אסימפטוטות ופונקציה רציונלית

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

פונקציה רציונלית היא מנה של שני פולינומים. שני דברים קובעים את צורתה, ושניהם באים מהמכנה: מה אסור (איפה המכנה מתאפס), ומה קורה רחוק (לאן הגרף הולך כש-xx גדל בלי גבול).

אסימפטוטה אנכית — שם המכנה מתאפס

אם המכנה מתאפס ב-x=ax = a והמונה אינו מתאפס שם, אז x=ax = a היא אסימפטוטה אנכית. הגרף בורח שם למעלה או למטה, ונקרע לשני ענפים נפרדים.

f(x)=2x+3x−1 ⟹ x=1\begin{aligned}f(x) &= \frac{2x+3}{x-1} \ \Longrightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

המכנה מתאפס ב-x=1x=1, המונה נותן שם 5≠05 \ne 0 — אסימפטוטה אנכית.

אסימפטוטה אופקית — מה קורה באינסוף

כאשר xx גדל מאוד, המחוברים בעלי החזקה הגבוהה ביותר משתלטים. ב-2x+3x−1\frac{2x+3}{x-1} המנה מתקרבת ל-2xx=2\frac{2x}{x} = 2, ולכן y=2y = 2 היא אסימפטוטה אופקית.

כלל מהיר להשוואת דרגות: אם דרגת המונה קטנה מדרגת המכנה — האסימפטוטה היא y=0y=0. אם הן שוות — היחס בין המקדמים המובילים. אם דרגת המונה גדולה ב-1 — אין אסימפטוטה אופקית אלא משופעת.

מהן האסימפטוטות של f(x)=x+4x−2f(x) = \frac{x+4}{x-2}?

להציג את התשובה והפתרון

אנכית x=2x = 2 (שם המכנה מתאפס, והמונה נותן 6≠06 \ne 0), ואופקית y=1y = 1 (הדרגות שוות, יחס המקדמים 11\frac{1}{1}).

ולמה אסור לחבר בקו אחד את שני ענפי הגרף?

להציג את התשובה והפתרון

מפני שב-x=2x=2 הפונקציה אינה מוגדרת — אין שם נקודה. קו שעובר דרך האסימפטוטה טוען שהפונקציה מקבלת שם ערך, וזו טעות שנחשבת חמורה בבדיקה.

שתי טעויות של הפרק הזה.

x=3 אסימפטוטה של x2−9x−3x = 3 \text{ אסימפטוטה של } \frac{x^2-9}{x-3}
נקודת אי-רציפות\text{נקודת אי-רציפות}

כאן גם המונה מתאפס: (x−3)(x+3)x−3=x+3\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3. אין אסימפטוטה — יש חור בגרף.

f(x) חותכת את y=2f(x) \text{ חותכת את } y=2
f(x)→2f(x) \to 2

אסימפטוטה אופקית יכולה להיחתך באמצע הגרף; מה שאסור הוא להגיע אליה באינסוף.

תרגילים

תרגיל 1

מהי האסימפטוטה האנכית של f(x)=2x+3x−1f(x) = \frac{2x+3}{x-1}? (כתבו את ערך ה-xx)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

x−1=0x - 1 = 0

משווים את המכנה לאפס

x=1x = 1
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהי האסימפטוטה האופקית של f(x)=2x+3x−1f(x) = \frac{2x+3}{x-1}? (כתבו את ערך ה-yy)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

2xx=2\frac{2x}{x} = 2

הדרגות שוות — יחס המקדמים המובילים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהי האסימפטוטה האנכית של f(x)=x+4x−2f(x) = \frac{x+4}{x-2}?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x−2=0x - 2 = 0
x=2x = 2

האסימפטוטה האנכית יושבת במקום שבו המכנה מתאפס — שם הפונקציה אינה מוגדרת, והגרף בורח לאינסוף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהי האסימפטוטה האופקית של f(x)=3x−6x+3f(x) = \frac{3x-6}{x+3}?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

3xx=3\frac{3x}{x} = 3

באינסוף מכריעות רק החזקות הגבוהות: היחס בין המקדמים שלהן קובע את הגובה שאליו הגרף מתיישר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהי האסימפטוטה האופקית של f(x)=5xx2−9f(x) = \frac{5x}{x^2-9}?

  1. y=5y = 5
  2. y=0y = 0
  3. y=59y = \frac{5}{9}
  4. אין אסימפטוטה אופקית
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב y=0y = 0

הפתרון:

5xx2=5x→0\frac{5x}{x^2} = \frac{5}{x} \to 0

כש-xx גדל

דרגת המונה (1) קטנה מדרגת המכנה (2), ולכן המנה שואפת לאפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

כמה אסימפטוטות אנכיות יש ל-f(x)=5xx2−9f(x) = \frac{5x}{x^2-9}?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x2−9=0x^2 - 9 = 0
x=3 או x=−3\begin{aligned}x &= 3 \ \text{או} \ x \\ &= -3\end{aligned}

המכנה מתאפס בשתי נקודות, והמונה אינו מתאפס באף אחת מהן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מהי נקודת החיתוך של f(x)=2x+3x−1f(x) = \frac{2x+3}{x-1} עם ציר ה-yy? (כתבו את ערך ה-yy)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

f(0)=3−1=−3\begin{aligned}f(0) &= \frac{3}{-1} \\ &= -3\end{aligned}

מציבים x=0x=0

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מהי נקודת החיתוך של f(x)=2x+3x−1f(x) = \frac{2x+3}{x-1} עם ציר ה-xx? (כתבו את ערך ה-xx)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1.5

הפתרון:

2x+3=02x + 3 = 0

שבר מתאפס כשהמונה מתאפס

x=−1.5x = -1.5

שבר שווה לאפס רק כשהמונה מתאפס — והמכנה שם חייב להיות שונה מאפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

לפונקציה f(x)=x2−9x−3f(x) = \frac{x^2-9}{x-3} יש אסימפטוטה אנכית ב-x=3x=3.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

(x−3)(x+3)x−3=x+3\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3

מצמצמים

גם המונה מתאפס ב-x=3x=3. אחרי צמצום נשאר ישר — בגרף יש חור ב-x=3x=3, לא אסימפטוטה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

גרף של פונקציה לעולם אינו חוצה את האסימפטוטה האופקית שלו.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

f(x)=xx2+1f(x) = \frac{x}{x^2+1}

חוצה את y=0y=0 בראשית

האסימפטוטה מתארת מה קורה באינסוף. באמצע הדרך הגרף רשאי לחצות אותה — ורבים עושים זאת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

התאימו כל פונקציה לאסימפטוטה האופקית שלה

  • 3x+1x−2\frac{3x+1}{x-2}
  • x+52x−1\frac{x+5}{2x-1}
  • 7x−4\frac{7}{x-4}
  • 4x−1x+6\frac{4x-1}{x+6}
  • y=0.5y = 0.5
  • y=0y = 0
  • y=3y = 3
  • y=4y = 4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3x+1x−2\frac{3x+1}{x-2} — y=3y = 3 · x+52x−1\frac{x+5}{2x-1} — y=0.5y = 0.5 · 7x−4\frac{7}{x-4} — y=0y = 0 · 4x−1x+6\frac{4x-1}{x+6} — y=4y = 4

הפתרון:

בכל המקרים משווים את הדרגות ואז את המקדמים המובילים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

סדרו את שלבי החקירה של פונקציה רציונלית

  • אסימפטוטות אנכיות ואופקיות
  • נגזרת, נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה
  • נקודות חיתוך עם הצירים
  • סקיצה של הגרף
  • תחום הגדרה — מאפסים את המכנה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: תחום הגדרה — מאפסים את המכנה · אסימפטוטות אנכיות ואופקיות · נקודות חיתוך עם הצירים · נגזרת, נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה · סקיצה של הגרף

הפתרון:

הסקיצה תמיד אחרונה — היא מסכמת את כל מה שנמצא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת