להוכיח שמרובע בר-חסימה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בשרטוט משורטטים שני גבהים במשולש, BEBE ו-CFCF, והם נפגשים ב-HH. אף אחד לא שרטט מעגל, ובכל זאת ארבע נקודות כבר יושבות על מעגל אחד. בבגרות הסעיף נשמע כך: «הוכיחו שאפשר לחסום את המרובע במעגל».

ABCEFH

במרובע AFHEAFHE: כמה מעלות יש בזווית FF ובזווית EE, ומה סכומן?

להציג את התשובה והפתרון

שתיהן 90∘90^\circ, כי CFCF ו-BEBE גבהים. סכומן 180∘180^\circ, והן נגדיות במרובע AFHEAFHE. זה בדיוק התנאי שמבטיח מעגל דרך ארבעת הקודקודים.

המשפט ההפוך: מתי ארבע נקודות על מעגל

∠A+∠C=180∘ ⇒ ABCD חסום\angle A+\angle C=180^\circ \ \Rightarrow \ ABCD \ \text{חסום}

מרובע שבו סכום זוג זוויות נגדיות הוא 180∘180^\circ — אפשר לחסום אותו במעגל. כל הדרכים של הבגרות מגיעות בסוף לתנאי הזה, או למקרה הפרטי שלו עם זוויות ישרות.

∠A+∠C=180∘\angle A+\angle C=180^\circ

זוג זוויות נגדיות משלים ל-180∘180^\circ — המשפט עצמו

∠DCE=∠A\angle DCE=\angle A

זווית חיצונית שווה לפנימית שממול — כי ∠DCE+∠BCD=180∘\angle DCE+\angle BCD=180^\circ (צמודות), ולכן ∠A+∠BCD=180∘\angle A+\angle BCD=180^\circ

∠ADB=∠ACB=90∘\begin{aligned}\angle ADB &= \angle ACB \\ &= 90^\circ\end{aligned}

שתי זוויות ישרות על אותו קטע ABAB — CC ו-DD על המעגל שקוטרו ABAB, כי זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר

במרובע ABCDABCD נתון ∠A=∠B=90∘\angle A=\angle B=90^\circ. האם אפשר לחסום אותו במעגל?

להציג את התשובה והפתרון

לא בהכרח. AA ו-BB סמוכות, לא נגדיות. זה טרפז ישר זווית, ו-∠C+∠D=180∘\angle C+\angle D=180^\circ לא אומר ש-∠A+∠C=180∘\angle A+\angle C=180^\circ. רק אם גם ∠C=90∘\angle C=90^\circ המרובע הוא מלבן, וחסום.

זווית חיצונית שווה לפנימית שממול

במרובע ABCDABCD מאריכים את BCBC עד EE, ונתון ∠DCE=∠BAD\angle DCE=\angle BAD. הוכיחו שאפשר לחסום את ABCDABCD במעגל.

∠DCE+∠BCD=180∘\angle DCE+\angle BCD=180^\circ

סכום זוויות צמודות

∠BAD+∠BCD=180∘\angle BAD+\angle BCD=180^\circ

מציבים את הנתון ∠DCE=∠BAD\angle DCE=\angle BAD

ABCD חסוםABCD \ \text{חסום}

זוויות נגדיות משלימות ל-180∘180^\circ — המשפט ההפוך

ααABCDE

ולמה זה שווה נקודות: מה מקבלים מהמעגל החדש

ברגע שהוכחתם שהמרובע חסום, מותר להשתמש בכל משפטי המעגל עליו: זוויות היקפיות על אותה קשת שוות, וזוויות נגדיות משלימות. לכן הסעיף «הוכיחו שהמרובע בר-חסימה» בא כמעט תמיד לפני סעיף «הוכיחו ששתי זוויות שוות».

כותבים את שם המרובע לפי סדר הקודקודים על המעגל: AFHEAFHE ולא AFEHAFEH. בסדר שגוי «הזוויות הנגדיות» הן בכלל לא זוויות של המרובע.

שלוש טעויות בהוכחת חסימות.

∠A+∠B=180∘⇒חסום\angle A+\angle B=180^\circ \Rightarrow \text{חסום}
∠A+∠C=180∘⇒חסום\angle A+\angle C=180^\circ \Rightarrow \text{חסום}

סכום זוויות סמוכות 180∘180^\circ נותן צלעות מקבילות, לא מעגל.

∠A=∠C⇒חסום\angle A=\angle C \Rightarrow \text{חסום}

זוויות נגדיות שוות יש בכל מקבילית, ורוב המקביליות אינן חסומות. צריך סכום 180∘180^\circ.

∠DCE=∠ABC\angle DCE=\angle ABC
∠DCE=∠BAD\angle DCE=\angle BAD

הזווית החיצונית ב-CC שווה לזווית הפנימית שממול, כלומר ב-AA, לא לזווית הסמוכה ב-BB.

תרגילים

תרגיל 1

ABCD

באיזה מן המרובעים הבאים בטוח שאפשר לחסום את המרובע ABCDABCD במעגל?

  1. ∠A=95∘, ∠B=85∘\angle A=95^\circ ,\ \angle B=85^\circ
  2. ∠A=∠B=90∘\angle A=\angle B=90^\circ
  3. ∠A=∠C=95∘\angle A=\angle C=95^\circ
  4. ∠A=95∘, ∠C=85∘\angle A=95^\circ ,\ \angle C=85^\circ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד ∠A=95∘, ∠C=85∘\angle A=95^\circ ,\ \angle C=85^\circ

הפתרון:

95∘+85∘=180∘95^\circ+85^\circ=180^\circ

AA ו-CC נגדיות, וסכומן 180∘180^\circ: מרובע שבו סכום זוג זוויות נגדיות הוא 180∘180^\circ — אפשר לחסום אותו במעגל

הנכונה: ∠A=95∘, ∠C=85∘\angle A=95^\circ ,\ \angle C=85^\circ. ב-∠A=∠C=95∘\angle A=\angle C=95^\circ הסכום 190∘190^\circ. בשתי האפשרויות האחרות הזוויות סמוכות, והן נותנות צלעות מקבילות ולא מעגל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ABCEFH

במשולש ABCABC הקטעים BEBE ו-CFCF הם גבהים, והם נפגשים ב-HH. הוכיחו שאפשר לחסום את המרובע AFHEAFHE במעגל.

  • BE⊥ACBE \perp AC
  • CF⊥ABCF \perp AB

אפשר לחסום את AFHEAFHE במעגל

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠AEH=90∘\angle AEH=90^\circ — הגדרת גובה במשולש BEBE
  2. ∠AFH=90∘\angle AFH=90^\circ — הגדרת גובה במשולש CFCF
  3. ∠AEH+∠AFH=180∘\angle AEH+\angle AFH=180^\circ — חיבור זוויות
  4. אפשר לחסום את AFHEAFHE במעגל — מרובע שבו סכום זוג זוויות נגדיות הוא 180∘180^\circ — אפשר לחסום אותו במעגל

הפתרון:

∠AEH+∠AFH=90∘+90∘=180∘\begin{aligned}\angle AEH+\angle AFH &= 90^\circ+90^\circ \\ &= 180^\circ\end{aligned}

שתי זוויות ישרות, והן נגדיות במרובע AFHEAFHE

⇒\Rightarrow

המשפט ההפוך של המרובע החסום

המלכודת: לכתוב «כי ∠A+∠H=180∘\angle A+\angle H=180^\circ». את ∠H\angle H לא מכירים. הזוויות הישרות הן ב-EE וב-FF, והן זוג נגדי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ABCEFH

במשולש ABCABC הקטעים BEBE ו-CFCF הם גבהים. איזה משפט מצדיק את הטענה שהנקודות BB, CC, EE ו-FF נמצאות על מעגל אחד?

  1. זוויות קודקודיות שוות
  2. זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר
  3. המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
  4. זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר

הפתרון:

∠BEC=∠BFC=90∘\begin{aligned}\angle BEC &= \angle BFC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

הגדרת גובה

E, FE ,\ F

שתיהן על המעגל שקוטרו BCBC: זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר

הנכונה: זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר. EE ו-FF «רואות» את BCBC בזווית ישרה, ולכן שתיהן על המעגל שקוטרו BCBC. זוויות על אותה קשת הן תוצאה של המעגל, לא הדרך להוכיח שהוא קיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

50°?ABCEFH

במשולש ABCABC הקטעים BEBE ו-CFCF הם גבהים, והם נפגשים ב-HH. נתון ∠BAC=50∘\angle BAC=50^\circ. חשבו את ∠BHC\angle BHC (במעלות).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 130

הפתרון:

∠AEH+∠AFH=180∘\angle AEH+\angle AFH=180^\circ

שתי זוויות ישרות: AFHEAFHE חסום

∠FHE=180∘−50∘=130∘\begin{aligned}\angle FHE &= 180^\circ-50^\circ \\ &= 130^\circ\end{aligned}

במרובע חסום במעגל סכום כל זוג זוויות נגדיות הוא 180∘180^\circ

∠BHC=∠FHE=130∘\begin{aligned}\angle BHC &= \angle FHE \\ &= 130^\circ\end{aligned}

זוויות קודקודיות שוות

הזווית היא 130∘130^\circ. מי שענה 50∘50^\circ השווה בין זוויות נגדיות במקום להשלים ל-180∘180^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ααABCDE

במרובע ABCDABCD מאריכים את הצלע BCBC מעבר ל-CC עד הנקודה EE. נתון ∠DCE=∠BAD\angle DCE=\angle BAD. הוכיחו שאפשר לחסום את ABCDABCD במעגל.

  • BB, CC, EE על ישר אחד
  • ∠DCE=∠BAD\angle DCE=\angle BAD

אפשר לחסום את ABCDABCD במעגל

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠BCD+∠DCE=180∘\angle BCD+\angle DCE=180^\circ — סכום זוויות צמודות הוא 180∘180^\circ
  2. ∠BCD+∠BAD=180∘\angle BCD+\angle BAD=180^\circ — הצבה: נתון ∠DCE=∠BAD\angle DCE=\angle BAD
  3. אפשר לחסום את ABCDABCD במעגל — מרובע שבו סכום זוג זוויות נגדיות הוא 180∘180^\circ — אפשר לחסום אותו במעגל

הפתרון:

∠BCD+∠DCE=180∘\angle BCD+\angle DCE=180^\circ

צמודות

∠BCD+∠BAD=180∘\angle BCD+\angle BAD=180^\circ

הצבה

⇒\Rightarrow

המשפט ההפוך

שלוש שורות, ובכל אחת משפט אחד. המלכודת: לדלג ישר לסוף ולכתוב «זווית חיצונית שווה לפנימית שממול». זו מסקנה על מרובע שכבר חסום. כאן צריך להוכיח את החסימה עצמה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

3x2x+30°ABCD

במרובע ABCDABCD נתון ∠A=3x\angle A=3x ו-∠C=2x+30∘\angle C=2x+30^\circ. לאיזה ערך של xx (במעלות) אפשר לחסום את המרובע במעגל?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

3x+2x+30=1803x+2x+30=180

זוויות נגדיות משלימות ל-180∘180^\circ

5x=150⇒x=30\begin{aligned}5x &= 150 \Rightarrow x \\ &= 30\end{aligned}
∠A=90∘ ∠C=90∘\begin{aligned}\angle A &= 90^\circ \\ \ \angle C &= 90^\circ\end{aligned}

בדיקה: 90+90=18090+90=180 ✓

x=30x=30. מי שהשווה 3x=2x+303x=2x+30 קיבל במקרה את אותה תשובה, אבל מנימוק שגוי: המשפט הוא על סכום, לא על שוויון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

OABP

מהנקודה PP יוצאים שני משיקים למעגל שמרכזו OO, ונוגעים בו ב-AA וב-BB. סדרו את שורות ההוכחה שאפשר לחסום את OAPBOAPB במעגל, ושהקטע OPOP הוא קוטר של המעגל החדש.

  • ∠OAP+∠OBP=180∘\angle OAP+\angle OBP=180^\circ — אפשר לחסום את OAPBOAPB
  • ∠OAP=90∘\angle OAP=90^\circ — המשיק מאונך לרדיוס
  • ∠OBP=90∘\angle OBP=90^\circ — המשיק מאונך לרדיוס
  • OPOP קוטר — זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ∠OAP=90∘\angle OAP=90^\circ — המשיק מאונך לרדיוס · ∠OBP=90∘\angle OBP=90^\circ — המשיק מאונך לרדיוס · ∠OAP+∠OBP=180∘\angle OAP+\angle OBP=180^\circ — אפשר לחסום את OAPBOAPB · OPOP קוטר — זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר

הפתרון:

∠OAP=∠OBP=90∘\begin{aligned}\angle OAP &= \angle OBP \\ &= 90^\circ\end{aligned}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

90∘+90∘=180∘90^\circ+90^\circ=180^\circ

זוויות נגדיות במרובע OAPBOAPB

OPOP

הזווית הישרה ∠OAP\angle OAP נשענת על OPOP

הקוטר של המעגל החדש הוא OPOP, לא ABAB: הזוויות הישרות נמצאות ב-AA וב-BB ו«רואות» את OPOP.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABCD

הוכיחו או הפריכו: מרובע שיש בו שתי זוויות ישרות — אפשר תמיד לחסום אותו במעגל.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

∠A=∠B=90∘\begin{aligned}\angle A &= \angle B \\ &= 90^\circ\end{aligned}

דוגמה נגדית: טרפז ישר זווית עם ∠C=60∘\angle C=60^\circ, ∠D=120∘\angle D=120^\circ

∠A+∠C=150∘≠180∘\angle A+\angle C=150^\circ \neq 180^\circ

הזוויות הנגדיות אינן משלימות

הטענה אינה נכונה. שתי הזוויות הישרות חייבות להיות נגדיות (או להישען על אותו קטע, משני צדיו או מאותו צד). שתי זוויות ישרות סמוכות נותנות טרפז, ורוב הטרפזים הישרי זווית אינם חסומים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

2k3k4k?ABCD

המרובע ABCDABCD חסום במעגל, והזוויות ∠A\angle A, ∠B\angle B, ∠C\angle C מתייחסות כמו 2:3:42:3:4. חשבו את ∠D\angle D (במעלות).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 90

הפתרון:

2k+4k=180⇒k=30\begin{aligned}2k+4k &= 180 \Rightarrow k \\ &= 30\end{aligned}

זוויות נגדיות AA ו-CC משלימות

∠B=3⋅30∘=90∘\begin{aligned}\angle B &= 3\cdot 30^\circ \\ &= 90^\circ\end{aligned}
∠D=180∘−90∘=90∘\begin{aligned}\angle D &= 180^\circ-90^\circ \\ &= 90^\circ\end{aligned}

זוויות נגדיות BB ו-DD משלימות

∠D=90∘\angle D=90^\circ. מי שחילק 360∘360^\circ ל-2+3+4=92+3+4=9 חלקים שכח שיש ארבע זוויות. היחס נותן רק שלוש מהן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ABCDE

מיינו: אילו מהנתונים מספיקים כדי להוכיח שאפשר לחסום את ABCDABCD במעגל? (EE על המשך הצלע BCBC מעבר ל-CC.)

  • מספיק
  • לא מספיק
  • ∠A+∠B=180∘\angle A+\angle B=180^\circ
  • ∠A+∠C=180∘\angle A+\angle C=180^\circ
  • ∠A=∠C\angle A=\angle C
  • ∠ADB=∠ACB=90∘\angle ADB=\angle ACB=90^\circ
  • ∠B+∠D=180∘\angle B+\angle D=180^\circ
  • ∠DCE=∠A\angle DCE=\angle A
  • AB=CDAB=CD
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ∠A+∠C=180∘\angle A+\angle C=180^\circ — מספיק · ∠B+∠D=180∘\angle B+\angle D=180^\circ — מספיק · ∠DCE=∠A\angle DCE=\angle A — מספיק · ∠ADB=∠ACB=90∘\angle ADB=\angle ACB=90^\circ — מספיק · ∠A=∠C\angle A=\angle C — לא מספיק · ∠A+∠B=180∘\angle A+\angle B=180^\circ — לא מספיק · AB=CDAB=CD — לא מספיק

הפתרון:

∠A+∠C=180∘\angle A+\angle C=180^\circ

המשפט ההפוך

∠DCE=∠A\angle DCE=\angle A

צמודות, ומגיעים לסכום 180∘180^\circ

∠ADB=∠ACB=90∘\begin{aligned}\angle ADB &= \angle ACB \\ &= 90^\circ\end{aligned}

CC ו-DD על המעגל שקוטרו ABAB

שלושה «לא מספיק»: זוויות נגדיות שוות (מקבילית), זוויות סמוכות משלימות (טרפז), ושתי צלעות שוות. אף אחד מהם לא מבטיח מעגל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת