טבלה דו-ממדית ומרחב אחיד · טבלאות ועצים · כיתה י״א

בשכבת יא של בית ספר בחיפה יש 400 תלמידים. שאלו אותם איך התכוננו למבחן המתכונת: עם מורה פרטי, בקבוצת לימוד או לבד. אחר כך בדקו מי קיבל ציון מעל 80. כל תלמיד נמצא במשבצת אחת בדיוק של הטבלה. הסתכלו עליה לפני כל נוסחה.

$T$ : מורה פרטי. $G$ : קבוצת לימוד. $L$ : לבד. $A$ : ציון מעל 80. $\Sigma$ : סך הכול.

\begin{array}{c|ccc|c} & T & G & L & \Sigma \\ \hline A & 60 & 72 & 88 & 220 \\ \bar{A} & 20 & 48 & 112 & 180 \\ \hline \Sigma & 80 & 120 & 200 & 400 \end{array}

בוחרים תלמיד אקראי. מה ההסתברות שהוא למד בקבוצה וגם קיבל מעל 80? ומה ההסתברות שתלמיד שלמד בקבוצה קיבל מעל 80?

להציג את התשובה והפתרון

«בקבוצה וגם מעל 80» היא משבצת מתוך כל השכבה: $\frac{72}{400}=0.18$ . «תלמיד שלמד בקבוצה» מצמצם את העולם לעמודה $G$ : $\frac{72}{120}=0.6$ . אותה משבצת, מכנה אחר.

מרחב מדגם סופי ואחיד

כשכל התוצאות שוות הסתברות, ההסתברות של מאורע היא מספר התוצאות שבו חלקי מספר כל התוצאות. «תלמיד אקראי» אומר בדיוק את זה: לכל אחד מ-400 התלמידים אותו סיכוי להיבחר.

P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}

$|\Omega|$ הוא מספר כל התוצאות, ו- $|A|$ מספר התוצאות שבהן $A$ קורה.

שלוש שאלות, שלושה מכנים

\begin{aligned}P(G \cap A) &= \frac{72}{400} \\ &= 0.18\end{aligned}

«וגם»: המשבצת חלקי סך הכול

\begin{aligned}P(A \mid G) &= \frac{72}{120} \\ &= 0.6\end{aligned}

«מבין אלה שלמדו בקבוצה»: המשבצת חלקי סך העמודה

\begin{aligned}P(G \mid A) &= \frac{72}{220} \\ &= \frac{18}{55}\end{aligned}

«מבין אלה שקיבלו מעל 80»: המשבצת חלקי סך השורה

P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}

המילה «מבין» בשאלה מסמנת את התנאי. המכנה הוא סך השורה או סך העמודה של התנאי.

תלות ואי-תלות

$A$ ו- $B$ בלתי תלויים כאשר $P(A \mid B)=P(A)$ . באופן שקול: $P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)$ . בטבלה שלנו $P(A)=\frac{220}{400}=0.55$ , אבל $P(A \mid G)=0.6$ . הידיעה «למד בקבוצה» משנה את הסיכוי, ולכן $A$ ו- $G$ תלויים.

האם $A$ ו- $T$ תלויים? בדקו בעזרת המכפלה.

להציג את התשובה והפתרון

$P(A \cap T)=\frac{60}{400}=0.15$ , ואילו $P(A) \cdot P(T)=0.55 \cdot 0.2=0.11$ . המספרים שונים, ולכן $A$ ו- $T$ תלויים. אפשר לבדוק גם כך: $P(A \mid T)=\frac{60}{80}=0.75 \neq 0.55$ .

מאחוזים לטבלת הסתברויות

בעיר מסוימת 30% מהתושבים רוכבים על אופניים ( $R$ ). מבין הרוכבים, 60% גרים ליד שביל אופניים ( $S$ ). מבין מי שאינם רוכבים, 20% גרים ליד שביל. תושב אקראי גר ליד שביל. מה ההסתברות שהוא רוכב?

\begin{aligned}P(R \cap S) &= 0.3 \cdot 0.6 \\ &= 0.18\end{aligned}

משבצת: סך השורה כפול האחוז בתוכה

\begin{aligned}P(\bar{R} \cap S) &= 0.7 \cdot 0.2 \\ &= 0.14\end{aligned}

המשבצת השנייה בעמודה $S$

\begin{aligned}P(S) &= 0.18+0.14 \\ &= 0.32\end{aligned}

סך העמודה $S$

\begin{array}{c|cc|c} & S & \bar{S} & \Sigma \\ \hline R & 0.18 & 0.12 & 0.3 \\ \bar{R} & 0.14 & 0.56 & 0.7 \\ \hline \Sigma & 0.32 & 0.68 & 1 \end{array}

