עץ רב-שלבי, הסתברות שלמה ובייס

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בקופסה 5 כדורים אדומים ו-3 כחולים. שולפים שני כדורים, בלי להחזיר. אחרי השליפה הראשונה נשארים בקופסה 7 כדורים, וההרכב שלהם תלוי במה שיצא. זה הסימן של ניסוי תלוי: ההסתברויות בקומה השנייה של העץ משתנות מענף לענף.

P(RR)=58⋅47=2056\begin{aligned}P(RR) &= \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} \\ &= \frac{20}{56}\end{aligned}

שני אדומים

P(RB)=58⋅37=1556\begin{aligned}P(RB) &= \frac{5}{8} \cdot \frac{3}{7} \\ &= \frac{15}{56}\end{aligned}

אדום ואז כחול

P(BR)=38⋅57=1556\begin{aligned}P(BR) &= \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7} \\ &= \frac{15}{56}\end{aligned}

כחול ואז אדום

P(BB)=38⋅27=656\begin{aligned}P(BB) &= \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} \\ &= \frac{6}{56}\end{aligned}

שני כחולים. בדיקה: 20+15+15+6=5620+15+15+6=56

מה ההסתברות ששני הכדורים באותו צבע? ומה ההסתברות שהכדור השני אדום?

להציג את התשובה והפתרון

אותו צבע: 2056+656=1328\frac{20}{56}+\frac{6}{56}=\frac{13}{28}. השני אדום: 2056+1556=3556=58\frac{20}{56}+\frac{15}{56}=\frac{35}{56}=\frac{5}{8}, בדיוק כמו הראשון. מי שלא ראה מה יצא ראשון לא יודע יותר על הכדור השני.

עץ של שלושה שלבים

לכל שלב מוסיפים קומה לעץ. לאורך מסלול כופלים, בין מסלולים מחברים. לעץ של שלושה שלבים עם שתי תוצאות בכל שלב יש 8 מסלולים. בדרך כלל לא צריך לצייר את כולם: מציירים רק את המסלולים של המאורע.

שלושה רמזורים בדרך לבית הספר

הרמזור הראשון ירוק בהסתברות 0.60.6. הרמזורים מתואמים: אחרי רמזור ירוק, הבא ירוק בהסתברות 0.80.8. אחרי רמזור אדום, הבא ירוק בהסתברות 0.30.3. מה ההסתברות שכל השלושה ירוקים? ומה ההסתברות שבדיוק שניים ירוקים?

P(GGG)=0.6⋅0.8⋅0.8=0.384\begin{aligned}P(GGG) &= 0.6 \cdot 0.8 \cdot 0.8 \\ &= 0.384\end{aligned}

מסלול אחד

P(GGR)=0.6⋅0.8⋅0.2=0.096\begin{aligned}P(GGR) &= 0.6 \cdot 0.8 \cdot 0.2 \\ &= 0.096\end{aligned}

האדום בסוף

P(GRG)=0.6⋅0.2⋅0.3=0.036\begin{aligned}P(GRG) &= 0.6 \cdot 0.2 \cdot 0.3 \\ &= 0.036\end{aligned}

האדום באמצע: אחריו 0.30.3

P(RGG)=0.4⋅0.3⋅0.8=0.096\begin{aligned}P(RGG) &= 0.4 \cdot 0.3 \cdot 0.8 \\ &= 0.096\end{aligned}

האדום בהתחלה

0.096+0.036+0.096=0.2280.096+0.036+0.096=0.228

בדיוק שניים ירוקים: שלושה מסלולים

הסתברות שלמה ובייס

לפעמים התוצאה כבר ידועה, ושואלים «בדיעבד» מאיזה ענף היא הגיעה. זו הסתברות מותנית הפוכה לכיוון העץ. המונה הוא המסלול המבוקש. המכנה הוא סכום כל המסלולים שמסתיימים באותה תוצאה.

P(B)=P(A)⋅P(B∣A)+P(Aˉ)⋅P(B∣Aˉ)P(B)=P(A) \cdot P(B \mid A)+P(\bar{A}) \cdot P(B \mid \bar{A})

הסתברות שלמה: כל המסלולים שמגיעים ל-BB.

P(A∣B)=P(A)⋅P(B∣A)P(B)P(A \mid B)=\frac{P(A) \cdot P(B \mid A)}{P(B)}

הסתברות «בדיעבד»: מסלול אחד חלקי כולם.

ברמזורים: ידוע שהרמזור השלישי היה ירוק. מה ההסתברות שהראשון היה אדום?

להציג את התשובה והפתרון

המסלולים שמסתיימים בירוק: GGG=0.384GGG=0.384, GRG=0.036GRG=0.036, RGG=0.096RGG=0.096, RRG=0.4⋅0.7⋅0.3=0.084RRG=0.4 \cdot 0.7 \cdot 0.3=0.084. סך הכול 0.60.6. מהם מתחילים באדום: 0.096+0.084=0.180.096+0.084=0.18. התשובה: 0.180.6=0.3\frac{0.18}{0.6}=0.3.

בשאלת «בדיעבד» כתבו קודם את המכנה: כל המסלולים שמסתיימים בתוצאה הידועה. המונה הוא חלק מהם, ולכן התשובה תמיד בין 00 ל-11. זו גם בדיקה.

שלוש טעויות של עצים.

P(BB)=38⋅38P(BB)=\frac{3}{8} \cdot \frac{3}{8}
P(BB)=38⋅27P(BB)=\frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7}

בלי החזרה, השליפה השנייה רואה קופסה אחרת: כדור כחול אחד כבר בחוץ.

P(R2)=47P(R_2)=\frac{4}{7}
P(R2)=58⋅47+38⋅57=58\begin{aligned}P(R_2) &= \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7}+\frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7} \\ &= \frac{5}{8}\end{aligned}

47\frac{4}{7} הוא ענף אחד, בתנאי שהראשון אדום. «השני אדום» בלי תנאי אוסף שני מסלולים.

P(A∣B)=P(B∣A)P(A \mid B)=P(B \mid A)
P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}

בייס הופך את כיוון התנאי, ולכן המכנה מתחלף. P(B∣A)P(B \mid A) כתוב על הענף; P(A∣B)P(A \mid B) צריך לחשב.

תרגילים

תרגיל 1

בשקית 6 סוכריות תות ו-4 סוכריות מנטה. שולפים שתי סוכריות, בזו אחר זו, בלי להחזיר. מה ההסתברות ששתיהן מנטה? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.13

הפתרון:

410⋅39=1290=215\begin{aligned}\frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} &= \frac{12}{90} \\ &= \frac{2}{15}\end{aligned}

הענף השני: נשארו 3 מנטה מתוך 9

≈0.13\approx 0.13

מי שכתב 410⋅410=0.16\frac{4}{10} \cdot \frac{4}{10}=0.16 חישב כאילו הסוכרייה חזרה לשקית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בשקית 6 סוכריות תות ו-4 סוכריות מנטה. שולפים שתי סוכריות, בזו אחר זו, בלי להחזיר. מה ההסתברות שהסוכריות מסוגים שונים? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.53

הפתרון:

P(TM)=610⋅49=2490\begin{aligned}P(TM) &= \frac{6}{10} \cdot \frac{4}{9} \\ &= \frac{24}{90}\end{aligned}

תות ואז מנטה

P(MT)=410⋅69=2490\begin{aligned}P(MT) &= \frac{4}{10} \cdot \frac{6}{9} \\ &= \frac{24}{90}\end{aligned}

מנטה ואז תות

4890=815≈0.53\frac{48}{90}=\frac{8}{15} \approx 0.53

שני מסלולים

שני סדרים אפשריים, ושניהם באותו מאורע. מי שחישב מסלול אחד קיבל 0.270.27, חצי מהתשובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בשקית 6 סוכריות תות ו-4 סוכריות מנטה. שולפים שלוש סוכריות, בזו אחר זו, בלי להחזיר. איזה ביטוי שווה להסתברות שכל השלוש תות?

  1. 610⋅59⋅48\frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{8}
  2. 610⋅510⋅410\frac{6}{10} \cdot \frac{5}{10} \cdot \frac{4}{10}
  3. 3⋅610⋅59⋅483 \cdot \frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{8}
  4. (610)3\left(\frac{6}{10}\right)^3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 610⋅59⋅48\frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{8}

הפתרון:

610⋅59⋅48=120720=16\begin{aligned}\frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{8} &= \frac{120}{720} \\ &= \frac{1}{6}\end{aligned}

בכל שליפה יורדים גם המונה וגם המכנה

הנכונה: 610⋅59⋅48\frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{8}. החזקה מתאימה לשליפה עם החזרה. בביטוי השני ירד רק המונה. המקדם 33 מיותר: יש מסלול אחד בלבד שבו כל השלוש תות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ביום גשום (הסתברות 0.30.3) דני מאחר לעבודה בהסתברות 0.40.4. ביום שאינו גשום הוא מאחר בהסתברות 0.10.1. מה ההסתברות שדני מאחר ביום אקראי? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.19

הפתרון:

0.3⋅0.4=0.120.3 \cdot 0.4=0.12

גשם ואיחור

0.7⋅0.1=0.070.7 \cdot 0.1=0.07

בלי גשם ואיחור

P(L)=0.12+0.07=0.19\begin{aligned}P(L) &= 0.12+0.07 \\ &= 0.19\end{aligned}

הסתברות שלמה

מי שחיבר 0.4+0.1=0.50.4+0.1=0.5 שכח לשקלל: ימי הגשם הם רק 30%30\% מהימים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

באותם נתונים: דני איחר. מה ההסתברות שבאותו יום ירד גשם? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.63

הפתרון:

P(R∣L)=0.120.19P(R \mid L)=\frac{0.12}{0.19}

מסלול הגשם חלקי כל מסלולי האיחור

≈0.63\approx 0.63

אף שרק 30%30\% מהימים גשומים, רוב האיחורים באים מהם. 0.40.4 הוא P(L∣R)P(L \mid R), הכיוון ההפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

שחקנית כדורסל זורקת שלוש זריקות. את הראשונה היא קולעת בהסתברות 0.70.7. אחרי קליעה, ההסתברות לקלוע בזריקה הבאה היא 0.80.8. אחרי החטאה, 0.50.5. השלימו.

שלוש קליעות: ____ , אף קליעה: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: שלוש קליעות: 0.448 , אף קליעה: 0.075

הפתרון:

0.7⋅0.8⋅0.8=0.4480.7 \cdot 0.8 \cdot 0.8=0.448

הענף «קליעה» אחרי קליעה

0.3⋅0.5⋅0.5=0.0750.3 \cdot 0.5 \cdot 0.5=0.075

אחרי החטאה ההסתברות להחטיא היא 1−0.5=0.51-0.5=0.5

הזריקות תלויות: 0.73=0.3430.7^3=0.343 אינה התשובה, כי ההסתברות משתנה לפי הזריקה הקודמת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בקופסה 5 כדורים אדומים ו-3 כחולים. שולפים שני כדורים בלי החזרה. הוכיחו או הפריכו: ההסתברות שהכדור השני אדום קטנה מ-58\frac{5}{8}, כי ייתכן שאדום כבר יצא.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

58⋅47+38⋅57=3556\frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7}+\frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7}=\frac{35}{56}

שני המסלולים שמסתיימים באדום

=58=\frac{5}{8}

שווה, לא קטנה

הטענה לא נכונה. האפשרות שאדום יצא ראשון מקטינה את הסיכוי, והאפשרות שכחול יצא ראשון מגדילה אותו. שתי ההשפעות מתקזזות בדיוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במוקד שירות מתקבלות 50% מהפניות בבוקר, 30% אחר הצהריים ו-20% בלילה. פנייה לא נפתרת בהסתברות 0.020.02 בבוקר, 0.040.04 אחר הצהריים ו-0.050.05 בלילה. פנייה אקראית לא נפתרה. מה ההסתברות שהתקבלה בלילה? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.31

הפתרון:

0.5⋅0.02+0.3⋅0.04+0.2⋅0.050.5 \cdot 0.02+0.3 \cdot 0.04+0.2 \cdot 0.05

שלושה מסלולים

=0.01+0.012+0.01=0.032=0.01+0.012+0.01=0.032

המכנה

0.010.032=0.3125≈0.31\frac{0.01}{0.032}=0.3125 \approx 0.31

המסלול של הלילה חלקי כולם

שלוש משמרות, ולכן שלושה מסלולים במכנה. מי שכתב רק שניים קיבל הסתברות גבוהה מדי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מיינו: באילו ניסויים השלב השני תלוי בתוצאת השלב הראשון?

  • תלוי
  • בלתי תלוי
  • בוחרים שני תלמידים שונים מהכיתה לוועדה
  • מטילים מטבע ואחר כך קובייה
  • מטילים קובייה פעמיים
  • רמזור שני, כשהרמזורים מתואמים
  • שולפים כדור, מחזירים, ושולפים שוב
  • שולפים שני קלפים מחפיסה בלי החזרה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: שולפים שני קלפים מחפיסה בלי החזרה — תלוי · בוחרים שני תלמידים שונים מהכיתה לוועדה — תלוי · רמזור שני, כשהרמזורים מתואמים — תלוי · מטילים קובייה פעמיים — בלתי תלוי · שולפים כדור, מחזירים, ושולפים שוב — בלתי תלוי · מטילים מטבע ואחר כך קובייה — בלתי תלוי

הפתרון:

58⋅47\frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7}

בלי החזרה: הענף השני משתנה

16⋅16\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}

קובייה אינה זוכרת

השאלה היא אחת: האם ההסתברויות בשלב השני משתנות לפי מה שקרה בראשון? בחירת תלמיד שני «שונה» היא שליפה בלי החזרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בקופסה I יש 3 כדורים לבנים ו-2 שחורים. בקופסה II יש לבן אחד ו-4 שחורים. מטילים קובייה: אם יוצא 1 או 2 בוחרים בקופסה I, ואחרת בקופסה II. מהקופסה שנבחרה שולפים כדור, והוא לבן. מה ההסתברות שנבחרה קופסה I? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.6

הפתרון:

P(I∩W)=13⋅35=15\begin{aligned}P(I \cap W) &= \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} \\ &= \frac{1}{5}\end{aligned}

קופסה I ולבן

P(II∩W)=23⋅15=215\begin{aligned}P(II \cap W) &= \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} \\ &= \frac{2}{15}\end{aligned}

קופסה II ולבן

P(W)=315+215=13\begin{aligned}P(W) &= \frac{3}{15}+\frac{2}{15} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

הסתברות שלמה

P(I∣W)=1/51/3=35=0.6\begin{aligned}P(I \mid W) &= \frac{1/5}{1/3} \\ &= \frac{3}{5} \\ &= 0.6\end{aligned}

בייס

הקובייה בוחרת בקופסה I רק בשליש מהמקרים, ובכל זאת אחרי שיצא לבן הסיכוי שלה עולה ל-0.60.6. מי שענה 13\frac{1}{3} התעלם מהמידע «לבן».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת