נגזרת של פונקציות טריגונומטריות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

כל הפרק נשען על שתי נוסחאות. את השאר מקבלים מכללי הגזירה שכבר מוכרים לכם — מכפלה, מנה ושרשרת.

(sin⁡x)′=cos⁡x(cos⁡x)′=−sin⁡x\begin{aligned}(\sin x)' &= \cos x \qquad (\cos x)' \\ &= -\sin x\end{aligned}

שימו לב למינוס בנגזרת של הקוסינוס. הוא מקור רוב הטעויות בפרק.

עם כלל השרשרת

(sin⁡(kx))′=kcos⁡(kx)(cos⁡(kx))′=−ksin⁡(kx)\begin{aligned}(\sin(kx))' &= k\cos(kx) \qquad (\cos(kx))' \\ &= -k\sin(kx)\end{aligned}

הפנימי יוצא החוצה כמקדם — בדיוק כמו בכל שרשרת.

שלוש דוגמאות

שימו לב איזה כלל מפעילים בכל שורה.

(sin⁡3x)′=3cos⁡3x(\sin 3x)' = 3\cos 3x

שרשרת

(xsin⁡x)′=sin⁡x+xcos⁡x(x \sin x)' = \sin x + x\cos x

מכפלה

(sin⁡2x)′=2sin⁡xcos⁡x(\sin^2 x)' = 2\sin x \cos x

שרשרת על החזקה

בחקירה של פונקציה טריגונומטרית התחום נתון תמיד — למשל 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi. בלעדיו היו אינסוף נקודות קיצון, כי הפונקציה מחזורית. תמיד לבדוק אילו פתרונות נופלים בתחום.

מצאו את נקודות הקיצון של f(x)=sin⁡x+cos⁡xf(x) = \sin x + \cos x בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi.

להציג את התשובה והפתרון

f′(x)=cos⁡x−sin⁡x=0⇒tan⁡x=1⇒x=π4f'(x) = \cos x - \sin x = 0 \Rightarrow \tan x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} או x=5π4x = \frac{5\pi}{4}. הראשונה נותנת מקסימום 2\sqrt{2}, השנייה מינימום −2-\sqrt{2}.

ומה הערך של f′(x)=cos⁡xf'(x) = \cos x בנקודה x=π3x = \frac{\pi}{3}?

להציג את התשובה והפתרון

cos⁡π3=0.5\cos\frac{\pi}{3} = 0.5. זהו שיפוע המשיק לגרף sin⁡x\sin x שם.

שתי טעויות שחוזרות בכל מבחן.

(cos⁡x)′=sin⁡x(\cos x)' = \sin x
(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)' = -\sin x

המינוס אינו קישוט. בלעדיו כל החקירה מתהפכת.

(sin⁡2x)′=cos⁡2x(\sin 2x)' = \cos 2x
(sin⁡2x)′=2cos⁡2x(\sin 2x)' = 2\cos 2x

כלל השרשרת: הנגזרת הפנימית (22) חייבת לצאת החוצה.

תרגילים

תרגיל 1

מהי הנגזרת של f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x?

  1. cos⁡x\cos x
  2. sin⁡x\sin x
  3. −cos⁡x-\cos x
  4. −sin⁡x-\sin x
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א cos⁡x\cos x

הפתרון:

נגזרת הסינוס היא הקוסינוס — בלי מינוס. המינוס שייך לנגזרת הקוסינוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהי הנגזרת של f(x)=cos⁡xf(x) = \cos x?

  1. −sin⁡x-\sin x
  2. sin⁡x\sin x
  3. −cos⁡x-\cos x
  4. cos⁡x\cos x
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א −sin⁡x-\sin x

הפתרון:

המינוס הוא ההבדל היחיד — וגם החשוב ביותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהי הנגזרת של f(x)=sin⁡3xf(x) = \sin 3x?

  1. 3sin⁡3x3\sin 3x
  2. 3cos⁡3x3\cos 3x
  3. cos⁡3x\cos 3x
  4. −3cos⁡3x-3\cos 3x
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 3cos⁡3x3\cos 3x

הפתרון:

כלל השרשרת: הנגזרת הפנימית היא 33.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהי הנגזרת של f(x)=xsin⁡xf(x) = x\sin x?

  1. cos⁡x\cos x
  2. xcos⁡xx\cos x
  3. sin⁡x−xcos⁡x\sin x - x\cos x
  4. sin⁡x+xcos⁡x\sin x + x\cos x
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד sin⁡x+xcos⁡x\sin x + x\cos x

הפתרון:

כלל המכפלה: u′v+uv′u'v + uv'.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x. חשבו את f′(π3)f'\left(\frac{\pi}{3}\right).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

f′(x)=cos⁡xf'(x) = \cos x
cos⁡π3=0.5\cos\frac{\pi}{3} = 0.5

גוזרים קודם, מציבים אחר כך. הסדר ההפוך נותן את ערך הפונקציה, לא את השיפוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתונה f(x)=cos⁡xf(x) = \cos x. חשבו את f′(π6)f'\left(\frac{\pi}{6}\right).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.5

הפתרון:

f′(x)=−sin⁡xf'(x) = -\sin x
−sin⁡π6=−0.5-\sin\frac{\pi}{6} = -0.5

נגזרת הקוסינוס היא מינוס סינוס — המינוס נשמר עד התשובה הסופית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מהו הערך המקסימלי של f(x)=sin⁡x+cos⁡xf(x) = \sin x + \cos x בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi? (עגלו ל-3 ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.414

הפתרון:

f′(x)=cos⁡x−sin⁡x=0\begin{aligned}f'(x) &= \cos x - \sin x \\ &= 0\end{aligned}
x=π4x = \frac{\pi}{4}
f=2≈1.414f = \sqrt{2} \approx 1.414

משווים את הנגזרת לאפס כדי למצוא את נקודת הקיצון, ורק אז מציבים בפונקציה המקורית לקבל את הערך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

כמה נקודות קיצון יש ל-f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f′(x)=cos⁡x=0\begin{aligned}f'(x) &= \cos x \\ &= 0\end{aligned}
x=π2 x=3π2\begin{aligned}x &= \frac{\pi}{2} \\ \ x &= \frac{3\pi}{2}\end{aligned}

התחום הוא שקובע: בלעדיו היו אינסוף פתרונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מהו הערך המקסימלי של f(x)=2sin⁡xf(x) = 2\sin x?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

−1≤sin⁡x≤1-1 \le \sin x \le 1
−2≤2sin⁡x≤2-2 \le 2\sin x \le 2

הסינוס כלוא בין 1- ל-1 תמיד. הכפל ב-2 מותח את התחום, ולכן המקסימום הוא 2 — בלי לגזור בכלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הנגזרת של cos⁡2x\cos 2x היא −2sin⁡2x-2\sin 2x.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

(cos⁡2x)′=−2sin⁡2x(\cos 2x)' = -2\sin 2x

שרשרת, עם המינוס של הקוסינוס

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

הנגזרת של sin⁡x\sin x מתאפסת בדיוק בנקודות הקיצון של sin⁡x\sin x.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f′(x)=cos⁡x=0\begin{aligned}f'(x) &= \cos x \\ &= 0\end{aligned}
x=π2+πkx = \frac{\pi}{2} + \pi k

שם ל-sin⁡\sin יש שיא או שפל

זו אותה טענה כללית: קיצון של ff נמצא שם ש-f′f' מתאפסת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

התאימו כל פונקציה לנגזרת שלה

  • sin⁡x\sin x
  • cos⁡x\cos x
  • sin⁡2x\sin 2x
  • cos⁡3x\cos 3x
  • −sin⁡x-\sin x
  • −3sin⁡3x-3\sin 3x
  • cos⁡x\cos x
  • 2cos⁡2x2\cos 2x
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: sin⁡x\sin x — cos⁡x\cos x · cos⁡x\cos x — −sin⁡x-\sin x · sin⁡2x\sin 2x — 2cos⁡2x2\cos 2x · cos⁡3x\cos 3x — −3sin⁡3x-3\sin 3x

הפתרון:

שתי נוסחאות ושרשרת — זה כל הפרק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת