מההוכחה לחישוב · גאומטריה במעגל · כיתה י״א

הסעיף האחרון של שאלה 4 מבקש מספר: אורך, יחס, או שטח «הביעו באמצעות $R$ » או «באמצעות $S$ ». המספר כמעט אף פעם לא בא מנוסחה חדשה. הוא בא מהדמיון שהוכחתם בסעיף הקודם. בשרטוט: $AB$ קוטר, ו- $CD$ מאונך לו.

בשרטוט יש שלושה משולשים ישרי זווית: $ABC$ , $ACD$ ו- $CBD$ . למה $\triangle ACD \sim \triangle ABC$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$\angle A$ משותפת, ו- $\angle ADC=\angle ACB=90^\circ$ : הראשונה כי $CD \perp AB$ , והשנייה כי זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה. ז.ז. ובאותו אופן גם $\triangle CBD \sim \triangle ABC$ .

חמישה כלים לסעיף החישוב

\frac{a_1}{a_2}=k

יחס הדמיון: צלעות מתאימות. מכאן אורך חסר.

\frac{S_1}{S_2}=k^2

שטחים של משולשים דומים: ריבוע יחס הדמיון. ולהפך: מיחס שטחים מוציאים שורש ומקבלים $k$ .

\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}=\frac{BD}{DC}

אותו גובה: שני משולשים עם קודקוד משותף ובסיסים על ישר אחד. השטחים ביחס הבסיסים.

\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}

משפט חוצה הזווית: חוצה הזווית $A$ מחלק את $BC$ ביחס הצלעות שכולאות את הזווית.

MN=\tfrac{1}{2}BC

קטע אמצעים: מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה. במעגל: המרכז הוא אמצע כל קוטר.

$\triangle ACD \sim \triangle ABC$ ויחס השטחים $\frac{S_{ABC}}{S_{ACD}}=\frac{25}{9}$ . מהו יחס הדמיון $\frac{AB}{AC}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{AB}{AC}=\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac{5}{3}$ . מהשטח לצלע מוציאים שורש. מי שעונה $\frac{25}{9}$ מערבב בין יחס שטחים ליחס צלעות.

«הביעו באמצעות $R$ »

$AB$ קוטר במעגל שרדיוסו $R$ , ו- $CD \perp AB$ . נתון $\frac{S_{ABC}}{S_{ACD}}=\frac{25}{9}$ . הביעו את $AC$ ואת $AD$ באמצעות $R$ .

\triangle ACD \sim \triangle ABC

ז.ז: זווית משותפת וזווית ישרה

\begin{aligned}\frac{AB}{AC} &= \sqrt{\tfrac{25}{9}} \\ &= \frac{5}{3}\end{aligned}

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון

\begin{aligned}AC &= \frac{3}{5} \cdot 2R \\ &= \frac{6R}{5}\end{aligned}

$AB=2R$ , קוטר

\begin{aligned}\frac{AD}{AC} &= \frac{AC}{AB} \Rightarrow AD \\ &= \frac{AC^2}{AB} \\ &= \frac{36R^2/25}{2R} \\ &= \frac{18R}{25}\end{aligned}

יחס צלעות מתאימות באותו דמיון

שטחים «באמצעות $S$ »: מהדמיון לכל המרובע

פעילות אינטראקטיבית

ארבעה משולשים סביב נקודת החיתוך

\begin{aligned}PA &= 2 \\ \ PB &= 6 \\ \ PC &= 3 \\ \ PD &= 4 \\ \quad S_{APC} &= S\end{aligned}

לחצו «להתחיל». המטרה: שטח המרובע $ACBD$ באמצעות $S$ . כל שטח מגיע מאחד משני כלים: דמיון, או גובה משותף.

דמיון

\begin{aligned}\triangle APC \sim \triangle DPB \\ \quad k &= \frac{PA}{PD} \\ &= \frac{2}{4} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

בדיקה: $\frac{PC}{PB}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ ✓

ריבוע

\begin{aligned}S_{DPB} &= \frac{S}{k^2} \\ &= 4S\end{aligned}

יחס השטחים הוא $k^2=\frac{1}{4}$ .

גובה משותף

\begin{aligned}S_{APD} &= \frac{PD}{PC} \cdot S_{APC} \\ &= \frac{4}{3}S\end{aligned}

למשולשים $APC$ ו- $APD$ קודקוד משותף $A$ ובסיסים $PC$ ו- $PD$ על הישר $CD$ .

גובה משותף

\begin{aligned}S_{BPC} &= \frac{PC}{PD} \cdot S_{DPB} \\ &= \frac{3}{4} \cdot 4S \\ &= 3S\end{aligned}

קודקוד משותף $B$ , ובסיסים על הישר $CD$ .

סכום

\begin{aligned}S_{ACBD} &= S+4S+\tfrac{4}{3}S+3S \\ &= \tfrac{28}{3}S\end{aligned}

ארבעת המשולשים ממלאים את המרובע.

שני משולשים «אלכסוניים» ( $APC$ ו- $DPB$ ) דומים. שני המשולשים האחרים אינם דומים להם, ואת השטח שלהם מקבלים מגובה משותף.

לעשות את הפעילות ב-elev

בשלב «גובה משותף»: למה $\frac{S_{APD}}{S_{APC}}=\frac{PD}{PC}$ ולא $\left(\frac{PD}{PC}\right)^2$ ?

להציג את התשובה והפתרון

כי המשולשים $APD$ ו- $APC$ אינם דומים. יש להם אותו גובה מ- $A$ לישר $CD$ , ולכן השטחים ביחס הבסיסים. ריבוע מופיע רק בין משולשים דומים.

לפני כל חישוב שטח שאלו: המשולשים דומים (אז $k^2$ ) או שיש להם גובה משותף (אז יחס הבסיסים)? אם אף אחד מהשניים — מחפשים משולש שלישי שמחבר ביניהם.

שלוש טעויות בסעיף החישוב.

\begin{aligned}\frac{S_1}{S_2} &= \frac{5}{3} \Rightarrow k \\ &= \frac{25}{9}\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{S_1}{S_2} &= \frac{25}{9} \Rightarrow k \\ &= \frac{5}{3}\end{aligned}

מצלע לשטח מעלים בריבוע, ומשטח לצלע מוציאים שורש. לא להפך.

\frac{BD}{DC}=\frac{AC}{AB}

\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}

בחוצה זווית, הקטע $BD$ שליד $B$ מתאים לצלע $AB$ שליד $B$ .

AB=R

AB=2R

קוטר הוא פעמיים הרדיוס. טעות זו מכפילה או מחצה כל תשובה «באמצעות $R$ ».

תרגילים

תרגיל 1

במשולש $ABC$ הקטע $AD$ חוצה את $\angle BAC$ ( $D$ על $BC$ ). נתון $AB=9$ , $AC=6$ ו- $BC=10$ . חשבו את $BD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{AB}{AC} \\ &= \frac{9}{6} \\ &= \frac{3}{2}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית במשולש

\begin{aligned}BD &= \frac{3}{5} \cdot 10 \\ &= 6\end{aligned}

$BC$ מתחלק ל- $3+2=5$ חלקים

$BD=6$ . מי שענה $4$ הפך את היחס: הקטע שליד $B$ מתאים לצלע $AB$ , הארוכה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ , ו- $C$ נקודה על המעגל. $M$ היא אמצע המיתר $AC$ . נתון $BC=10$ . חשבו את $OM$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\begin{aligned}AO &= OB \\ \ AM &= MC\end{aligned}

$O$ אמצע הקוטר $AB$ , ו- $M$ אמצע $AC$

\begin{aligned}OM &= \tfrac{1}{2}BC \\ &= 5\end{aligned}

קטע אמצעים במשולש מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה

$OM=5$ . המפתח: המרכז הוא אמצע הקוטר, ולכן $OM$ הוא קטע אמצעים במשולש $ABC$ . מכאן גם $OM \parallel BC$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על $BC$ , ו- $BD:DC=2:3$ . שטח המשולש $ABC$ הוא $S$ . שטח המשולש $ABD$ הוא $k \cdot S$ . מצאו את $k$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.4

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{S_{ABD}}{S_{ABC}} &= \frac{BD}{BC} \\ &= \frac{2}{5}\end{aligned}

אותו גובה מ- $A$ לישר $BC$

k=0.4

$k=0.4$ . מי שענה $\frac{2}{3}$ השווה ל- $S_{ADC}$ במקום לכל המשולש $ABC$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

$AB$ קוטר במעגל שרדיוסו $R$ , ו- $C$ נקודה על המעגל כך ש- $\angle CAB=30^\circ$ . האורך $BC$ שווה ל- $k \cdot R$ . מצאו את $k$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

\angle ACB=90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

BC=\tfrac{1}{2}AB

במשולש ישר זווית, הניצב שמול זווית של $30^\circ$ שווה לחצי היתר

\begin{aligned}BC &= \tfrac{1}{2} \cdot 2R \\ &= R\end{aligned}

$k=1$ : $BC=R$ . מי שענה $\frac{1}{2}$ שכח ש- $AB=2R$ ולא $R$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהנקודה $P$ יוצאים משיק $PT$ וחותך $PAB$ ( $A$ בין $P$ ל- $B$ ). נתון $PA=2$ , $AB=6$ , ושטח המשולש $PBT$ הוא $20$ סמ״ר. השלימו.

$PT=$ ____ , $S_{PTA}=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $PT=$ 4 , $S_{PTA}=$ 5

הפתרון:

\begin{aligned}PT^2 &= PA \cdot PB \\ &= 2 \cdot 8 \\ &= 16 \Rightarrow PT \\ &= 4\end{aligned}

משיק וחותך

\begin{aligned}\triangle PTA \sim \triangle PBT \\ \ k &= \frac{PT}{PB} \\ &= \frac{4}{8} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

יחס הדמיון

\begin{aligned}S_{PTA} &= 20 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 5\end{aligned}

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון

$PT=4$ ו- $S_{PTA}=5$ . המלכודת: $k=\frac{PA}{PT}$ נכון גם הוא ( $\frac{2}{4}$ ), אבל $\frac{PA}{PB}=\frac{1}{4}$ אינו יחס הדמיון: $PA$ ו- $PB$ אינן צלעות מתאימות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

$AB$ קוטר במעגל שרדיוסו $R$ . $C$ נקודה על המעגל, ו- $CD \perp AB$ ( $D$ על $AB$ ). נתון $\frac{S_{ABC}}{S_{ACD}}=\frac{25}{9}$ . האורך $AC$ שווה ל- $k \cdot R$ . מצאו את $k$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.2

הפתרון:

\triangle ACD \sim \triangle ABC

ז.ז: $\angle A$ משותפת, $\angle ADC=\angle ACB=90^\circ$

\begin{aligned}\frac{AB}{AC} &= \sqrt{\tfrac{25}{9}} \\ &= \frac{5}{3}\end{aligned}

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון

\begin{aligned}AC &= \frac{3}{5} \cdot 2R \\ &= 1.2R\end{aligned}

$AB=2R$

$k=1.2$ . שתי מלכודות: לשכוח את השורש (ואז $AC=\frac{9}{25} \cdot 2R$ ), או לכתוב $AB=R$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

המיתרים $AB$ ו- $CD$ נחתכים ב- $P$ . נתון $PA=x$ , $PB=x+5$ , $PC=4$ ו- $PD=6$ . מצאו את $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

x(x+5)=4 \cdot 6

מכפלת קטעי מיתרים נחתכים

\begin{aligned}x^2+5x-24 &= 0 \Rightarrow (x+8)(x-3) \\ &= 0\end{aligned}

x=3

$x=-8$ נפסל: אורך חיובי

$x=3$ . אחרי משוואה ריבועית בגאומטריה תמיד פוסלים את הפתרון השלילי וכותבים למה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במשולש $ABC$ הקטע $AD$ חוצה את $\angle A$ ( $D$ על $BC$ ). איזה שוויון נכון תמיד?

$\frac{BD}{DC}=\frac{AC}{AB}$
$\frac{BD}{BC}=\frac{AB}{AC}$
$BD=DC$
$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$

הפתרון:

\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}

משפט חוצה הזווית במשולש

הנכונה: $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$ . $BD=DC$ נכון רק כש- $AB=AC$ . ו- $\frac{BD}{BC}$ משווה חלק לשלם, לא חלק לחלק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

המיתרים $AB$ ו- $CD$ נחתכים ב- $P$ , $PA=2$ ו- $PD=4$ . תלמיד חישב את יחס השטחים של $\triangle APC$ ו- $\triangle DPB$ . שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

\triangle APC \sim \triangle DPB

\begin{aligned}k &= \frac{PA}{PD} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

\frac{S_{APC}}{S_{DPB}}=\frac{1}{2}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\frac{S_{APC}}{S_{DPB}}=\frac{1}{2}$ → $\frac{S_{APC}}{S_{DPB}}=\frac{1}{4}$

הפתרון:

k=\frac{1}{2}

יחס הדמיון נכון

\begin{aligned}\frac{S_{APC}}{S_{DPB}} &= k^2 \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון

השורה השלישית שגויה: יחס השטחים הוא $k^2$ , לא $k$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מהנקודה $P$ יוצאים שני משיקים למעגל שמרכזו $O$ ורדיוסו $R$ , ונוגעים בו ב- $A$ וב- $B$ . נתון $\angle APB=60^\circ$ . האורך $OP$ שווה ל- $k \cdot R$ . מצאו את $k$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\begin{aligned}\angle APO &= \tfrac{1}{2} \cdot 60^\circ \\ &= 30^\circ\end{aligned}

הקטע מנקודה למרכז חוצה את הזווית שבין שני המשיקים

\angle OAP=90^\circ

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

\begin{aligned}OA &= \tfrac{1}{2}OP \Rightarrow OP \\ &= 2R\end{aligned}

הניצב שמול זווית של $30^\circ$ שווה לחצי היתר

$k=2$ . היתר במשולש $OAP$ הוא $OP$ , והניצב שמול $30^\circ$ הוא הרדיוס $OA$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

חמישה כלים לסעיף החישוב

שטחים «באמצעות SSS»: מהדמיון לכל המרובע

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

שטחים «באמצעות $S$ »: מהדמיון לכל המרובע