הסתברות עם פרמטר · טבלאות ועצים · כיתה י״א

בבגרות, רוב שאלות ההסתברות לא נותנות את כל המספרים. על אחד הענפים כתוב $p$ , ובמקום אחר בשאלה מופיע נתון: הסתברות כוללת, הסתברות מותנית, או «פי 2». את הנתון הופכים למשוואה ב- $p$ .

פעילות אינטראקטיבית

בחוג רובוטיקה, $p$ מהחניכים הם מתחילים והשאר מתקדמים. מתחיל מסיים את הפרויקט בזמן בהסתברות $0.5$ , ומתקדם בהסתברות $0.9$ . ידוע ש-78% מהחניכים מסיימים בזמן. א. מצאו את $p$ . ב. חניך אקראי סיים בזמן. מה ההסתברות שהוא מתחיל?

0.5p+0.9(1-p)=0.78

לחצו «להתחיל». קודם העץ, ורק אחר כך המשוואה.

העץ

\begin{aligned}P(E) &= p \\ \quad P(\bar{E}) &= 1-p\end{aligned}

$E$ : מתחיל. אלה שני הענפים של הקומה הראשונה.

הסתברות שלמה

\begin{aligned}P(F) &= 0.5p+0.9(1-p) \\ &= 0.9-0.4p\end{aligned}

$F$ : סיים בזמן. שני מסלולים מגיעים אליו.

א. משוואה

\begin{aligned}0.9-0.4p &= 0.78 \ \Rightarrow \ p \\ &= 0.3\end{aligned}

הנתון «78%» הוא $P(F)$ .

א. בדיקה

0 \leq 0.3 \leq 1

$p$ היא הסתברות, ולכן חייבת להיות בין $0$ ל- $1$ .

ב.

\begin{aligned}P(E \mid F) &= \frac{0.5 \cdot 0.3}{0.78} \\ &= \frac{0.15}{0.78} \approx 0.19\end{aligned}

המסלול של המתחילים חלקי כל מי שסיים בזמן.

שימו לב לסדר: ביטוי ב- $p$ , משוואה, בדיקה שהפתרון הוא הסתברות, ורק אז שאלת ההמשך.

לעשות את הפעילות ב-elev

באותו חוג: חניך אקראי לא סיים בזמן. מה ההסתברות שהוא מתקדם?

להציג את התשובה והפתרון

$P(\bar{E} \cap \bar{F})=0.7 \cdot 0.1=0.07$ ו- $P(\bar{F})=1-0.78=0.22$ . לכן $\frac{0.07}{0.22}=\frac{7}{22} \approx 0.32$ . המכנה הוא כל מי שלא סיים, לא $0.7$ .

משוואה ריבועית ב- $p$

כשאותו ענף מופיע פעמיים באותו מסלול, מקבלים משוואה ריבועית. למשל, בשתי הטלות של מטבע לא הוגן, ההסתברות ל«אותה תוצאה בשתיהן» היא $p^2+(1-p)^2$ . למשוואה ריבועית יש לפעמים שני פתרונות, וכל פתרון צריך להיות בין $0$ ל- $1$ . אם השאלה נותנת תנאי נוסף, כמו $p>0.5$ , בוחרים לפיו.

מטבע לא הוגן

במטבע לא הוגן ההסתברות ל«עץ» היא $p$ , ו- $p>0.5$ . ההסתברות לקבל אותה תוצאה בשתי הטלות היא $0.58$ . מצאו את $p$ .

p^2+(1-p)^2=0.58

שני מסלולים: «עץ-עץ» או «פלי-פלי»

\begin{aligned}2p^2-2p+0.42 &= 0 \ \Rightarrow \ p^2-p+0.21 \\ &= 0\end{aligned}

פותחים סוגריים ומחלקים ב-2

\begin{aligned}p &= \frac{1 \pm \sqrt{1-0.84}}{2} \\ &= \frac{1 \pm 0.4}{2}\end{aligned}

נוסחת השורשים

\begin{aligned}p &= 0.7 \ \text{או} \ p \\ &= 0.3\end{aligned}

שני הפתרונות הם הסתברויות

p=0.7

התנאי $p>0.5$ בוחר אחד

למה הפתרונות $0.3$ ו- $0.7$ «סימטריים»?

להציג את התשובה והפתרון

אם מחליפים את השמות «עץ» ו«פלי», $p$ הופך ל- $1-p$ , וההסתברות ל«אותה תוצאה» לא משתנה. לכן אם $0.7$ פתרון, גם $1-0.7=0.3$ פתרון. התנאי $p>0.5$ הוא מה שמבדיל ביניהם.

התחום של $p$

כל ענף בעץ הוא הסתברות. לכן כל ביטוי שכתוב על ענף, כמו $2p$ או $1-3p$ , חייב להיות בין $0$ ל- $1$ . מהתנאים האלה יוצא התחום של $p$ .

0 \leq 2p \leq 1 \ \Rightarrow \ p \leq 0.5

ענף $2p$

0 \leq 1-3p \ \Rightarrow \ p \leq \frac{1}{3}

ענף $1-3p$

0 \leq p \leq \frac{1}{3}

שני התנאים יחד: לוקחים את החיתוך

סדר קבוע בכל שאלה עם פרמטר: (1) מציירים עץ או טבלה, עם $p$ על הענפים. (2) כותבים את הנתון כביטוי ב- $p$ . (3) פותרים. (4) בודקים ש- $0 \leq p \leq 1$ , ושכל ענף בעץ הוא הסתברות.

שלוש טעויות שעולות נקודות.

0.5p+0.9p=0.78

0.5p+0.9(1-p)=0.78

הענף השני יוצא מ«מתקדם». ההסתברות שלו היא $1-p$ , לא $p$ .

\begin{aligned}p &= 0.3 \ \text{או} \ p \\ &= 0.7\end{aligned}

p=0.7 \quad (p>0.5)

שני הפתרונות הם הסתברויות, אבל רק אחד מתאים לתנאי של השאלה.

P(E \mid F)=0.5

P(E \mid F)=\frac{0.15}{0.78}

המספר $0.5$ כתוב על הענף, והוא $P(F \mid E)$ . השאלה הפוכה.

תרגילים

תרגיל 1

בחנות, $p$ מהלקוחות משלמים באפליקציה והשאר בכרטיס. מבין המשלמים באפליקציה 40% מצטרפים למועדון הלקוחות, ומבין האחרים 10%. ידוע ש-19% מהלקוחות מצטרפים למועדון. מצאו את $p$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.3

הפתרון:

\begin{aligned}P(C) &= 0.4p+0.1(1-p) \\ &= 0.1+0.3p\end{aligned}

הסתברות שלמה

\begin{aligned}0.1+0.3p &= 0.19 \ \Rightarrow \ p \\ &= 0.3\end{aligned}

משוואה

הענף «מצטרף» שיוצא מ«כרטיס» הוא $0.1$ , וההסתברות להגיע אליו היא $1-p$ . מי שכתב $0.1p$ קיבל $p=0.38$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בחנות, $p$ מהלקוחות משלמים באפליקציה והשאר בכרטיס. מבין המשלמים באפליקציה 40% מצטרפים למועדון הלקוחות, ומבין האחרים 10%. ידוע ש-19% מהלקוחות מצטרפים למועדון. לקוח אקראי הצטרף למועדון. מה ההסתברות שהוא משלם באפליקציה? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.63

הפתרון:

\begin{aligned}P(A \cap C) &= 0.4 \cdot 0.3 \\ &= 0.12\end{aligned}

המסלול של האפליקציה

P(A \mid C)=\frac{0.12}{0.19} \approx 0.63

חלקי כל המצטרפים

רק $30\%$ משלמים באפליקציה, אבל הם כמעט שני שלישים מהמצטרפים. $0.4$ הוא $P(C \mid A)$ , הכיוון ההפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

שחקן קולע כל זריקת עונשין בהסתברות $p$ , והזריקות בלתי תלויות. הוא זורק פעמיים. מה ההסתברות שיקלע בדיוק פעם אחת?

$2p(1-p)$
$1-p^2$
$p(1-p)$
$p^2+(1-p)^2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $2p(1-p)$

הפתרון:

p(1-p)+(1-p)p=2p(1-p)

שני מסלולים: קלע-החטיא והחטיא-קלע

הנכונה: $2p(1-p)$ . $p(1-p)$ הוא מסלול אחד בלבד. $1-p^2$ הוא «לא קלע בשתיהן». $p^2+(1-p)^2$ היא «אותה תוצאה בשתי הזריקות».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במטבע לא הוגן ההסתברות ל«עץ» היא $p$ , ו- $p>0.5$ . ההסתברות לקבל אותה תוצאה בשתי הטלות היא $0.68$ . מצאו את $p$ . (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.8

הפתרון:

p^2+(1-p)^2=0.68

אותה תוצאה

p^2-p+0.16=0

מסדרים ומחלקים ב-2

\begin{aligned}p &= \frac{1 \pm 0.6}{2} \ \Rightarrow \ p \\ &= 0.8 \ \text{או} \ p \\ &= 0.2\end{aligned}

נוסחת השורשים

p=0.8

התנאי $p>0.5$

שני הפתרונות הם הסתברויות. $p=0.2$ נפסל רק בגלל התנאי $p>0.5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בעץ, מהשורש יוצאים הענפים $2p$ ו- $1-2p$ . מהצומת של $2p$ יוצאים הענפים $3p$ ו- $1-3p$ . א. מצאו את הערך הגדול ביותר האפשרי של $p$ . ב. ידוע שההסתברות למסלול « $2p$ ואז $3p$ » היא $0.06$ . מצאו את $p$ . (שבר פשוט, או עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

א. $p \leq$ ____ , ב. $p=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א. $p \leq$ 0.3333 , ב. $p=$ 0.1

הפתרון:

2p \leq 1 \ \Rightarrow \ p \leq \frac{1}{2}

ענף $2p$

3p \leq 1 \ \Rightarrow \ p \leq \frac{1}{3}

ענף $3p$

p \leq \frac{1}{3}

חיתוך

\begin{aligned}2p \cdot 3p &= 6p^2 \\ &= 0.06 \ \Rightarrow \ p^2 \\ &= 0.01\end{aligned}

לאורך מסלול כופלים

p=0.1

$p=-0.1$ אינו הסתברות

התחום הוא חיתוך התנאים: $p \leq \frac{1}{2}$ לבד היה מאפשר ענף $3p=1.5$ . ובסעיף ב, $0.1 \leq \frac{1}{3}$ , ולכן הפתרון בתחום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במועדון ספורט, $p$ מהחברים הם בני נוער והשאר מבוגרים. בן נוער שוחה בבריכה של המועדון בהסתברות $0.6$ , ומבוגר בהסתברות $0.2$ . ידוע שמבין השוחים, מחצית הם בני נוער. מצאו את $p$ . (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25

הפתרון:

\begin{aligned}P(S) &= 0.6p+0.2(1-p) \\ &= 0.2+0.4p\end{aligned}

הסתברות שלמה

\frac{0.6p}{0.2+0.4p}=0.5

הנתון הוא $P(Y \mid S)$

\begin{aligned}0.6p &= 0.1+0.2p \ \Rightarrow \ p \\ &= 0.25\end{aligned}

כופלים במכנה

הנתון «מבין השוחים» הוא הסתברות מותנית, ולכן יש לה מכנה. מי שכתב $0.6p=0.5$ קיבל $p=\frac{5}{6}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במועדון ספורט, $p$ מהחברים הם בני נוער והשאר מבוגרים. בן נוער שוחה בבריכה של המועדון בהסתברות $0.6$ , ומבוגר בהסתברות $0.2$ . הוכיחו או הפריכו: לכל $0<p<1$ , ההסתברות ששוחה אקראי הוא בן נוער גדולה מ- $p$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

P(Y \mid S)=\frac{0.6p}{0.2+0.4p}

בייס

\frac{0.6p}{0.2+0.4p}>p \ \Leftrightarrow \ 0.6>0.2+0.4p

מחלקים ב- $p>0$ וכופלים במכנה החיובי

\Leftrightarrow \ p<1

נכון לכל $p$ בתחום

הטענה נכונה. בני הנוער שוחים יותר, ולכן חלקם בין השוחים גדול מחלקם במועדון. זה נכון לכל $p$ , לא רק לערך מסוים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתון: $P(A)=p$ , $P(B \mid A)=0.5$ , $P(B \mid \bar{A})=p$ , ו- $P(B)=0.36$ . מצאו את $p$ . (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.3

הפתרון:

\begin{aligned}P(B) &= 0.5p+p(1-p) \\ &= 1.5p-p^2\end{aligned}

הסתברות שלמה

p^2-1.5p+0.36=0

מסדרים

\begin{aligned}p &= \frac{1.5 \pm 0.9}{2} \ \Rightarrow \ p \\ &= 1.2 \ \text{או} \ p \\ &= 0.3\end{aligned}

נוסחת השורשים

p=0.3

$1.2>1$ אינו הסתברות

הפרמטר מופיע פעמיים: פעם כ- $P(A)$ ופעם על ענף. לכן המשוואה ריבועית, ואחד הפתרונות נפסל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתון: $P(A)=p$ , $P(B \mid A)=0.5$ , $P(B \mid \bar{A})=p$ , ו- $P(B)=0.36$ . למשוואה מתקבלים שני פתרונות, $p=0.3$ ו- $p=1.2$ . למה פוסלים את $p=1.2$ ?

כי $1.2>1$ , והסתברות אינה גדולה מ- $1$
כי $1.2>0.5$
כי אז $P(B)$ שלילית
כי למשוואה ריבועית יש פתרון אחד בלבד

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א כי $1.2>1$ , והסתברות אינה גדולה מ- $1$

הפתרון:

\begin{aligned}P(A) &= p \\ &= 1.2>1\end{aligned}

הענף הראשון אינו הסתברות

1-p=-0.2<0

וגם הענף המשלים שלילי

הנכונה: $1.2>1$ . אין בשאלה תנאי $p<0.5$ . $P(B)=0.36$ נתונה, ולכן היא לא יכולה להיות שלילית. והמשוואה אכן ריבועית, עם שני פתרונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בקופסה $n$ כדורים לבנים ו-2 שחורים. שולפים שני כדורים בלי החזרה. ההסתברות ששניהם לבנים היא $\frac{2}{5}$ . מצאו את $n$ , ואת ההסתברות לשני כדורים בצבעים שונים. (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

$n=$ ____ , צבעים שונים: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $n=$ 4 , צבעים שונים: 0.53

הפתרון:

\frac{n}{n+2} \cdot \frac{n-1}{n+1}=\frac{2}{5}

בלי החזרה: שני הענפים יורדים

3n^2-11n-4=0

כופלים במכנים ומסדרים

\begin{aligned}n &= 4 \ \text{או} \ n \\ &= -\frac{1}{3}\end{aligned}

נוסחת השורשים

2 \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{2}{5}=\frac{16}{30} \approx 0.53

שני סדרים

$n$ הוא מספר כדורים, ולכן שלם וחיובי: $-\frac{1}{3}$ נפסל. בסעיף השני זכרו שני סדרים: לבן-שחור ושחור-לבן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

משוואה ריבועית ב-ppp

התחום של ppp

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

משוואה ריבועית ב- $p$

התחום של $p$