זוויות במעגל בשירות ההוכחה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בשאלה 4 של הבגרות כמעט כל סעיף «הוכיחו» מתחיל בזוג זוויות שוות. במעגל, זוויות שוות מגיעות ממקום אחד: קשת משותפת. הסתכלו על השרטוט לפני כל כלל.

שלוש זוויות, קשת אחת
αααABCDEF
הישר EFEF משיק למעגל ב-BB. שלוש הזוויות שמסומנות ב-α\alpha נשענות כולן על אותה קשת BCBC: שתי זוויות היקפיות, והזווית שבין המשיק BEBE למיתר BCBC.

בשרטוט: למה ∠BAC=∠BDC\angle BAC=\angle BDC? כתבו את הנימוק כמו בבחינה.

להציג את התשובה והפתרון

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות. שתיהן נשענות על הקשת BCBC, והקודקודים AA ו-DD נמצאים באותו צד של המיתר BCBC.

ארבעה קשרים שכל הוכחה במעגל נשענת עליהם

∠BAC=∠BDC\angle BAC=\angle BDC

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות

∠BOC=2∠BAC\angle BOC=2\angle BAC

הזווית המרכזית כפולה מההיקפית הנשענת על אותה קשת

∠EBC=∠BAC\angle EBC=\angle BAC

הזווית בין משיק למיתר שווה להיקפית הנשענת על המיתר מצדו השני

BD⌢=DC⌢⇔BD=DC\begin{aligned}\overset{\frown}{BD} &= \overset{\frown}{DC} \Leftrightarrow BD \\ &= DC\end{aligned}

קשתות שוות, מיתרים שווים וזוויות היקפיות שוות — שלושה פנים של אותו דבר

∠BOC=130∘\angle BOC=130^\circ ו-AA נמצאת על הקשת הגדולה BCBC. מהי ∠BAC\angle BAC? ומה הייתה התשובה אילו AA הייתה על הקשת הקטנה?

להציג את התשובה והפתרון

65∘65^\circ, חצי מהמרכזית. על הקשת הקטנה AA «רואה» את הקשת הגדולה, שהמרכזית שלה 360∘−130∘=230∘360^\circ-130^\circ=230^\circ, ולכן הזווית 115∘115^\circ. שימו לב: 65∘+115∘=180∘65^\circ+115^\circ=180^\circ.

להוכיח שישר חוצה זווית

כדי להוכיח ש-AKAK חוצה את ∠BAC\angle BAC מראים ש-∠BAK=∠KAC\angle BAK=\angle KAC. במעגל זה קורה בדיוק כש-KK היא אמצע הקשת BCBC: שתי הזוויות נשענות על קשתות שוות. וגם להפך: אם AKAK חוצה את ∠A\angle A, אז KK היא אמצע הקשת, ו-KB=KCKB=KC.

אמצע קשת: חוצה זווית ומשיק מקביל

המשולש ABCABC חסום במעגל. DD היא אמצע הקשת BCBC שאינה מכילה את AA, והישר GHGH משיק למעגל ב-DD. הוכיחו: (1) ADAD חוצה את ∠BAC\angle BAC. (2) GH∥BCGH \parallel BC.

BD⌢=DC⌢\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{DC}

נתון: DD אמצע הקשת

∠BAD=∠DAC\angle BAD=\angle DAC

זוויות היקפיות הנשענות על קשתות שוות שוות. לכן ADAD חוצה את ∠BAC\angle BAC (הגדרת חוצה זווית)

∠HDC=∠DBC\angle HDC=\angle DBC

הזווית בין המשיק DHDH למיתר DCDC שווה להיקפית הנשענת על DCDC מצדו השני

∠DBC=∠DCB\angle DBC=\angle DCB

זוויות היקפיות הנשענות על הקשתות השוות DCDC ו-BDBD

∠HDC=∠DCB\angle HDC=\angle DCB

כלל המעבר

GH∥BCGH \parallel BC

זוויות מתחלפות שוות (המיתר DCDC חותך את שני הישרים), ולכן הישרים מקבילים

ABCDEGH

בדוגמה, למה ∠HDC\angle HDC ו-∠DCB\angle DCB הן זוויות מתחלפות?

להציג את התשובה והפתרון

הישר DCDC חותך את GHGH ב-DD ואת BCBC ב-CC. הזוויות נמצאות משני צדי הישר DCDC ובין שני הישרים. זו ההגדרה של זוויות מתחלפות.

להוכיח מקבילות

α1=α2\alpha_1=\alpha_2

זוויות מתחלפות או מתאימות שוות — הדרך השכיחה בבגרות

α+β=180∘\alpha+\beta=180^\circ

זוויות חד-צדדיות שסכומן 180∘180^\circ

a⊥c, b⊥ca \perp c ,\ b \perp c

שני ישרים מאונכים לישר שלישי

MN∥BCMN \parallel BC

קטע אמצעים: קטע שמחבר אמצעי שתי צלעות במשולש מקביל לצלע השלישית

בטבלת טענה/נימוק כל שורה נשענת על משפט אחד, ואת המשפט כותבים בשמו. «לפי המעגל» אינו נימוק. «זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות» הוא נימוק.

שלוש טעויות שעולות נקודות.

∠BAC=∠BOC\angle BAC=\angle BOC
∠BAC=12∠BOC\angle BAC=\tfrac{1}{2}\angle BOC

ההיקפית היא חצי מהמרכזית, לא שווה לה.

∠ACB=∠ADB\angle ACB=\angle ADB
∠ACB+∠ADB=180∘\angle ACB+\angle ADB=180^\circ

כאשר CC ו-DD נמצאות משני צדי המיתר ABAB: היקפיות על אותו מיתר משני צדיו אינן שוות, הן משלימות ל-180∘180^\circ. בודקים תמיד באיזה צד של המיתר נמצא הקודקוד.

∠FAB=∠AOB\angle FAB=\angle AOB
∠FAB=12∠AOB\angle FAB=\tfrac{1}{2}\angle AOB

הזווית בין משיק למיתר שווה להיקפית, ולכן גם היא חצי מהמרכזית.

תרגילים

תרגיל 1

130°?OABC

הנקודות AA, BB ו-CC נמצאות על מעגל שמרכזו OO. הזווית המרכזית היא ∠BOC=130∘\angle BOC=130^\circ, ו-AA נמצאת על הקשת הגדולה BCBC. חשבו את ∠BAC\angle BAC (במעלות).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 65

הפתרון:

∠BAC=12∠BOC\angle BAC=\tfrac{1}{2}\angle BOC

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת

∠BAC=12⋅130∘=65∘\begin{aligned}\angle BAC &= \tfrac{1}{2}\cdot 130^\circ \\ &= 65^\circ\end{aligned}

הזווית היא 65∘65^\circ. מי שענה 130∘130^\circ השווה בין היקפית למרכזית. מי שענה 115∘115^\circ שם את AA על הקשת הקטנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ααABCD

בשרטוט AA ו-DD נמצאות על המעגל, באותו צד של המיתר BCBC. איזה משפט מצדיק את הטענה ∠BAC=∠BDC\angle BAC=\angle BDC?

  1. זוויות קודקודיות שוות
  2. זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות
  3. זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית
  4. במרובע חסום במעגל סכום זוויות נגדיות הוא 180∘180^\circ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות

הפתרון:

∠BAC=∠BDC\angle BAC=\angle BDC

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות. שתיהן נשענות על הקשת BCBC

הנכונה: זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת. אין כאן זווית מרכזית ואין זוויות קודקודיות. המרובע ABCDABCD אכן חסום, אבל המשפט שלו מדבר על זוויות נגדיות, ו-∠BAC\angle BAC אינה זווית של המרובע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ABCDE

המשולש ABCABC חסום במעגל. DD היא אמצע הקשת BCBC שאינה מכילה את AA. הוכיחו: ADAD חוצה את ∠BAC\angle BAC.

  • DD אמצע הקשת BCBC

ADAD חוצה את ∠BAC\angle BAC

להציג את התשובה והפתרון
  1. הקשת BDBD שווה לקשת DCDC — נתון: DD אמצע הקשת BCBC
  2. ∠BAD=∠DAC\angle BAD=\angle DAC — זוויות היקפיות הנשענות על קשתות שוות שוות
  3. ADAD חוצה את ∠BAC\angle BAC — הגדרת חוצה זווית

הפתרון:

∠BAD=∠DAC\angle BAD=\angle DAC

שתיהן היקפיות, ונשענות על הקשתות השוות BDBD ו-DCDC

⇒\Rightarrow

הגדרת חוצה זווית

המלכודת: לנמק ב«BD=DCBD=DC». גם זה נכון, אבל הזוויות נובעות מהקשתות: קשתות שוות, ולכן זוויות היקפיות שוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

??58°ABCEFDO

הישר EFEF משיק למעגל שמרכזו OO בנקודה AA. ABAB מיתר, ו-∠FAB=58∘\angle FAB=58^\circ. CC נמצאת על הקשת הגדולה ABAB ו-DD על הקשת הקטנה. השלימו (במעלות).

∠AOB=\angle AOB= ____ , ∠ACB=\angle ACB= ____ , ∠ADB=\angle ADB= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ∠AOB=\angle AOB= 116 , ∠ACB=\angle ACB= 58 , ∠ADB=\angle ADB= 122

הפתרון:

∠ACB=∠FAB=58∘\begin{aligned}\angle ACB &= \angle FAB \\ &= 58^\circ\end{aligned}

הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצדו השני

∠AOB=2⋅58∘=116∘\begin{aligned}\angle AOB &= 2\cdot 58^\circ \\ &= 116^\circ\end{aligned}

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת

∠ADB=180∘−58∘=122∘\begin{aligned}\angle ADB &= 180^\circ-58^\circ \\ &= 122^\circ\end{aligned}

במרובע החסום ACBDACBD הזוויות CC ו-DD נגדיות

שלוש זוויות על אותו מיתר, שלוש תשובות שונות. DD נמצאת באותו צד של המיתר כמו המשיק AFAF, ולכן היא אינה שווה לזווית המשיק. היא משלימה אותה ל-180∘180^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

35°?OABC

ABAB קוטר במעגל שמרכזו OO, ו-CC נקודה על המעגל. נתון ∠CAB=35∘\angle CAB=35^\circ. חשבו את ∠ABC\angle ABC (במעלות).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 55

הפתרון:

∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

∠ABC=180∘−90∘−35∘=55∘\begin{aligned}\angle ABC &= 180^\circ-90^\circ-35^\circ \\ &= 55^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש ABCABC

הזווית היא 55∘55^\circ. בלי המשפט על הקוטר אין דרך להגיע לתשובה: הוא נותן את הזווית הישרה ב-CC.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ABCEF

הישר EFEF משיק למעגל בנקודה AA. המיתר BCBC מקביל ל-EFEF. הוכיחו: AB=ACAB=AC.

  • EFEF משיק למעגל ב-AA
  • EF∥BCEF \parallel BC

AB=ACAB=AC

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠EAB=∠ACB\angle EAB=\angle ACB — הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצדו השני
  2. ∠EAB=∠ABC\angle EAB=\angle ABC — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות EF∥BCEF \parallel BC
  3. ∠ABC=∠ACB\angle ABC=\angle ACB — כלל המעבר
  4. AB=ACAB=AC — במשולש, מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות

הפתרון:

∠EAB=∠ACB\angle EAB=\angle ACB

משיק ומיתר

∠EAB=∠ABC\angle EAB=\angle ABC

מתחלפות

∠ABC=∠ACB⇒AB=AC\begin{aligned}\angle ABC &= \angle ACB \Rightarrow AB \\ &= AC\end{aligned}

מול זוויות שוות צלעות שוות

שתי זוויות שוות לאותה זווית ∠EAB\angle EAB, ולכן שוות זו לזו. המלכודת: לכתוב «∠EAB=∠ABC\angle EAB=\angle ABC כי שתיהן היקפיות». ∠EAB\angle EAB אינה היקפית: אחת מזרועותיה היא משיק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ABCDEGH

המשולש ABCABC חסום במעגל, DD אמצע הקשת BCBC שאינה מכילה את AA, ו-GHGH משיק למעגל ב-DD. סדרו את שורות ההוכחה ש-GH∥BCGH \parallel BC.

  • ∠DBC=∠DCB\angle DBC=\angle DCB — היקפיות על קשתות שוות
  • ∠HDC=∠DBC\angle HDC=\angle DBC — זווית בין משיק למיתר
  • ∠HDC=∠DCB\angle HDC=\angle DCB — כלל המעבר
  • GH∥BCGH \parallel BC — זוויות מתחלפות שוות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ∠HDC=∠DBC\angle HDC=\angle DBC — זווית בין משיק למיתר · ∠DBC=∠DCB\angle DBC=\angle DCB — היקפיות על קשתות שוות · ∠HDC=∠DCB\angle HDC=\angle DCB — כלל המעבר · GH∥BCGH \parallel BC — זוויות מתחלפות שוות

הפתרון:

∠HDC=∠DBC\angle HDC=\angle DBC

המשיק DHDH והמיתר DCDC

∠DBC=∠DCB\angle DBC=\angle DCB

הקשתות DCDC ו-BDBD שוות

∠HDC=∠DCB⇒GH∥BC\angle HDC=\angle DCB \Rightarrow GH \parallel BC

מתחלפות

המסקנה על המקבילות באה אחרונה: קודם מגיעים לזוג זוויות מתחלפות שוות, ורק אז מסיקים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

??ABCD

הוכיחו או הפריכו: שתי זוויות היקפיות הנשענות על אותו מיתר תמיד שוות זו לזו.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

∠ACB+∠ADB=180∘\angle ACB+\angle ADB=180^\circ

כאשר CC ו-DD משני צדי המיתר ABAB, המרובע ACBDACBD חסום, והזוויות נגדיות

הטענה אינה נכונה. היקפיות על אותו מיתר שוות רק כשהן באותו צד שלו. משני צדיו הן משלימות ל-180∘180^\circ, ושוות רק כשהמיתר הוא קוטר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

α?ABCEF

EFEF משיק למעגל ב-AA, ו-ABAB מיתר. איזה משפט מצדיק את הטענה ∠FAB=∠ACB\angle FAB=\angle ACB, כאשר CC על הקשת הגדולה ABAB?

  1. זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות
  2. המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
  3. הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצדו השני
  4. זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצדו השני

הפתרון:

∠FAB=∠ACB\angle FAB=\angle ACB

הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצדו השני

הנכונה: משיק ומיתר. «זוויות היקפיות על אותה קשת» לא מתאים, כי ∠FAB\angle FAB אינה היקפית. ואין כאן ישרים מקבילים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ABCDE

המשולש ABCABC חסום במעגל. DD אמצע הקשת BCBC שאינה מכילה את AA, ו-ADAD חותך את BCBC ב-EE. נתון ∠BAC=70∘\angle BAC=70^\circ ו-∠ABC=65∘\angle ABC=65^\circ. חשבו את ∠AEB\angle AEB (במעלות).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 80

הפתרון:

∠BAE=12⋅70∘=35∘\begin{aligned}\angle BAE &= \tfrac{1}{2}\cdot 70^\circ \\ &= 35^\circ\end{aligned}

ADAD חוצה את ∠BAC\angle BAC, כי DD אמצע הקשת

∠AEB=180∘−65∘−35∘=80∘\begin{aligned}\angle AEB &= 180^\circ-65^\circ-35^\circ \\ &= 80^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש ABEABE

הזווית היא 80∘80^\circ. הצעד שחסר למי שנתקע: אמצע הקשת נותן חוצה זווית. בלי זה אין את ∠BAE\angle BAE.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת