נקודות פיתול והנגזרת השנייה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

הנגזרת הראשונה אומרת אם הגרף עולה או יורד. הנגזרת השנייה אומרת משהו אחר לגמרי: אם הוא קמור או קעור — כלומר לאיזה צד הוא מתעקל.

f′′(x)>0f''(x) > 0

הגרף קמור — מתעקל כלפי מעלה, כמו קערה.

f′′(x)<0f''(x) < 0

הגרף קעור — מתעקל כלפי מטה, כמו כיפה.

f′′(x)=0f''(x) = 0

ייתכן שכאן מתחלף הכיוון — נקודת פיתול. חייבים לבדוק שהסימן באמת התחלף.

הנגזרת השנייה נותנת גם דרך מהירה לסווג נקודות קיצון: אם f′(a)=0f'(a) = 0 ו-f′′(a)>0f''(a) > 0 — זה מינימום; ואם f′′(a)<0f''(a) < 0 — מקסימום. אין צורך בטבלת סימנים.

הדגמה מלאה

מצאו את נקודת הפיתול של f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2.

f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x

נגזרת ראשונה

f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6

נגזרת שנייה

6x−6=0 ⇒ x=1\begin{aligned}6x - 6 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

מועמדת לפיתול

f′′(0)=−6<0 f′′(2)=6>0\begin{aligned}f''(0) &= -6 < 0 \\ \ f''(2) &= 6 > 0\end{aligned}

הסימן התחלף ⇐ זו באמת נקודת פיתול

f(1)=1−3=−2\begin{aligned}f(1) &= 1 - 3 \\ &= -2\end{aligned}

הנקודה: (1, −2)(1,\,-2)

שימו לב להבדל: בנקודת קיצון הגרף מפסיק לעלות ומתחיל לרדת. בנקודת פיתול הוא ממשיך באותו כיוון — רק מתעקל הפוך. ב-f(x)=x3f(x)=x^3 יש פיתול ב-x=0x=0 בלי שום קיצון.

מהי נקודת הפיתול של f(x)=x3−6x2+9xf(x) = x^3 - 6x^2 + 9x?

להציג את התשובה והפתרון

f′′(x)=6x−12=0⇒x=2f''(x) = 6x - 12 = 0 \Rightarrow x = 2, ו-f(2)=8−24+18=2f(2) = 8 - 24 + 18 = 2. הנקודה היא (2, 2)(2,\,2).

ל-f(x)=x4f(x) = x^4 מתקיים f′′(0)=0f''(0) = 0. האם יש שם נקודת פיתול?

להציג את התשובה והפתרון

לא. f′′(x)=12x2f''(x) = 12x^2 חיובי משני צדי האפס — הסימן לא התחלף, והגרף נשאר קמור. זו הסיבה שחייבים לבדוק את הסימן ולא להסתפק בהשוואה לאפס.

הטעות המרכזית של הפרק.

f′′(a)=0⇒פיתולf''(a) = 0 \Rightarrow \text{פיתול}
בדיקת סימן משני הצדדים\text{בדיקת סימן משני הצדדים}

בדיוק כמו ש-f′=0f'=0 אינו מבטיח קיצון, f′′=0f''=0 אינו מבטיח פיתול. x4x^4 הוא הדוגמה הנגדית.

תרגילים

תרגיל 1

מצאו את שיעור ה-xx של נקודת הפיתול של f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

f′′(x)=6x−6=0\begin{aligned}f''(x) &= 6x - 6 \\ &= 0\end{aligned}
x=1x = 1

נקודת פיתול היא המקום שבו הנגזרת השנייה מתאפסת ומחליפה סימן — שם הקימור מתהפך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ומהו שיעור ה-yy של אותה נקודת פיתול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2

הפתרון:

f(1)=1−3=−2\begin{aligned}f(1) &= 1 - 3 \\ &= -2\end{aligned}

את שיעור ה-yy מקבלים מהפונקציה המקורית, לא מהנגזרת. זו הטעות הנפוצה כאן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מצאו את שיעור ה-xx של נקודת הפיתול של f(x)=x3−6x2+9xf(x) = x^3 - 6x^2 + 9x.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f′′(x)=6x−12=0\begin{aligned}f''(x) &= 6x - 12 \\ &= 0\end{aligned}
x=2x = 2

אותו מסלול: גוזרים פעמיים, משווים לאפס, ופותרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

כמה נקודות פיתול יש ל-f(x)=x4−6x2f(x) = x^4 - 6x^2?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f′′(x)=12x2−12=0\begin{aligned}f''(x) &= 12x^2 - 12 \\ &= 0\end{aligned}
x=1 או x=−1\begin{aligned}x &= 1 \ \text{או} \ x \\ &= -1\end{aligned}

ובשתיהן הסימן מתחלף

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתון f(x)=x3f(x) = x^3. כמה נקודות קיצון יש לפונקציה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

f′(x)=3x2=0⇒x=0\begin{aligned}f'(x) &= 3x^2 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}
f′(x)≥0 תמידf'(x) \ge 0 \ \text{תמיד}

הפונקציה רק עולה

ב-x=0x=0 יש פיתול — הנגזרת מתאפסת אך אינה מחליפה סימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתון f′(2)=0f'(2) = 0 ו-f′′(2)=5f''(2) = 5. מה יש בנקודה x=2x=2?

  1. מקסימום
  2. נקודת פיתול
  3. שום דבר מיוחד
  4. מינימום
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד מינימום

הפתרון:

f′′(2)>0f''(2) > 0

קמור ⇐ מינימום

f′′>0f''>0 פירושו שהגרף קמור — הקיצון הוא תחתית הקערה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתון f′(−1)=0f'(-1) = 0 ו-f′′(−1)=−3f''(-1) = -3. מה יש בנקודה x=−1x=-1?

  1. מינימום
  2. אסימפטוטה
  3. מקסימום
  4. נקודת פיתול
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג מקסימום

הפתרון:

f′′(−1)<0f''(-1) < 0

קעור ⇐ מקסימום

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

אם f′′(a)=0f''(a) = 0 אז ב-x=ax=a יש בהכרח נקודת פיתול.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

f(x)=x4f(x) = x^4
f′′(x)=12x2≥0f''(x) = 12x^2 \ge 0

הסימן אינו מתחלף

צריך שהסימן יתחלף משני צדי הנקודה. ב-x4x^4 הוא נשאר חיובי, ואין פיתול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בנקודת פיתול הגרף יכול להמשיך לעלות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f(x)=x3f(x) = x^3
f′(x)=3x2>0f'(x) = 3x^2 > 0

עולה משני הצדדים

פיתול נוגע לעיקול, לא לעלייה. x3x^3 עולה לפני ואחרי הפיתול שלו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה f(x)=2x3−12x2+5f(x) = 2x^3 - 12x^2 + 5. מצאו את שיעור ה-xx של נקודת הפיתול.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f′′(x)=12x−24=0\begin{aligned}f''(x) &= 12x - 24 \\ &= 0\end{aligned}
x=2x = 2

הנגזרת השנייה של פולינום ממעלה שלישית היא תמיד קווית — ולכן יש בדיוק נקודת פיתול אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

מיינו כל טענה לפי מה שהיא מספרת

  • על עלייה וירידה
  • על קמירות
  • f′′(x)<0f''(x) < 0
  • f′′(x)>0f''(x) > 0
  • f′(x)<0f'(x) < 0
  • f′(x)=0f'(x) = 0
  • f′(x)>0f'(x) > 0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: f′(x)>0f'(x) > 0 — על עלייה וירידה · f′′(x)>0f''(x) > 0 — על קמירות · f′(x)=0f'(x) = 0 — על עלייה וירידה · f′′(x)<0f''(x) < 0 — על קמירות · f′(x)<0f'(x) < 0 — על עלייה וירידה

הפתרון:

הנגזרת הראשונה — כיוון. הנגזרת השנייה — עיקול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

השלימו עבור f(x)=x3−3x2f(x) = x^3 - 3x^2

הנגזרת השנייה מתאפסת ב-x=x = ____ , ושם f(x)=f(x) = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הנגזרת השנייה מתאפסת ב-x=x = 1 , ושם f(x)=f(x) = -2

הפתרון:

f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x-6
f(1)=−2f(1) = -2

שתי שורות בלבד: הנגזרת השנייה נותנת את ה-xx, והפונקציה המקורית את ה-yy.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת