נוסחה מפורשת וכלל נסיגה · אינדוקציה מתמטית · כיתה י״א

אפשר לתאר סדרה בשתי דרכים. נוסחה מפורשת נותנת כל איבר לפי המקום שלו: $a_n=3n+1$ . כלל נסיגה נותן איבר ראשון, ואיך מקבלים כל איבר מהקודם: $a_1=4$ , $a_{n+1}=a_n+3$ . הזיזו את המחוון וראו את שתיהן באותה תמונה.

מהו $a_{10}$ ? חשבו בנוסחה המפורשת. כמה צעדים של כלל הנסיגה הייתם צריכים כדי להגיע אליו?

להציג את התשובה והפתרון

$a_{10}=3 \cdot 10+1=31$ בהצבה אחת. בכלל הנסיגה צריך תשעה צעדים מ- $a_1=4$ . לכן רוצים נוסחה מפורשת, וצריך להוכיח שהיא מתאימה לכלל.

מכלל נסיגה לנוסחה מפורשת

נתון כלל נסיגה, ומוצעת נוסחה $a_n=f(n)$ . מוכיחים באינדוקציה שהנוסחה נכונה לכל $n$ :

1

בדיקה: $a_1$ הנתון שווה ל- $f(1)$

2

הנחה: $a_k=f(k)$

3

הוכחה: מציבים את ההנחה בכלל הנסיגה, ומראים ש- $a_{k+1}=f(k+1)$

$a_1=1$ , $a_{n+1}=2a_n+1$ . הוכיחו: $a_n=2^n-1$

בסיס: $a_1=1=2^1-1$ . שלב ההוכחה:

a_{k+1}=2a_k+1

כלל הנסיגה עבור $n=k$

=2\left(2^k-1\right)+1

מציבים את ההנחה $a_k=2^k-1$

=2^{k+1}-2+1=2^{k+1}-1

זו הנוסחה עבור $n=k+1$

נתונה הנוסחה $a_n=n^2$ . הראו, בלי אינדוקציה, ש- $a_{n+1}-a_n=2n+1$ .

להציג את התשובה והפתרון

$(n+1)^2-n^2=2n+1$ . מהנוסחה המפורשת מגיעים לכלל בהצבה ישירה. הכיוון השני, מהכלל לנוסחה, דורש אינדוקציה: הכלל לבדו לא אומר מאיפה מתחילים.

סכום ואיבר

אם $S_n$ הוא סכום $n$ האיברים הראשונים, אז $S_{n+1}=S_n+a_{n+1}$ . זה כלל נסיגה של הסכומים. מהכיוון ההפוך, כשידועה נוסחה של $S_n$ , מקבלים כל איבר: $a_n=S_n-S_{n-1}$ עבור $n \geq 2$ , ו- $a_1=S_1$ .

$S_n=n^2+n$ . מצאו את $a_5$

כאן $S_n$ הוא סכום $n$ האיברים הראשונים של סדרה.

\begin{aligned}S_5 &= 30 \\ \quad S_4 &= 20\end{aligned}

מציבים

\begin{aligned}a_5 &= S_5-S_4 \\ &= 10\end{aligned}

האיבר החמישי הוא מה שנוסף בין $S_4$ ל- $S_5$

בשלב 3 מתחילים תמיד מכלל הנסיגה: $a_{k+1}=\dots a_k\dots$ . רק כך נכנסת ההנחה. מי שמתחיל מ- $f(k+1)$ ומנסה להגיע לכלל, מוכיח את הכיוון ההפוך.

הטעויות בהוכחה של נוסחה מפורשת.

\begin{aligned}a_{k+1} &= 2a_k+1 \\ &= 2 \cdot 2^k-1+1\end{aligned}

a_{k+1}=2\left(2^k-1\right)+1

מציבים את $a_k$ בתוך סוגריים. בלי סוגריים, רק $2^k$ מוכפל ב- $2$ .

\begin{aligned}a_1 &= 4 \\ \ a_{n+1} &= a_n+3 \ \Rightarrow \ a_n \\ &= 3n+4\end{aligned}

a_n=3n+1

לא לשכוח את הבסיס: $3 \cdot 1+4=7 \neq 4$ . הכלל $a_{n+1}=a_n+3$ מתקיים בשתי הנוסחאות, רק הבסיס מבדיל ביניהן.

תרגילים

תרגיל 1

נתון: $a_1=3$ , $a_{n+1}=2a_n-1$ . מצאו את $a_4$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 17

הפתרון:

\begin{aligned}a_2 &= 2 \cdot 3-1 \\ &= 5\end{aligned}

מציבים את $a_1$ בכלל

\begin{aligned}a_3 &= 2 \cdot 5-1 \\ &= 9\end{aligned}

מציבים את $a_2$

\begin{aligned}a_4 &= 2 \cdot 9-1 \\ &= 17\end{aligned}

מציבים את $a_3$

כל איבר נבנה מהקודם. המלכודת: לעצור ב- $a_3$ , או לחשב $a_4$ כ- $2 \cdot 4-1$ , כאילו זו נוסחה מפורשת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתון: $a_1=3$ , $a_{n+1}=2a_n-1$ . איזו נוסחה מפורשת מתאימה לסדרה?

$a_n=2n+1$
$a_n=2^n+1$
$a_n=2^{n+1}-1$
$a_n=3 \cdot 2^{n-1}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $a_n=2^n+1$

הפתרון:

3,\ 5,\ 9,\ 17

האיברים הראשונים

\begin{aligned}2^1+1 &= 3 \\ \ 2^2+1 &= 5 \\ \ 2^3+1 &= 9\end{aligned}

בדיקה

2\left(2^k+1\right)-1=2^{k+1}+1

הצעד

הנכונה: $2^n+1$ . $2n+1$ עובדת עבור $n=1,2$ ונכשלת ב- $n=3$ ( $7 \neq 9$ ). $3 \cdot 2^{n-1}$ נותנת $6$ במקום $5$ . $2^{n+1}-1$ נותנת $a_1=3$ ואז $a_2=7$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתון: $a_1=3$ , $a_{n+1}=2a_n-1$ . השלימו את שלב ההוכחה ש- $a_n=2^n+1$ .

$a_{k+1}=2\left(2^k+1\right)-1=2^{k+1}+$ ____ $-1=2^{k+1}+$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $a_{k+1}=2\left(2^k+1\right)-1=2^{k+1}+$ 2 $-1=2^{k+1}+$ 1

הפתרון:

2\left(2^k+1\right)=2^{k+1}+2

פתיחת סוגריים

2^{k+1}+2-1=2^{k+1}+1

זו הנוסחה עבור $n=k+1$

ה- $2$ מוכפל גם ב- $1$ שבתוך הסוגריים. בלי זה מקבלים $2^{k+1}$ , והצעד «נכשל» בגלל טעות חישוב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הוכיחו או הפריכו: הנוסחה $a_n=3n+1$ מתאימה לסדרה $a_1=4$ , $a_{n+1}=a_n+3$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}a_1 &= 3 \cdot 1+1 \\ &= 4\end{aligned}

בסיס

\begin{aligned}a_{k+1} &= 3k+1+3 \\ &= 3(k+1)+1\end{aligned}

צעד

הטענה נכונה. הבסיס והצעד מתקיימים. זו הסדרה שבציור. שימו לב: הצעד לבדו מתקיים גם ב- $3n+7$ , ורק הבסיס מכריע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

לסדרה יש נוסחה מפורשת $a_n=5 \cdot 2^n$ . איזה כלל נסיגה מתאר אותה?

$a_1=5$ , $a_{n+1}=2a_n$
$a_1=10$ , $a_{n+1}=5a_n$
$a_1=10$ , $a_{n+1}=2a_n$
$a_1=10$ , $a_{n+1}=a_n+5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $a_1=10$ , $a_{n+1}=2a_n$

הפתרון:

\begin{aligned}a_1 &= 5 \cdot 2 \\ &= 10\end{aligned}

האיבר הראשון

\begin{aligned}\frac{a_{n+1}}{a_n} &= \frac{5 \cdot 2^{n+1}}{5 \cdot 2^n} \\ &= 2\end{aligned}

היחס בין איברים סמוכים

הנכונה: $a_1=10$ , $a_{n+1}=2a_n$ . $a_1=5$ היה נכון רק אם החזקה הייתה $2^{n-1}$ . $a_{n+1}=5a_n$ מבלבל בין המקדם למנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתון: $a_1=1$ , $a_{n+1}=2a_n+1$ . סדרו את ההוכחה ש- $a_n=2^n-1$ .

בודקים: $a_1=1=2^1-1$
כותבים את כלל הנסיגה: $a_{k+1}=2a_k+1$
מניחים: $a_k=2^k-1$
מציבים את ההנחה: $a_{k+1}=2\left(2^k-1\right)+1$
מקבלים $a_{k+1}=2^{k+1}-1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: בודקים: $a_1=1=2^1-1$ · מניחים: $a_k=2^k-1$ · כותבים את כלל הנסיגה: $a_{k+1}=2a_k+1$ · מציבים את ההנחה: $a_{k+1}=2\left(2^k-1\right)+1$ · מקבלים $a_{k+1}=2^{k+1}-1$

הפתרון:

\begin{aligned}a_{k+1} &= 2^{k+1}-2+1 \\ &= 2^{k+1}-1\end{aligned}

הצעד

שלב 3 מתחיל מכלל הנסיגה, ורק אחר כך מציבים את ההנחה. המלכודת: להציב את הנוסחה $2^{k+1}-1$ בכלל, כלומר להניח את מה שמוכיחים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתון: $a_1=2$ , $a_{n+1}=3a_n+2$ . לפניכם שלב ההוכחה ש- $a_n=3^n-1$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

a_{k+1}=3a_k+2

=3\left(3^k-1\right)+2

=3^{k+1}-1+2

=3^{k+1}-1

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $=3^{k+1}-1+2$ → $=3^{k+1}-3+2$

הפתרון:

3\left(3^k-1\right)=3^{k+1}-3

ה- $3$ כופל גם את $-1$

הכפל בסוגריים חל על שני המחוברים. השורה האחרונה נכונה, אבל היא לא נובעת מהשורה השגויה: $3^{k+1}-1+2=3^{k+1}+1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

$S_n$ הוא סכום $n$ האיברים הראשונים של סדרה, ו- $S_n=n^2+n$ לכל $n$ . מצאו את $a_5$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

\begin{aligned}S_5 &= 25+5 \\ &= 30\end{aligned}

סכום חמשת האיברים

\begin{aligned}S_4 &= 16+4 \\ &= 20\end{aligned}

סכום ארבעת האיברים

\begin{aligned}a_5 &= S_5-S_4 \\ &= 10\end{aligned}

מה שנוסף באיבר החמישי

$a_5$ הוא ההפרש $S_5-S_4$ , לא $S_5$ עצמו. המלכודת: לענות $30$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הוכיחו באינדוקציה: הסדרה $a_1=1$ , $a_{n+1}=a_n+2n+1$ מקיימת $a_n=n^2$ לכל $n$ טבעי.

$a_1=1$
$a_{n+1}=a_n+2n+1$

$a_n=n^2$

להציג את התשובה והפתרון

$a_1=1=1^2$ — בדיקה עבור $n=1$
$a_k=k^2$ — הנחת האינדוקציה
$a_{k+1}=k^2+2k+1$ — כלל הנסיגה עבור $n=k$ , והצבת ההנחה
$a_{k+1}=(k+1)^2$ — נוסחת הכפל המקוצר: זו הטענה עבור $n=k+1$

הפתרון:

\begin{aligned}a_{k+1} &= a_k+2k+1 \\ &= k^2+2k+1 \\ &= (k+1)^2\end{aligned}

הצעד

בכלל הנסיגה עבור $n=k$ המחובר הוא $2k+1$ , לא $2(k+1)+1$ . המלכודת: להציב $k+1$ בכלל במקום $k$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתון: $a_1=1$ , $a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n}$ . חשבו כמה איברים ובחרו את הנוסחה המפורשת.

$a_n=\frac{1}{n^2}$
$a_n=\frac{1}{2^{n-1}}$
$a_n=\frac{1}{n}$
$a_n=\frac{n}{n+1}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $a_n=\frac{1}{n}$

הפתרון:

\begin{aligned}a_2 &= \frac{1}{2} \\ \ a_3 &= \frac{1/2}{3/2} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

האיברים

\frac{1/k}{1+1/k}=\frac{1}{k+1}

הצעד: כופלים מונה ומכנה ב- $k$

הנכונה: $\frac{1}{n}$ . $\frac{1}{2^{n-1}}$ מתאימה ל- $a_1$ ול- $a_2$ ונכשלת ב- $a_3$ : שני איברים לא מספיקים כדי לבחור נוסחה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

מכלל נסיגה לנוסחה מפורשת

סכום ואיבר

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev