עד ההצלחה הראשונה, וברנולי

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

רוני מנסה לפתוח את מנעול האופניים שלה עם צרור של ארבעה מפתחות דומים. בכל ניסיון היא בוחרת מפתח אקראי, כי היא לא זוכרת איזה כבר ניסתה. לכן בכל ניסיון ההסתברות להצליח היא 14\frac{1}{4}, בלי קשר לניסיונות הקודמים. היא מנסה עד שהמנעול נפתח. באיזה ניסיון זה יקרה?

(1−p)n−1⋅p(1-p)^{n-1} \cdot p

ההסתברות שההצלחה הראשונה תהיה בניסיון ה-nn: קודם n−1n-1 כישלונות ברצף, ואחריהם הצלחה.

מה ההסתברות שהמנעול ייפתח לראשונה בניסיון השלישי?

להציג את התשובה והפתרון

שני כישלונות ואז הצלחה: (34)2⋅14=964≈0.14\left(\frac{3}{4}\right)^2 \cdot \frac{1}{4}=\frac{9}{64} \approx 0.14. המעריך הוא 22, מספר הכישלונות, ולא 33.

«לכל היותר nn ניסיונות»

«לכל היותר nn ניסיונות» פירושו: ההצלחה הראשונה בניסיון 1, או 2, ..., או nn. אפשר לחבר את כל המסלולים, אבל דרך המשלים קצרה יותר. צריך יותר מ-nn ניסיונות רק כש-nn הניסיונות הראשונים כולם נכשלו.

1−(1−p)n1-(1-p)^{n}

ההסתברות להצליח לכל היותר ב-nn ניסיונות. זו גם ההסתברות ל«לפחות הצלחה אחת» ב-nn ניסיונות.

כמה ניסיונות צריך?

מה ההסתברות שרוני תפתח את המנעול תוך 3 ניסיונות לכל היותר? ומהו מספר הניסיונות הקטן ביותר nn שבשבילו ההסתברות לפתוח תוך nn ניסיונות לכל היותר גדולה מ-0.90.9?

1−(34)3=1−2764=3764≈0.58\begin{aligned}1-\left(\frac{3}{4}\right)^3 &= 1-\frac{27}{64} \\ &= \frac{37}{64} \approx 0.58\end{aligned}

המשלים: שלושה כישלונות

1−0.75n>0.9 ⇔ 0.75n<0.11-0.75^n>0.9 \ \Leftrightarrow \ 0.75^n<0.1

מעבירים אגפים

0.758≈0.10010.759≈0.0750.75^8 \approx 0.1001 \qquad 0.75^9 \approx 0.075

מנסים ערכים של nn במחשבון

n=9n=9

הערך הראשון שבו החזקה קטנה מ-0.10.1

נוסחת ברנולי

כשמספר הניסיונות קבוע מראש (nn), והשאלה היא כמה מהם יצליחו, משתמשים בנוסחת ברנולי. התנאים: הניסיונות בלתי תלויים, ובכל אחד מהם אותה הסתברות הצלחה pp.

Pn(k)=(nk)pk(1−p)n−kP_n(k)=\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

ההסתברות לבדיוק kk הצלחות ב-nn ניסיונות. (nk)\binom{n}{k} הוא מספר המסלולים. הנוסחה מופיעה בדף הנוסחאות.

Pn(k)P_n(k)

בדיוק kk הצלחות

Pn(k)+Pn(k+1)+⋯+Pn(n)P_n(k)+P_n(k+1)+\dots+P_n(n)

לפחות kk הצלחות

1−(1−p)n1-(1-p)^n

לפחות אחת: דרך המשלים «אף אחת»

שותלים 5 שתילים, וכל אחד נקלט בהסתברות 0.80.8, בלי תלות באחרים. מה ההסתברות שבדיוק 4 ייקלטו? ומה ההסתברות שלפחות 4 ייקלטו?

להציג את התשובה והפתרון

בדיוק 4: (54)⋅0.84⋅0.2=5⋅0.4096⋅0.2=0.4096\binom{5}{4} \cdot 0.8^4 \cdot 0.2=5 \cdot 0.4096 \cdot 0.2=0.4096. לפחות 4: מוסיפים את 0.85=0.327680.8^5=0.32768, ומקבלים 0.737280.73728.

ברנולי ותנאי

שאלה נפוצה בבגרות: «ידוע ש...» על סדרה של ניסיונות. זו הסתברות מותנית, וגם המונה וגם המכנה מחושבים בנוסחת ברנולי.

ידוע שקלעה לפחות 3

שחקנית קולעת בהסתברות 0.60.6, והיא זורקת 4 זריקות בלתי תלויות. ידוע שקלעה לפחות 3 פעמים. מה ההסתברות שקלעה בכל הארבע?

P4(4)=0.64=0.1296\begin{aligned}P_4(4) &= 0.6^4 \\ &= 0.1296\end{aligned}

המונה: «כל הארבע» הוא חלק מ«לפחות 3»

P4(3)=4⋅0.63⋅0.4=0.3456\begin{aligned}P_4(3) &= 4 \cdot 0.6^3 \cdot 0.4 \\ &= 0.3456\end{aligned}

בדיוק 3

P4(3)+P4(4)=0.4752P_4(3)+P_4(4)=0.4752

המכנה: התנאי

0.12960.4752=311≈0.27\frac{0.1296}{0.4752}=\frac{3}{11} \approx 0.27

הסתברות מותנית

זהו קודם את סוג השאלה. מספר ניסיונות קבוע, ושואלים כמה הצלחות: ברנולי. מנסים עד שמצליחים, ושואלים מתי: כישלונות ברצף ואז הצלחה.

שלוש טעויות בחזרות.

(1−p)n⋅p(1-p)^{n} \cdot p
(1−p)n−1⋅p(1-p)^{n-1} \cdot p

לפני הצלחה בניסיון ה-nn יש n−1n-1 כישלונות, לא nn.

P(≥4)=P5(4)=0.4096\begin{aligned}P(\geq 4) &= P_5(4) \\ &= 0.4096\end{aligned}
P(≥4)=P5(4)+P5(5)=0.73728\begin{aligned}P(\geq 4) &= P_5(4)+P_5(5) \\ &= 0.73728\end{aligned}

«לפחות 4» כולל גם את 5.

P(4∣≥3)=P4(4)P(4 \mid \geq 3)=P_4(4)
P(4∣≥3)=P4(4)P4(3)+P4(4)P(4 \mid \geq 3)=\frac{P_4(4)}{P_4(3)+P_4(4)}

התנאי מקטין את העולם, ולכן מחלקים בהסתברות שלו.

תרגילים

תרגיל 1

בכל ניסיון לעבור את מבחן הנהיגה המעשי, ההסתברות לעבור היא 0.40.4, בלי תלות בניסיונות הקודמים. מה ההסתברות לעבור לראשונה בניסיון השלישי? (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.144

הפתרון:

0.62⋅0.40.6^2 \cdot 0.4

שני כישלונות ואז הצלחה

=0.36⋅0.4=0.144=0.36 \cdot 0.4=0.144

מי שכתב 0.63⋅0.40.6^3 \cdot 0.4 ספר שלושה כישלונות לפני הניסיון השלישי. יש רק שניים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באותם נתונים: מה ההסתברות לעבור את המבחן תוך שלושה ניסיונות לכל היותר? (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.784

הפתרון:

1−0.631-0.6^3

המשלים: שלושה כישלונות

=1−0.216=0.784=1-0.216=0.784

בדיקה בדרך הארוכה: 0.4+0.6⋅0.4+0.62⋅0.4=0.4+0.24+0.144=0.7840.4+0.6 \cdot 0.4+0.6^2 \cdot 0.4=0.4+0.24+0.144=0.784 ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בכל ניסיון ההסתברות להצליח היא pp, והניסיונות בלתי תלויים. מנסים עד ההצלחה הראשונה. מה ההסתברות שההצלחה הראשונה תהיה בניסיון החמישי?

  1. (51)p(1−p)4\binom{5}{1} p (1-p)^4
  2. p4(1−p)p^4 (1-p)
  3. (1−p)5p(1-p)^5 p
  4. (1−p)4p(1-p)^4 p
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד (1−p)4p(1-p)^4 p

הפתרון:

(1−p)4⋅p(1-p)^4 \cdot p

ארבעה כישלונות, ואז הצלחה

הנכונה: (1−p)4p(1-p)^4 p. המקדם (51)\binom{5}{1} סופר את כל המקומות של ההצלחה, אבל כאן היא חייבת להיות האחרונה. p4(1−p)p^4(1-p) מחליף בין הצלחה לכישלון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בכל ניסיון ההסתברות להצליח היא 0.50.5, והניסיונות בלתי תלויים. מהו מספר הניסיונות הקטן ביותר nn שבשבילו ההסתברות להצליח לפחות פעם אחת גדולה מ-0.950.95?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

1−0.5n>0.95 ⇔ 0.5n<0.051-0.5^n>0.95 \ \Leftrightarrow \ 0.5^n<0.05

המשלים

0.54=0.06250.55=0.03125\begin{aligned}0.5^4 &= 0.0625 \qquad 0.5^5 \\ &= 0.03125\end{aligned}

מנסים ערכים

n=5n=5

ב-n=4n=4 ההסתברות היא 0.93750.9375, עדיין לא מעל 0.950.95. בודקים את שני הערכים הסמוכים, ולא עוצרים בראשון שנראה «קרוב».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במבחן אמריקאי 6 שאלות, ולכל שאלה 4 תשובות, מהן אחת נכונה. תלמיד מנחש בכל שאלה. מה ההסתברות שיענה נכון על בדיוק 2 שאלות? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.3

הפתרון:

P6(2)=(62)(14)2(34)4P_6(2)=\binom{6}{2} \left(\frac{1}{4}\right)^2 \left(\frac{3}{4}\right)^4

ברנולי

=15⋅116⋅81256=12154096≈0.30=15 \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{81}{256}=\frac{1215}{4096} \approx 0.30

בלי (62)=15\binom{6}{2}=15 חישבתם רק מסלול אחד: שתי השאלות הראשונות נכונות והשאר לא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בכל יום עבודה הרכבת מאחרת בהסתברות 0.20.2, בלי תלות בימים אחרים. מה ההסתברות שבשבוע של 5 ימי עבודה הרכבת תאחר לפחות פעמיים? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.26

הפתרון:

P5(0)=0.85=0.32768\begin{aligned}P_5(0) &= 0.8^5 \\ &= 0.32768\end{aligned}

אף איחור

P5(1)=5⋅0.2⋅0.84=0.4096\begin{aligned}P_5(1) &= 5 \cdot 0.2 \cdot 0.8^4 \\ &= 0.4096\end{aligned}

איחור אחד

1−0.32768−0.4096=0.26272≈0.261-0.32768-0.4096=0.26272 \approx 0.26

המשלים של «לכל היותר פעם אחת»

המשלים של «לפחות 2» הוא «0 או 1», לא «בדיוק 1».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

שחקנית זורקת 4 זריקות בלתי תלויות, ובכל אחת קולעת בהסתברות pp. ידוע שקלעה בדיוק פעמיים. מה ההסתברות שהזריקה הראשונה הייתה קליעה? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

p⋅(31)p(1−p)2p \cdot \binom{3}{1} p (1-p)^2

הראשונה קליעה, ועוד קליעה אחת מבין שלוש האחרות

P(2)=(42)p2(1−p)2P(2)=\binom{4}{2} p^2 (1-p)^2

בדיוק שתיים

36=0.5\frac{3}{6}=0.5

p2(1−p)2p^2(1-p)^2 מצטמצם

התשובה אינה תלויה ב-pp: כל ששת הסדרים של שתי קליעות שווי הסתברות, ובשלושה מהם הראשונה קליעה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הוכיחו או הפריכו: מטילים מטבע הוגן 4 פעמים. ההסתברות לבדיוק 2 «עץ» היא 12\frac{1}{2}, כי בממוצע חצי מההטלות הן «עץ».

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

P4(2)=(42)⋅116=616=38\begin{aligned}P_4(2) &= \binom{4}{2} \cdot \frac{1}{16} \\ &= \frac{6}{16} \\ &= \frac{3}{8}\end{aligned}

ברנולי

38≠12\frac{3}{8} \neq \frac{1}{2}

הטענה לא נכונה. «בממוצע חצי» לא אומר «בדיוק חצי ברוב הפעמים». יותר ממחצית מהסדרות (1016\frac{10}{16}) אינן מאוזנות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במשחק זורקים קובייה הוגנת בכל תור, ומנצחים כשיוצא 6. (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

ניצחון לראשונה בתור השלישי: ____ , לפחות ניצחון אחד ב-4 תורות: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ניצחון לראשונה בתור השלישי: 0.12 , לפחות ניצחון אחד ב-4 תורות: 0.52

הפתרון:

(56)2⋅16=25216≈0.12\left(\frac{5}{6}\right)^2 \cdot \frac{1}{6}=\frac{25}{216} \approx 0.12

שני תורות בלי 6, ואז 6

1−(56)4=1−6251296=6711296≈0.52\begin{aligned}1-\left(\frac{5}{6}\right)^4 &= 1-\frac{625}{1296} \\ &= \frac{671}{1296} \approx 0.52\end{aligned}

המשלים: ארבעה תורות בלי 6

שתי שאלות שונות על אותו ניסוי: הראשונה שואלת מתי, השנייה שואלת כמה. מי שענה 4⋅164 \cdot \frac{1}{6} בשנייה חיבר הסתברויות של מאורעות לא זרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מיינו את השאלות לפי סוג החישוב.

  • מספר ניסיונות קבוע (ברנולי)
  • עד ההצלחה הראשונה
  • בודקים 20 מוצרים. מה ההסתברות שלפחות 2 פגומים?
  • זורקים 10 פעמים. מה ההסתברות לבדיוק 3 קליעות?
  • מטילים קובייה עד שיוצא 6. מה ההסתברות שיספיקו 3 הטלות לכל היותר?
  • מתקשרים שוב ושוב עד שעונים. מה ההסתברות שיענו בשיחה הרביעית?
  • ניגשים למבחן עד שעוברים. מה ההסתברות לעבור בניסיון השני?
  • שותלים 6 זרעים. מה ההסתברות שכולם ינבטו?
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: זורקים 10 פעמים. מה ההסתברות לבדיוק 3 קליעות? — מספר ניסיונות קבוע (ברנולי) · בודקים 20 מוצרים. מה ההסתברות שלפחות 2 פגומים? — מספר ניסיונות קבוע (ברנולי) · שותלים 6 זרעים. מה ההסתברות שכולם ינבטו? — מספר ניסיונות קבוע (ברנולי) · מתקשרים שוב ושוב עד שעונים. מה ההסתברות שיענו בשיחה הרביעית? — עד ההצלחה הראשונה · מטילים קובייה עד שיוצא 6. מה ההסתברות שיספיקו 3 הטלות לכל היותר? — עד ההצלחה הראשונה · ניגשים למבחן עד שעוברים. מה ההסתברות לעבור בניסיון השני? — עד ההצלחה הראשונה

הפתרון:

(nk)pk(1−p)n−k\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

כמה הצלחות מתוך nn

(1−p)n−1p(1-p)^{n-1} p

באיזה ניסיון ההצלחה הראשונה

השאלה «כמה?» עם nn נתון היא ברנולי. השאלה «מתי?» היא עד ההצלחה הראשונה, ובה אין nn קבוע מראש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת