דמיון במעגל: מזוויות ליחס ולמכפלה · גאומטריה במעגל · כיתה י״א

שני מיתרים נחתכים בתוך מעגל בנקודה $P$ . אם מודדים את ארבעת הקטעים, מכפלת שני הקטעים של מיתר אחד שווה למכפלת שני הקטעים של המיתר השני. זה לא מקרה: בשרטוט מסתתרים שני משולשים דומים.

בשרטוט: למה $\angle CAB=\angle CDB$ ? ואיזה עוד זוג זוויות שוות יש במשולשים $APC$ ו- $DPB$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$\angle CAB=\angle CDB$ כי זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת ( $CB$ ) שוות. הזוג השני: $\angle APC=\angle DPB$ , זוויות קודקודיות. שתי זוויות שוות, ולכן $\triangle APC \sim \triangle DPB$ (ז.ז).

במעגל, הדמיון הוא כמעט תמיד ז.ז

פעילות אינטראקטיבית

מאיפה מגיעות הזוויות השוות לדמיון במעגל

\angle CAB=\angle CDB

זוויות היקפיות על אותה קשת. הזוג השכיח ביותר.

\angle APC=\angle DPB

זוויות קודקודיות — כששני מיתרים נחתכים בתוך המעגל.

\angle P=\angle P

זווית משותפת — כששני ישרים יוצאים מנקודה שמחוץ למעגל.

\angle PTA=\angle PBT

זווית בין משיק למיתר שווה להיקפית מהצד השני.

מוצאים שני זוגות מהרשימה, ומסיימים ב-ז.ז. לפני שכותבים את היחס, מתאימים קודקוד לקודקוד לפי הזוויות, לא לפי המקום בשרטוט.

לעשות את הפעילות ב-elev

מדמיון למכפלה

מהדמיון $\triangle APC \sim \triangle DPB$ ( $A \leftrightarrow D$ , $P \leftrightarrow P$ , $C \leftrightarrow B$ ) כותבים יחס של צלעות מתאימות, וכופלים בהצלבה:

\begin{aligned}\frac{PA}{PD} &= \frac{PC}{PB} \ \Rightarrow \ PA \cdot PB \\ &= PC \cdot PD\end{aligned}

PA \cdot PB=PC \cdot PD

שני מיתרים שנחתכים בנקודה $P$ בתוך המעגל

PT^2=PA \cdot PB

משיק וחותך מנקודה $P$ מחוץ למעגל: $\triangle PTA \sim \triangle PBT$

PA \cdot PB=PC \cdot PD

שני חותכים מנקודה $P$ מחוץ למעגל: כל קטע נמדד מ- $P$

בשרטוט $PT$ משיק, $PA=4$ ו- $AB=5$ . מהו $PT$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$PB=PA+AB=9$ , ולכן $PT^2=4 \cdot 9=36$ ו- $PT=6$ . המלכודת: $PT^2=PA \cdot AB=20$ . הקטעים נמדדים מהנקודה $P$ .

חוצה זווית שממשיכים עד המעגל

המשולש $ABC$ חסום במעגל. חוצה הזווית $A$ חותך את $BC$ ב- $E$ ואת המעגל ב- $D$ . הוכיחו: $AB \cdot AC=AD \cdot AE$ .

\angle BAD=\angle EAC

נתון: $AD$ חוצה את $\angle BAC$

\angle ADB=\angle ACB

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות ( $AB$ )

\triangle ABD \sim \triangle AEC

משפט דמיון ז.ז: $B \leftrightarrow E$ , $D \leftrightarrow C$

\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC}

במשולשים דומים, יחס הצלעות המתאימות שווה ליחס הדמיון

AB \cdot AC=AD \cdot AE

כפל בהצלבה

כשהשאלה מבקשת «הוכיחו ש- $PA \cdot PB=PC \cdot PD$ », מוכיחים את הדמיון, כותבים יחס וכופלים בהצלבה. כשהיא מבקשת רק לחשב אורך, מספיקה המכפלה עצמה.

שלוש טעויות שחוזרות בכל בגרות.

\frac{PA}{PB}=\frac{PC}{PD}

\frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PB}

היחס נכתב בין צלעות מתאימות, והן נקבעות לפי הזוויות. $PA$ מתאימה ל- $PD$ , כי $A$ ו- $D$ הן הקודקודים של הזוויות השוות $\alpha$ .

PT^2=PA \cdot AB

PT^2=PA \cdot PB

כל הקטעים נמדדים מ- $P$ : הקטע הקרוב והחותך כולו.

\frac{S_1}{S_2}=k

\frac{S_1}{S_2}=k^2

יחס השטחים של משולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון.

תרגילים

תרגיל 1

המיתרים $AB$ ו- $CD$ נחתכים בנקודה $P$ . הוכיחו: $\triangle APC \sim \triangle DPB$ .

המיתרים $AB$ ו- $CD$ נחתכים ב- $P$

$\triangle APC \sim \triangle DPB$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle APC=\angle DPB$ — זוויות קודקודיות שוות
$\angle CAB=\angle CDB$ — זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות $CB$
$\triangle APC \sim \triangle DPB$ — משפט דמיון ז.ז

הפתרון:

\angle APC=\angle DPB

קודקודיות

\angle CAB=\angle CDB

היקפיות על הקשת $CB$

\triangle APC \sim \triangle DPB

ז.ז

המלכודת: לכתוב $\triangle APC \sim \triangle BPD$ . הזווית ב- $A$ שווה לזווית ב- $D$ , ולכן $A$ מתאימה ל- $D$ , והסדר קובע את היחסים בהמשך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

המיתרים $AB$ ו- $CD$ נחתכים בנקודה $P$ . נתון $PA=4$ , $PB=6$ ו- $PC=3$ . חשבו את $PD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

PA \cdot PB=PC \cdot PD

מכפלת קטעי מיתרים נחתכים (מהדמיון $\triangle APC \sim \triangle DPB$ )

\begin{aligned}4 \cdot 6 &= 3 \cdot PD \Rightarrow PD \\ &= 8\end{aligned}

$PD=8$ . מי שכתב $\frac{PA}{PB}=\frac{PC}{PD}$ קיבל $4.5$ : הוא התאים קטעים של אותו מיתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהנקודה $P$ יוצאים משיק $PT$ וחותך שפוגש את המעגל ב- $A$ וב- $B$ ( $A$ בין $P$ ל- $B$ ). נתון $PA=4$ ו- $AB=5$ . חשבו את $PT$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\begin{aligned}PB &= 4+5 \\ &= 9\end{aligned}

החותך כולו

\begin{aligned}PT^2 &= PA \cdot PB \\ &= 36\end{aligned}

משיק וחותך (מהדמיון $\triangle PTA \sim \triangle PBT$ )

PT=6

$PT=6$ . המלכודת: $PT^2=4 \cdot 5$ . הגורם השני הוא החותך כולו $PB$ , לא החלק שבתוך המעגל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתון $\triangle APC \sim \triangle DPB$ , כש- $A \leftrightarrow D$ , $P \leftrightarrow P$ , $C \leftrightarrow B$ . איזה יחס נכון?

$\frac{PA}{PB}=\frac{PC}{PD}=\frac{AC}{DB}$
$\frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PB}=\frac{AC}{DB}$
$\frac{PA}{PC}=\frac{PD}{PB}=\frac{AC}{DB}$
$\frac{PA}{PD}=\frac{PB}{PC}=\frac{AC}{DB}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $\frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PB}=\frac{AC}{DB}$

הפתרון:

PA \leftrightarrow PD

הצלע בין $P$ ל- $A$ מתאימה לצלע בין $P$ ל- $D$

PC \leftrightarrow PB ,\ AC \leftrightarrow DB

וכך גם השאר

\begin{aligned}\frac{PA}{PD} &= \frac{PC}{PB} \\ &= \frac{AC}{DB}\end{aligned}

במשולשים דומים, יחס הצלעות המתאימות שווה ליחס הדמיון

הנכונה: $\frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PB}=\frac{AC}{DB}$ . הדרך הבטוחה: מחליפים בכל צלע של המשולש הראשון כל אות באות המתאימה לה. $PA$ הופכת ל- $PD$ , ו- $PC$ ל- $PB$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהנקודה $P$ יוצאים משיק $PT$ למעגל וחותך שפוגש את המעגל ב- $A$ וב- $B$ ( $A$ בין $P$ ל- $B$ ). הוכיחו: $\triangle PTA \sim \triangle PBT$ .

$PT$ משיק למעגל ב- $T$
$P$ , $A$ , $B$ על ישר אחד

$\triangle PTA \sim \triangle PBT$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle TPA=\angle BPT$ — זווית משותפת
$\angle PTA=\angle PBT$ — הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצדו השני
$\triangle PTA \sim \triangle PBT$ — משפט דמיון ז.ז

הפתרון:

\angle P=\angle P

משותפת

\angle PTA=\angle PBT

משיק ומיתר $TA$

\triangle PTA \sim \triangle PBT

ז.ז

המלכודת: לנמק את $\angle PTA=\angle PBT$ ב«זוויות היקפיות». $\angle PTA$ אינה היקפית, כי $TP$ משיק ולא מיתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

המשולש $ABC$ חסום במעגל. חוצה הזווית $A$ חותך את $BC$ ב- $E$ ואת המעגל ב- $D$ . נתון $AB=6$ , $AC=8$ ו- $AE=4$ . השלימו.

$AD=$ ____ , $ED=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $AD=$ 12 , $ED=$ 8

הפתרון:

\triangle ABD \sim \triangle AEC

ז.ז: חוצה זווית, והיקפיות על הקשת $AB$

AB \cdot AC=AD \cdot AE

יחס הצלעות וכפל בהצלבה

\begin{aligned}48 &= 4 \cdot AD \Rightarrow AD \\ &= 12\end{aligned}

\begin{aligned}ED &= AD-AE \\ &= 12-4 \\ &= 8\end{aligned}

$AD=12$ ו- $ED=8$ . המלכודת: להציב $ED$ במקום $AD$ . במכפלה מופיע כל הקטע $AD$ , מ- $A$ עד המעגל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

המיתרים $AB$ ו- $CD$ נחתכים ב- $P$ , ו- $\triangle APC \sim \triangle DPB$ ( $A \leftrightarrow D$ ). נתון $PA=4$ , $PD=6$ , ושטח המשולש $APC$ הוא $12$ סמ״ר. חשבו את שטח המשולש $DPB$ (בסמ״ר).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 27

הפתרון:

\begin{aligned}k &= \frac{PA}{PD} \\ &= \frac{4}{6} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

יחס הדמיון

\begin{aligned}\frac{S_{APC}}{S_{DPB}} &= k^2 \\ &= \frac{4}{9}\end{aligned}

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון

\begin{aligned}S_{DPB} &= 12 \cdot \frac{9}{4} \\ &= 27\end{aligned}

השטח $27$ סמ״ר. מי שענה $18$ כפל ביחס הדמיון עצמו. שטח גדל פי $k^2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

תלמיד חישב את אורך המשיק $PT$ , כש- $PA=4$ ו- $AB=5$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

\triangle PTA \sim \triangle PBT

\frac{PT}{PB}=\frac{PA}{PT}

\begin{aligned}PT^2 &= PA \cdot AB \\ &= 20\end{aligned}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $PT^2=PA \cdot AB=20$ → $PT^2=PA \cdot PB=36$

הפתרון:

\frac{PT}{PB}=\frac{PA}{PT}

השורה השנייה נכונה

\begin{aligned}PT^2 &= PA \cdot PB \\ &= 4 \cdot 9 \\ &= 36\end{aligned}

כפל בהצלבה נותן $PB$ , לא $AB$

השורה השלישית שגויה. מהיחס $\frac{PT}{PB}=\frac{PA}{PT}$ יוצא $PT^2=PA \cdot PB$ , ו- $PB=9$ . לכן $PT=6$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מהנקודה $P$ יוצאים שני חותכים. האחד פוגש את המעגל ב- $A$ וב- $B$ , והשני ב- $C$ וב- $D$ ( $A$ בין $P$ ל- $B$ , $C$ בין $P$ ל- $D$ ). נתון $PA=3$ , $PB=8$ ו- $PC=4$ . חשבו את $PD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\triangle PAD \sim \triangle PCB

ז.ז: זווית משותפת $P$ , והיקפיות $\angle PDA=\angle PBC$ על הקשת $AC$

PA \cdot PB=PC \cdot PD

יחס וכפל בהצלבה

\begin{aligned}3 \cdot 8 &= 4 \cdot PD \Rightarrow PD \\ &= 6\end{aligned}

$PD=6$ . גם כאן כל קטע נמדד מ- $P$ . מי שכתב $3 \cdot 5=4 \cdot PD$ לקח את החלק הפנימי $AB$ במקום $PB$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בהוכחה ש- $\triangle PTA \sim \triangle PBT$ ( $PT$ משיק) מופיעה הטענה $\angle PTA=\angle PBT$ . מה הנימוק?

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות
הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצדו השני
זוויות קודקודיות שוות

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצדו השני

הפתרון:

\angle PTA=\angle PBT

הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצדו השני ( $TA$ )

הנכונה: משיק ומיתר. $\angle PTA$ אינה היקפית, ולכן «אותה קשת» אינו מתאים. הרדיוס לא מופיע כלל בשרטוט.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

במעגל, הדמיון הוא כמעט תמיד ז.ז

מדמיון למכפלה

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev