פותרים יחד · גאומטריה במעגל · כיתה י״א

ארבע שאלות בנוסח שאלה 4 של הבגרות, אחת לכל תבנית שחוזרת: משיק וחותך, גבהים ומרובע בר-חסימה, אמצע קשת וחוצה זווית, ושני מעגלים נחתכים. כל שאלה נפתרת יחד, סעיף אחרי סעיף. שאלה תאומה מחכה למטה, לפתור לבד.

בשאלה 4 כל סעיף משתמש בסעיף שלפניו. לפני שאתם מתחילים סעיף, שאלו: מה הוכחתי עד עכשיו, ואיך זה עוזר כאן?

1 — משיק וחותך: דמיון, אורך ויחס שטחים

פעילות אינטראקטיבית

מהנקודה $P$ יוצאים משיק $PT$ למעגל וחותך שפוגש את המעגל ב- $A$ וב- $B$ ( $A$ בין $P$ ל- $B$ ). א. הוכיחו: $\triangle PTA \sim \triangle PBT$ . ב. נתון $PA=3$ ו- $AB=9$ . חשבו את $PT$ . ג. מצאו את יחס השטחים $S_{PTA}:S_{PBT}$ .

\begin{aligned}\triangle PTA \sim \triangle PBT \\ \quad PA &= 3 \\ \ AB &= 9\end{aligned}

לחצו «להתחיל». סעיף א נותן את הכלי לסעיפים ב ו-ג.

א. זווית

\angle TPA=\angle BPT

זווית משותפת.

א. זווית

\angle PTA=\angle PBT

הזווית בין המשיק $TP$ למיתר $TA$ שווה להיקפית הנשענת על $TA$ מצדו השני.

א. מסקנה

\triangle PTA \sim \triangle PBT

ז.ז. ההתאמה: $T \leftrightarrow B$ , $A \leftrightarrow T$ .

ב. יחס

\begin{aligned}\frac{PT}{PB} &= \frac{PA}{PT} \Rightarrow PT^2 \\ &= PA \cdot PB\end{aligned}

צלעות מתאימות, כפל בהצלבה.

ב. חישוב

\begin{aligned}PT^2 &= 3 \cdot 12 \\ &= 36 \Rightarrow PT \\ &= 6\end{aligned}

$PB=3+9=12$ .

ג. יחס הדמיון

\begin{aligned}k &= \frac{PT}{PB} \\ &= \frac{6}{12} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

צלע של הקטן חלקי הצלע המתאימה בגדול.

ג. שטחים

\begin{aligned}S_{PTA}:S_{PBT} &= k^2 \\ &= 1:4\end{aligned}

יחס השטחים של משולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון.

בסעיף ב אפשר לצטט ישר את $PT^2=PA \cdot PB$ , אבל אחרי סעיף א זה כבר שורה אחת מהדמיון.

לעשות את הפעילות ב-elev

בסעיף ג, מהו היחס $TA:TB$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$1:2$ . $TA$ ו- $TB$ צלעות מתאימות ( $T \leftrightarrow B$ , $A \leftrightarrow T$ ), ולכן יחסן הוא יחס הדמיון $k=\frac{1}{2}$ , בלי ריבוע.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — גבהים: להוכיח שמרובע בר-חסימה ולהשתמש בזה

פעילות אינטראקטיבית

שני גבהים ומרובע חדש

במשולש $ABC$ הקטעים $AD$ ו- $BE$ הם גבהים, והם נפגשים ב- $H$ . א. הוכיחו שאפשר לחסום את המרובע $CDHE$ במעגל. ב. הוכיחו: $\angle HDE=\angle HCE$ . ג. נתון $\angle ACB=64^\circ$ . חשבו את $\angle DHE$ .

$116^\circ$

$64^\circ$

$26^\circ$

$90^\circ$

סעיף א: באילו זוויות של $CDHE$ כדאי להשתמש?

$\angle HDC$ ו- $\angle HEC$

להציג את התשובה והפתרון

שתיהן $90^\circ$ (גבהים), והן נגדיות במרובע $CDHE$ .

$\angle HDC$ ו- $\angle DCE$

להציג את התשובה והפתרון

אלה זוויות סמוכות. סכום של סמוכות לא מוכיח חסימה.

\begin{aligned}\angle HDC+\angle HEC &= 90^\circ+90^\circ \\ &= 180^\circ\end{aligned}

זוויות נגדיות משלימות, ולכן אפשר לחסום את $CDHE$ .

סעיף ב: $\angle HDE$ ו- $\angle HCE$ — על איזו קשת הן נשענות במעגל החדש?

על הקשת $HE$

להציג את התשובה והפתרון

הקודקודים $D$ ו- $C$ נמצאים באותו צד של המיתר $HE$ .

על הקשת $DC$

להציג את התשובה והפתרון

הזוויות האלה נשענות על $HE$ : זרועותיהן עוברות דרך $H$ ודרך $E$ .

\angle HDE=\angle HCE

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת, במעגל שהוכחנו בסעיף א.

סעיף ג: איך מגיעים ל- $\angle DHE$ ?

$\angle DHE=180^\circ-\angle DCE$

להציג את התשובה והפתרון

$H$ ו- $C$ נגדיות במרובע החסום $CDHE$ .

$\angle DHE=\angle DCE$

להציג את התשובה והפתרון

הן נגדיות, ולכן משלימות, לא שוות.

\begin{aligned}\angle DHE &= 180^\circ-64^\circ \\ &= 116^\circ\end{aligned}

במרובע חסום סכום זוויות נגדיות $180^\circ$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $116^\circ$ . $64^\circ$ מתקבל ממי שהשווה זוויות נגדיות. $26^\circ=90^\circ-64^\circ$ היא זווית אחרת בשרטוט, $\angle HAC$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

במעגל של המרובע $CDHE$ , איזה קטע הוא קוטר?

להציג את התשובה והפתרון

$CH$ . הזוויות הישרות $\angle CDH$ ו- $\angle CEH$ נשענות עליו, וזווית היקפית ישרה נשענת על קוטר.

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — אמצע קשת: משיק מקביל, דמיון וחוצה זווית

פעילות אינטראקטיבית

המשולש $ABC$ חסום במעגל. $D$ היא אמצע הקשת $BC$ שאינה מכילה את $A$ , ו- $GH$ משיק למעגל ב- $D$ . $AD$ חותך את $BC$ ב- $E$ . א. הוכיחו: $GH \parallel BC$ . ב. הוכיחו: $\triangle ABE \sim \triangle ADC$ . ג. נתון $AB=8$ , $AC=6$ , $BC=7$ . חשבו את $BE$ .

\begin{aligned}\overset{\frown}{BD} &= \overset{\frown}{DC} \\ \quad AB &= 8 \\ \ AC &= 6 \\ \ BC &= 7\end{aligned}

לחצו «להתחיל». כל הסעיפים יוצאים מאותה עובדה: הקשתות $BD$ ו- $DC$ שוות.

א.

\angle HDC=\angle DBC

זווית בין המשיק $DH$ למיתר $DC$ שווה להיקפית מהצד השני.

א.

\angle DBC=\angle DCB

היקפיות הנשענות על הקשתות השוות $DC$ ו- $BD$ .

א. מסקנה

\angle HDC=\angle DCB \Rightarrow GH \parallel BC

כלל המעבר, וזוויות מתחלפות שוות.

ב.

\angle BAE=\angle DAC

היקפיות על הקשתות השוות $BD$ ו- $DC$ .

ב.

\angle ABE=\angle ADC

היקפיות הנשענות על אותה קשת $AC$ .

ב. מסקנה

\triangle ABE \sim \triangle ADC

ז.ז.

ג.

\begin{aligned}\frac{BE}{EC} &= \frac{AB}{AC} \\ &= \frac{8}{6} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

לפי סעיף ב $AD$ חוצה את $\angle A$ . משפט חוצה הזווית.

ג. חישוב

\begin{aligned}BE &= \frac{4}{7} \cdot 7 \\ &= 4\end{aligned}

$BC$ מתחלק ל- $4+3=7$ חלקים.

סעיף ב נראה כמו תרגיל נפרד, אבל השורה הראשונה שלו היא בדיוק « $AD$ חוצה זווית», שמשמשת בסעיף ג.

לעשות את הפעילות ב-elev

בסעיף ג: מהו $EC$ , ומהי המכפלה $AE \cdot ED$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$EC=7-4=3$ . המיתרים $AD$ ו- $BC$ נחתכים ב- $E$ , ולכן $AE \cdot ED=BE \cdot EC=4 \cdot 3=12$ .

השאלות התאומות: שאלות 3 ו-4 ברשימה למטה.

4 — שני מעגלים נחתכים: מקבילות דרך שני מרובעים

פעילות אינטראקטיבית

שני מעגלים ושני מרובעים חסומים

שני מעגלים נחתכים בנקודות $A$ ו- $B$ . ישר דרך $A$ חותך את המעגל הראשון ב- $C$ ואת השני ב- $D$ . ישר דרך $B$ חותך את המעגל הראשון ב- $E$ ואת השני ב- $F$ . הוכיחו: $CE \parallel DF$ .

באיזה מרובע חסום במעגל הראשון נשתמש?

$ABEC$

להציג את התשובה והפתרון

ארבעת הקודקודים $A$ , $B$ , $E$ , $C$ על המעגל הראשון, בסדר הזה.

$ACDB$

להציג את התשובה והפתרון

$D$ אינה על המעגל הראשון.

\angle CAB+\angle BEC=180^\circ

זוויות נגדיות במרובע חסום.

איך מעבירים את $\angle CAB$ למעגל השני?

$\angle CAB+\angle BAD=180^\circ$

להציג את התשובה והפתרון

$C$ , $A$ , $D$ על ישר אחד: זוויות צמודות.

$\angle CAB=\angle BAD$

להציג את התשובה והפתרון

הזוויות צמודות, ולכן משלימות, לא שוות.

\begin{aligned}\angle BAD+\angle BFD &= 180^\circ \Rightarrow \angle BFD \\ &= \angle CAB\end{aligned}

במרובע החסום $ADFB$ ( $A$ ו- $F$ נגדיות), ושתי זוויות שמשלימות את אותה זווית שוות.

מה מקבלים על $\angle BEC$ ו- $\angle BFD$ ?

סכומן $180^\circ$ , והן חד-צדדיות

להציג את התשובה והפתרון

שתיהן על הישר $EF$ , באותו צד שלו, בין $CE$ ל- $DF$ .

הן שוות, והן מתאימות

להציג את התשובה והפתרון

סכומן $180^\circ$ . ומזה מסיקים מקבילות דרך זוויות חד-צדדיות.

\angle BEC+\angle BFD=180^\circ \Rightarrow CE \parallel DF

זוויות חד-צדדיות שסכומן $180^\circ$ .

להציג את התשובה והפתרון

ההוכחה עוברת דרך $\angle CAB$ : היא משותפת למרובע של המעגל הראשון, ובעזרת הזווית הצמודה לה היא מגיעה למרובע של המעגל השני. בלי הקשר הזה שני המעגלים לא «מדברים».

לעשות את הפעילות ב-elev

איזה סוג מרובע הוא $CEFD$ ?

להציג את התשובה והפתרון

טרפז: $CE \parallel DF$ , ו- $CD$ ו- $EF$ אינם מקבילים (הם נחתכים בדרך כלל). זה סעיף המשך שכיח בבגרות.

השאלה התאומה: שאלה 5 ברשימה למטה.

תרגילים

תרגיל 1

מהנקודה $P$ יוצאים משיק $PT$ וחותך שפוגש את המעגל ב- $A$ וב- $B$ ( $A$ בין $P$ ל- $B$ ). נתון $PA=5$ , $AB=15$ , ושטח המשולש $PBT$ הוא $48$ סמ״ר. השלימו.

$PT=$ ____ , $S_{PTA}=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $PT=$ 10 , $S_{PTA}=$ 12

הפתרון:

\triangle PTA \sim \triangle PBT

ז.ז: זווית משותפת, ומשיק ומיתר

\begin{aligned}PT^2 &= PA \cdot PB \\ &= 5 \cdot 20 \\ &= 100 \Rightarrow PT \\ &= 10\end{aligned}

יחס וכפל בהצלבה

\begin{aligned}k &= \frac{PT}{PB} \\ &= \frac{10}{20} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

יחס הדמיון

\begin{aligned}S_{PTA} &= 48 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 12\end{aligned}

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון

$PT=10$ ו- $S_{PTA}=12$ . שתי מלכודות: $PT^2=PA \cdot AB$ , וכפל ב- $k$ במקום ב- $k^2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במשולש $ABC$ הקטעים $AD$ ו- $BE$ הם גבהים, והם נפגשים ב- $H$ . נתון $\angle ACB=58^\circ$ . חשבו את $\angle AHB$ (במעלות).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 122

הפתרון:

\angle HDC+\angle HEC=180^\circ

שתי זוויות ישרות נגדיות: $CDHE$ חסום

\begin{aligned}\angle DHE &= 180^\circ-58^\circ \\ &= 122^\circ\end{aligned}

במרובע חסום במעגל סכום כל זוג זוויות נגדיות הוא $180^\circ$

\begin{aligned}\angle AHB &= \angle DHE \\ &= 122^\circ\end{aligned}

זוויות קודקודיות שוות

הזווית היא $122^\circ$ . $\angle AHB$ אינה במרובע, אבל היא קודקודית ל- $\angle DHE$ , שכן במרובע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

המשולש $ABC$ חסום במעגל. $D$ אמצע הקשת $BC$ שאינה מכילה את $A$ , ו- $AD$ חותך את $BC$ ב- $E$ . נתון $AB=10$ , $AC=6$ ו- $BC=12$ . חשבו את $BE$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.5

הפתרון:

\angle BAE=\angle EAC

היקפיות על הקשתות השוות $BD$ ו- $DC$ : $AE$ חוצה זווית

\begin{aligned}\frac{BE}{EC} &= \frac{10}{6} \\ &= \frac{5}{3}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית במשולש

\begin{aligned}BE &= \frac{5}{8} \cdot 12 \\ &= 7.5\end{aligned}

$BE=7.5$ . בלי השורה הראשונה אין רשות להשתמש במשפט חוצה הזווית: קודם מראים ש- $AE$ חוצה את $\angle A$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

המשולש $ABC$ חסום במעגל. $D$ אמצע הקשת $BC$ שאינה מכילה את $A$ , ו- $AD$ חותך את $BC$ ב- $E$ . הוכיחו: $\triangle ABE \sim \triangle ADC$ .

$D$ אמצע הקשת $BC$

$\triangle ABE \sim \triangle ADC$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle BAE=\angle DAC$ — זוויות היקפיות הנשענות על קשתות שוות שוות
$\angle ABE=\angle ADC$ — זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות $AC$
$\triangle ABE \sim \triangle ADC$ — משפט דמיון ז.ז

הפתרון:

\angle BAE=\angle DAC

קשתות שוות

\angle ABC=\angle ADC

היקפיות על הקשת $AC$

\triangle ABE \sim \triangle ADC

ז.ז

המלכודת: לחפש זוויות קודקודיות ב- $E$ . $\angle AEB$ ו- $\angle DEC$ אכן שוות, אבל הן שייכות למשולשים אחרים ( $ABE$ ו- $DCE$ ). המשולש $ADC$ לא עובר דרך $E$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

שני מעגלים נחתכים ב- $A$ וב- $B$ . ישר דרך $A$ חותך אותם ב- $C$ וב- $D$ , וישר דרך $B$ חותך אותם ב- $E$ וב- $F$ ( $C$ , $E$ על המעגל הראשון). סדרו את שורות ההוכחה ש- $CE \parallel DF$ .

$\angle BAD+\angle BFD=180^\circ$ — המרובע $ADFB$ חסום
$\angle BEC+\angle BFD=180^\circ$ — הצבה
$\angle BFD=\angle CAB$ — משלימות לאותה זווית
$\angle CAB+\angle BAD=180^\circ$ — זוויות צמודות
$\angle CAB+\angle BEC=180^\circ$ — המרובע $ABEC$ חסום
$CE \parallel DF$ — זוויות חד-צדדיות משלימות

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\angle CAB+\angle BEC=180^\circ$ — המרובע $ABEC$ חסום · $\angle CAB+\angle BAD=180^\circ$ — זוויות צמודות · $\angle BAD+\angle BFD=180^\circ$ — המרובע $ADFB$ חסום · $\angle BFD=\angle CAB$ — משלימות לאותה זווית · $\angle BEC+\angle BFD=180^\circ$ — הצבה · $CE \parallel DF$ — זוויות חד-צדדיות משלימות

הפתרון:

\angle CAB+\angle BEC=180^\circ

המעגל הראשון

\angle BFD=\angle CAB

דרך הזווית הצמודה $\angle BAD$ והמעגל השני

\angle BEC+\angle BFD=180^\circ \Rightarrow CE \parallel DF

חד-צדדיות

הסדר הוא מעגל ראשון, קשר דרך $A$ , מעגל שני, ורק בסוף המקבילות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — משיק וחותך: דמיון, אורך ויחס שטחים

2 — גבהים: להוכיח שמרובע בר-חסימה ולהשתמש בזה

3 — אמצע קשת: משיק מקביל, דמיון וחוצה זווית

4 — שני מעגלים נחתכים: מקבילות דרך שני מרובעים

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev