פותרים יחד · חשבון דיפרנציאלי מתקדם · כיתה י״א

ארבע שאלות בסגנון פרק 4 של הבגרות: חקירה של פונקציה רציונלית עם פרמטר עד נקודת הפיתול, קריאה של גרף הנגזרת, ושתי בעיות קיצון — אחת על גרף ואחת על צורה. כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל שלב, אמרו לעצמכם באיזו נגזרת אתם משתמשים ולמה: $f$ נותנת ערך, $f'$ נותנת עלייה וירידה, $f''$ נותנת קמירות.

1 — רציונלית עם פרמטר, עד נקודת הפיתול

פעילות אינטראקטיבית

נתונה $f(x)=\frac{x-a}{x^2}$ , כאשר $a$ פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון ב- $x=4$ . א. מצאו את $a$ . ב. מצאו את האסימפטוטות. ג. מצאו את תחומי העלייה והירידה ואת נקודת הקיצון. ד. מצאו את נקודת הפיתול ואת תחומי הקמירות.

\begin{aligned}f(x) &= \frac{x-a}{x^2} \\ \quad f'(4) &= 0\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הפרמטר נמצא מהנגזרת, ולכן גוזרים לפני שמציבים משהו.

א. נגזרת

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{x^2-2x(x-a)}{x^4} \\ &= \frac{2a-x}{x^3}\end{aligned}

כלל המנה, ואז מצמצמים ב- $x$ .

א. הפרמטר

\begin{aligned}f'(4) &= 0 \ \Rightarrow \ 2a-4 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 2\end{aligned}

מכאן $f(x)=\frac{x-2}{x^2}$ .

ב. אסימפטוטות

\begin{aligned}x &= 0 \qquad y \\ &= 0\end{aligned}

המכנה מתאפס ב- $0$ והמונה לא. דרגת המונה קטנה מדרגת המכנה.

ג. סימן

f'(x)=\frac{4-x}{x^3}: \quad x<0: - \qquad 0<x<4: + \qquad x>4: -

גם $x^3$ מחליף סימן, ב- $x=0$ .

ג. מסקנה

\max \left(4,\,\tfrac{1}{8}\right)

עולה ב- $0<x<4$ , יורדת ב- $x<0$ וב- $x>4$ .

ד. נגזרת שנייה

\begin{aligned}f'(x) &= -x^{-2}+4x^{-3} \ \Rightarrow \ f''(x) \\ &= \frac{2x-12}{x^4}\end{aligned}

כותבים את $f'$ כסכום חזקות, וכך הגזירה קצרה.

ד. פיתול

x<6,\ x \neq 0: f''<0 \ (\cap) \qquad x>6: f''>0 \ (\cup)

נקודת הפיתול: $\left(6,\,\tfrac{1}{9}\right)$ .

$f''$ מחליפה סימן רק ב- $x=6$ . גם ב- $x=0$ יש שינוי בביטוי, אבל שם הפונקציה אינה מוגדרת, ולכן אין שם נקודת פיתול.

לעשות את הפעילות ב-elev

אחרי המקסימום $\left(4,\,\tfrac{1}{8}\right)$ הגרף יורד אל האסימפטוטה $y=0$ . למה חייבת להיות נקודת פיתול מימין ל- $x=4$ ?

להציג את התשובה והפתרון

ליד המקסימום הגרף קעור ( $\cap$ ). רחוק מימין הוא יורד לאט יותר ויותר אל $y=0$ , כלומר קמור ( $\cup$ ). מעבר מ- $\cap$ ל- $\cup$ הוא נקודת פיתול, והיא ב- $x=6$ .

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — קוראים את $f'$ ומדברים על $f$

הגרף של f'

הגרף של

f'

: פרבולה שחותכת את ציר ה-

x

ב-

x=1

וב-

x=3

, וקודקודה ב-

(2,\,-1)

פעילות אינטראקטיבית

מהגרף של $f'$ אל $f$

בציור הגרף של הנגזרת $f'$ של פונקציה $f$ המוגדרת לכל $x$ . מצאו את שיעורי ה- $x$ של נקודות הקיצון של $f$ , קבעו את סוגן, ומצאו את נקודת הפיתול של $f$ .

מקסימום ב- $x=1$ , מינימום ב- $x=3$ , פיתול ב- $x=2$

מינימום ב- $x=1$ , מקסימום ב- $x=3$ , פיתול ב- $x=2$

קיצון ב- $x=2$ , פיתול ב- $x=1$ וב- $x=3$

מקסימום ב- $x=2$ , ואין פיתול

מה אומרות על $f$ הנקודות שבהן הגרף של $f'$ חותך את ציר ה- $x$ ?

שם $f'=0$ : נקודות חשודות לקיצון של $f$

להציג את התשובה והפתרון

האפסים של הגרף הם אפסי הנגזרת.

שם $f=0$ : נקודות החיתוך של $f$ עם ציר ה- $x$

להציג את התשובה והפתרון

הגרף בציור הוא של $f'$ , לא של $f$ . על הגובה של $f$ הוא לא אומר דבר.

\begin{aligned}f'(1) &= 0 \\ \quad f'(3) &= 0\end{aligned}

שתי נקודות חשודות.

מה סוג הקיצון ב- $x=1$ ?

מקסימום: $f'$ עוברת מחיובית לשלילית

להציג את התשובה והפתרון

משמאל ל- $1$ הגרף של $f'$ מעל הציר, ומימין — מתחתיו.

מינימום: $f'$ יורדת שם

להציג את התשובה והפתרון

הסוג נקבע לפי הסימן של $f'$ , לא לפי הכיוון של הגרף שלה.

x<1: f'>0 \qquad 1<x<3: f'<0 \qquad x>3: f'>0

מקסימום ב- $x=1$ ומינימום ב- $x=3$ .

איפה נקודת הפיתול של $f$ ?

בקודקוד של $f'$ , ב- $x=2$

להציג את התשובה והפתרון

שם $f'$ עוברת מירידה לעלייה, כלומר $f''$ מחליפה סימן.

ב- $x=1$ וב- $x=3$

להציג את התשובה והפתרון

שם $f'=0$ : אלה נקודות הקיצון. בנקודת פיתול $f''=0$ , כלומר זו נקודת הקיצון של $f'$ .

x<2: f''<0 \ (\cap) \qquad x>2: f''>0 \ (\cup)

נקודת הפיתול ב- $x=2$ .

להציג את התשובה והפתרון

מקסימום ב- $x=1$ , מינימום ב- $x=3$ , פיתול ב- $x=2$ . הכלל: אפס של $f'$ ← קיצון של $f$ ; קיצון של $f'$ ← פיתול של $f$ . התשובה «קיצון ב- $x=2$ » קוראת את הגרף כאילו הוא הגרף של $f$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

נתון גם $f(1)=5$ . האם ייתכן ש- $f(3)=6$ ?

להציג את התשובה והפתרון

לא. בין $1$ ל- $3$ מתקיים $f'<0$ , ולכן $f$ יורדת שם: $f(3)<f(1)=5$ .

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — קיצון על גרף: השטח הגדול ביותר

f(x) = 8/(x² + 4)

B

נע על הגרף. הקווים המקווקווים הם האנכים לצירים.

פעילות אינטראקטיבית

נתונה $f(x)=\frac{8}{x^2+4}$ . הנקודה $B$ נמצאת על הגרף ברביע הראשון. מ- $B$ מורידים אנכים לצירים, ונוצר מלבן שקודקוד אחד שלו בראשית $O$ . א. הביעו את שטח המלבן באמצעות שיעור ה- $x$ של $B$ . ב. מצאו את השטח הגדול ביותר. ג. האם יש מלבן כזה ששטחו $2.5$ ?

\begin{aligned}S(x) &= x \cdot f(x) \\ \quad x>0\end{aligned}

לחצו «להתחיל». המשתנה הוא שיעור ה- $x$ של $B$ ; הגובה הוא $f(x)$ .

א. השטח

\begin{aligned}S(x) &= x \cdot \frac{8}{x^2+4} \\ &= \frac{8x}{x^2+4} \\ \quad x>0\end{aligned}

רוחב $x$ , גובה $f(x)$ .

ב. נגזרת

\begin{aligned}S'(x) &= \frac{8(x^2+4)-8x \cdot 2x}{(x^2+4)^2} \\ &= \frac{8(4-x^2)}{(x^2+4)^2}\end{aligned}

כלל המנה.

ב. חשודה

\begin{aligned}S'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 \quad (x>0)\end{aligned}

משמאל ל- $2$ : $S'>0$ ; מימין: $S'<0$ . מקסימום.

ב. הערך

\begin{aligned}S(2) &= \frac{16}{8} \\ &= 2\end{aligned}

השטח הגדול ביותר: $2$ .

ג.

2.5>2=S_{\max}

אין מלבן כזה.

בתחום $x>0$ אין קצוות: כש- $x$ מתקרב ל- $0$ וכש- $x$ גדל מאוד, השטח מתקרב ל- $0$ . לכן המקסימום המקומי הוא גם הערך הגדול ביותר.

לעשות את הפעילות ב-elev

מה שיעור ה- $y$ של $B$ כשהשטח הגדול ביותר?

להציג את התשובה והפתרון

$f(2)=\frac{8}{8}=1$ . המלבן הוא $2$ על $1$ . שימו לב: לא נשאלנו על המקסימום של $f$ — הוא ב- $x=0$ , ושם השטח $0$ .

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — קיצון גאומטרי: דף עם שוליים

פעילות אינטראקטיבית

הדף הקטן ביותר

על לוח המודעות של בית הספר תולים דף מלבני. שטח הטקסט המודפס בדף הוא $50$ סמ״ר. השוליים מימין ומשמאל ברוחב $1$ ס״מ כל אחד, והשוליים למעלה ולמטה ברוחב $2$ ס״מ כל אחד. מה מידות הדף ששטחו הקטן ביותר?

$7$ על $14$ ס״מ

$5$ על $10$ ס״מ

$6$ על $12$ ס״מ

$\sqrt{50}+2$ על $\sqrt{50}+4$ ס״מ

נסמן ב- $x$ את רוחב הטקסט. מה גובה הטקסט?

$\frac{50}{x}$

להציג את התשובה והפתרון

רוחב כפול גובה שווה $50$ .

$50-x$

להציג את התשובה והפתרון

$50$ הוא שטח, לא היקף.

\begin{aligned}h &= \frac{50}{x} \\ \quad x>0\end{aligned}

משתנה אחד בלבד.

מה שטח הדף כולו?

$(x+2)\left(\frac{50}{x}+4\right)$

להציג את התשובה והפתרון

שוליים משני הצדדים: $1+1$ ברוחב, $2+2$ בגובה.

$(x+1)\left(\frac{50}{x}+2\right)$

להציג את התשובה והפתרון

כאן נספרו שוליים רק בצד אחד של כל כיוון.

\begin{aligned}S(x) &= (x+2)\left(\frac{50}{x}+4\right) \\ &= 58+4x+\frac{100}{x}\end{aligned}

פותחים סוגריים לפני הגזירה.

איך מוצאים את המינימום?

גוזרים ומשווים לאפס

להציג את התשובה והפתרון

ואחר כך בודקים את סימן הנגזרת.

מציבים $x=0$

להציג את התשובה והפתרון

$x=0$ מחוץ לתחום, ושם $\frac{100}{x}$ אינו מוגדר.

\begin{aligned}S'(x) &= 4-\frac{100}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

רק $x=5$ בתחום. $S'$ עוברת מ- $-$ ל- $+$ : מינימום.

מה מידות הדף?

להציג את התשובה והפתרון

רוחב $5+2$ , גובה $10+4$ .

להציג את התשובה והפתרון

אלה מידות הטקסט. הדף כולל את השוליים.

7 \times 14=98

שטח הדף הקטן ביותר: $98$ סמ״ר.

להציג את התשובה והפתרון

$7$ על $14$ ס״מ, ושטח הדף $98$ סמ״ר. « $5$ על $10$ » עוצרת בטקסט. טקסט ריבועי ( $x=\sqrt{50}$ ) נותן דף של כ- $100.4$ סמ״ר, יותר מ- $98$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

ומה אם השוליים היו באותו רוחב מכל ארבעת הצדדים?

להציג את התשובה והפתרון

אז המינימום ב- $x=\sqrt{50}$ : הטקסט ריבועי. השוליים הגבוהים יותר למעלה ולמטה הם שמשנים את התשובה, והטקסט יוצא גבוה פי $2$ מרוחבו.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה. שאלה 5 חוזרת לקמירות.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה $f(x)=\frac{x-a}{x^2}$ , כאשר $a$ פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון ב- $x=2$ . מצאו את $a$ , את שיעור ה- $y$ של נקודת הקיצון, ואת שיעור ה- $x$ של נקודת הפיתול.

$a=$ ____ ; $y_{\max}=$ ____ ; פיתול ב- $x=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $a=$ 1 ; $y_{\max}=$ 0.25 ; פיתול ב- $x=$ 3

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2a-x}{x^3} \ \Rightarrow \ 2a-2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= 1\end{aligned}

הפרמטר

\begin{aligned}f(2) &= \frac{2-1}{4} \\ &= 0.25\end{aligned}

הערך בנקודת הקיצון

\begin{aligned}f''(x) &= \frac{2x-6}{x^4} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

הסימן מתחלף ב- $x=3$

מי שמציב $x=2$ ב- $f$ ולא ב- $f'$ מקבל $f(2)=\frac{2-a}{4}$ — ביטוי, לא משוואה. את הפרמטר של נקודת קיצון מוצאים מ- $f'=0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

הנגזרת של פונקציה $f$ היא $f'(x)=-x^2+2x+8$ . מה נכון לגבי $f$ ?

מקסימום ב- $x=1$ , ופיתול ב- $x=-2$ וב- $x=4$
מינימום ב- $x=-2$ , מקסימום ב- $x=4$ , פיתול ב- $x=1$
מקסימום ב- $x=-2$ , מינימום ב- $x=4$ , פיתול ב- $x=1$
מינימום ב- $x=-2$ , מקסימום ב- $x=4$ , ואין פיתול

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב מינימום ב- $x=-2$ , מקסימום ב- $x=4$ , פיתול ב- $x=1$

הפתרון:

f'(x)=-(x+2)(x-4)

אפסי הנגזרת

x<-2: f'<0 \qquad -2<x<4: f'>0 \qquad x>4: f'<0

מינימום ב- $-2$ , מקסימום ב- $4$

\begin{aligned}f''(x) &= -2x+2 \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

הקודקוד של $f'$

הנכונה: מינימום ב- $x=-2$ , מקסימום ב- $x=4$ , פיתול ב- $x=1$ . הפרבולה של $f'$ פתוחה כלפי מטה, ולכן $f'$ שלילית מחוץ לשורשים. מי שמניח «חיובית בחוץ» מחליף בין המקסימום למינימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

f(x) = 18/(x² + 9)

B

על הגרף ברביע הראשון, והאנכים ממנו לצירים.

נתונה $f(x)=\frac{18}{x^2+9}$ . מהנקודה $B$ שעל הגרף, ברביע הראשון, מורידים אנכים לצירים. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן שנוצר עם הצירים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}S(x) &= \frac{18x}{x^2+9} \\ \quad x>0\end{aligned}

רוחב כפול גובה

\begin{aligned}S'(x) &= \frac{18(9-x^2)}{(x^2+9)^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

מ- $+$ ל- $-$ : מקסימום

\begin{aligned}S(3) &= \frac{54}{18} \\ &= 3\end{aligned}

השטח

שיעור ה- $x$ של $B$ הוא $3$ , והשטח גם $3$ — צירוף מקרים. השאלה שואלת על השטח, $S(3)$ , לא על המקום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

שטח הטקסט בדף מלבני הוא $32$ סמ״ר. השוליים מימין ומשמאל ברוחב $1$ ס״מ כל אחד, ולמעלה ולמטה ברוחב $2$ ס״מ כל אחד. מהו השטח הקטן ביותר של הדף (בסמ״ר)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 72

הפתרון:

\begin{aligned}S(x) &= (x+2)\left(\frac{32}{x}+4\right) \\ &= 40+4x+\frac{64}{x}\end{aligned}

רוחב הטקסט $x$

\begin{aligned}S'(x) &= 4-\frac{64}{x^2} \\ &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

מ- $-$ ל- $+$ : מינימום

\begin{aligned}S(4) &= 6 \cdot 12 \\ &= 72\end{aligned}

הדף $6$ על $12$

שטח הטקסט $32$ הוא נתון, לא התשובה. מי שעונה על מידות הטקסט ( $4$ על $8$ ) שכח את השוליים — משני הצדדים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הוכיחו או הפריכו: לפונקציה $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$ יש שלוש נקודות פיתול.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f'(x)=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}

כלל המנה

f''(x)=\frac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}

שוב כלל המנה, ומוציאים גורם משותף

\begin{aligned}x &= 0 \\ \ x &= \sqrt{3} \\ \ x &= -\sqrt{3}\end{aligned}

בכל אחת $f''$ מחליפה סימן

הטענה נכונה. ל- $f$ יש רק שתי נקודות קיצון, ובכל זאת שלוש נקודות פיתול: שתיים מהן «מחברות» את הקיצון לאסימפטוטה $y=0$ . מי שסופר רק את $x=0$ שכח את הגורם $x^2-3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — רציונלית עם פרמטר, עד נקודת הפיתול

2 — קוראים את f′f'f′ ומדברים על fff

3 — קיצון על גרף: השטח הגדול ביותר

4 — קיצון גאומטרי: דף עם שוליים

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

2 — קוראים את $f'$ ומדברים על $f$