הטבלה המלאה. הפינה היא $1$

\begin{aligned}P(R \mid S) &= \frac{0.18}{0.32} \\ &= 0.5625\end{aligned}

המשבצת חלקי סך העמודה של התנאי

מרחב רציף: הסתברות כיחס שטחים

כשבוחרים נקודה אקראית בתוך צורה, יש אינסוף תוצאות, ואי אפשר לספור. במקום לספור מודדים: ההסתברות שהנקודה נופלת בתוך אזור היא שטח האזור חלקי השטח של הצורה כולה. על ציר הזמן עושים אותו דבר עם אורכים.

ABCD

ריבוע, ו-

M

אמצע הצלע

CD

. הבסיס של המשולש המודגש

ABM

הוא צלע הריבוע, וגם הגובה שלו שווה לצלע. לכן הוא תופס חצי מהשטח, ונקודה אקראית נופלת בו בהסתברות

\frac{1}{2}

, בלי קשר לאורך הצלע.

P(E)=\frac{S_E}{S_{\Omega}}

$S_E$ שטח האזור, $S_{\Omega}$ השטח של הצורה כולה.

בטבלת הסתברויות הפינה התחתונה היא תמיד $1$ , וכל שורה וכל עמודה מסתכמות לסך שלהן. אם משהו לא מסתכם, יש טעות באחת המשבצות, ועדיף לגלות אותה לפני שמחשבים הסתברות מותנית.

שלוש טעויות שחוזרות בכל שאלת טבלה.

P(A \mid G)=\frac{72}{400}

P(A \mid G)=\frac{72}{120}

«מבין אלה שלמדו בקבוצה» מצמצם את העולם לעמודה $G$ . המכנה הוא 120, לא 400.

P(G \mid A)=P(A \mid G)

\frac{72}{220} \neq \frac{72}{120}

היפוך התנאי מחליף את המכנה: פעם סך השורה ופעם סך העמודה.

\begin{aligned}A \cap B &= \emptyset \ \Rightarrow \ P(A \cap B) \\ &= P(A) \cdot P(B)\end{aligned}

P(A \cap B)=0 \neq P(A) \cdot P(B)

מאורעות זרים שהסתברותם חיובית הם תמיד תלויים: אם אחד קרה, השני כבר לא יכול לקרות.

תרגילים

תרגיל 1

במוזיאון בירושלים נספרו 500 מבקרים לפי גיל: ילדים ( $K$ ), מבוגרים ( $M$ ) ופנסיונרים ( $V$ ). $H$ : קנה מדריך קולי. $\begin{array}{c|ccc|c} & K & M & V & \Sigma \\ \hline H & 30 & 100 & 50 & 180 \\ \bar{H} & 120 & 150 & 50 & 320 \\ \hline \Sigma & 150 & 250 & 100 & 500 \end{array}$ בוחרים מבקר אקראי. מה ההסתברות שהוא מבוגר וגם קנה מדריך? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.2

הפתרון:

P(M \cap H)=\frac{100}{500}

משבצת חלקי סך הכול

=0.2

המכנה הוא 500: «וגם» לא מצמצם את העולם. מי שחילק ב-250 חישב את $P(H \mid M)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במוזיאון בירושלים נספרו 500 מבקרים לפי גיל: ילדים ( $K$ ), מבוגרים ( $M$ ) ופנסיונרים ( $V$ ). $H$ : קנה מדריך קולי. $\begin{array}{c|ccc|c} & K & M & V & \Sigma \\ \hline H & 30 & 100 & 50 & 180 \\ \bar{H} & 120 & 150 & 50 & 320 \\ \hline \Sigma & 150 & 250 & 100 & 500 \end{array}$ מבקר אקראי קנה מדריך. מה ההסתברות שהוא פנסיונר? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.28

הפתרון:

\begin{aligned}P(V \mid H) &= \frac{50}{180} \\ &= \frac{5}{18}\end{aligned}

המשבצת חלקי סך השורה $H$

\approx 0.28

התנאי הוא «קנה מדריך», ולכן המכנה הוא 180. $\frac{50}{100}=0.5$ הוא $P(H \mid V)$ : התנאי הפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במוזיאון בירושלים נספרו 500 מבקרים לפי גיל: ילדים ( $K$ ), מבוגרים ( $M$ ) ופנסיונרים ( $V$ ). $H$ : קנה מדריך קולי. $\begin{array}{c|ccc|c} & K & M & V & \Sigma \\ \hline H & 30 & 100 & 50 & 180 \\ \bar{H} & 120 & 150 & 50 & 320 \\ \hline \Sigma & 150 & 250 & 100 & 500 \end{array}$ מה ההסתברות שילד שביקר במוזיאון קנה מדריך?

$\frac{30}{500}$
$\frac{30}{150}$
$\frac{150}{500}$
$\frac{30}{180}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $\frac{30}{150}$

הפתרון:

\begin{aligned}P(H \mid K) &= \frac{30}{150} \\ &= 0.2\end{aligned}

התנאי «ילד»: סך העמודה $K$

הנכונה: $\frac{30}{150}$ . $\frac{30}{500}$ היא «ילד וגם קנה». $\frac{30}{180}$ היא «קנה, ומבין הקונים ילד». $\frac{150}{500}$ היא ההסתברות לילד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במוזיאון בירושלים נספרו 500 מבקרים לפי גיל: ילדים ( $K$ ), מבוגרים ( $M$ ) ופנסיונרים ( $V$ ). $H$ : קנה מדריך קולי. $\begin{array}{c|ccc|c} & K & M & V & \Sigma \\ \hline H & 30 & 100 & 50 & 180 \\ \bar{H} & 120 & 150 & 50 & 320 \\ \hline \Sigma & 150 & 250 & 100 & 500 \end{array}$ הוכיחו או הפריכו: המאורעות $M$ («מבוגר») ו- $H$ («קנה מדריך») בלתי תלויים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}P(H) &= \frac{180}{500} \\ &= 0.36\end{aligned}

בלי תנאי

\begin{aligned}P(H \mid M) &= \frac{100}{250} \\ &= 0.4\end{aligned}

בתנאי «מבוגר»

0.4 \neq 0.36

התנאי משנה את ההסתברות

הטענה לא נכונה: המאורעות תלויים. ההבדל קטן, אבל אי-תלות דורשת שוויון, לא «קרוב».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתון: $P(A)=0.4$ , $P(B)=0.5$ , $P(A \cap B)=0.15$ . השלימו את טבלת ההסתברויות וענו.

$P(A \cap \bar{B})=$ ____ , $P(\bar{A} \cap \bar{B})=$ ____ , $P(A \mid B)=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $P(A \cap \bar{B})=$ 0.25 , $P(\bar{A} \cap \bar{B})=$ 0.25 , $P(A \mid B)=$ 0.3

הפתרון:

\begin{aligned}P(A \cap \bar{B}) &= 0.4-0.15 \\ &= 0.25\end{aligned}

השורה $A$ מסתכמת ל- $0.4$

\begin{aligned}P(\bar{A} \cap B) &= 0.5-0.15 \\ &= 0.35\end{aligned}

העמודה $B$ מסתכמת ל- $0.5$

\begin{aligned}P(\bar{A} \cap \bar{B}) &= 1-0.15-0.25-0.35 \\ &= 0.25\end{aligned}

המשבצת הרביעית: הכול ביחד $1$

\begin{aligned}P(A \mid B) &= \frac{0.15}{0.5} \\ &= 0.3\end{aligned}

משבצת חלקי סך העמודה

שתי המשבצות הראשונות שוות כאן במקרה. $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ אינו $0.6 \cdot 0.5$ : זה נכון רק כשהמאורעות בלתי תלויים, וכאן $0.15 \neq 0.4 \cdot 0.5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

המאורעות $A$ ו- $B$ בלתי תלויים. נתון: $P(A)=0.6$ ו- $P(A \cap B)=0.18$ . מצאו את $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ . (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.28

הפתרון:

\begin{aligned}P(B) &= \frac{0.18}{0.6} \\ &= 0.3\end{aligned}

אי-תלות: $P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)$

\begin{aligned}P(\bar{A} \cap \bar{B}) &= 0.4 \cdot 0.7 \\ &= 0.28\end{aligned}

גם המשלימים בלתי תלויים

אפשר גם בטבלה: $P(A \cup B)=0.6+0.3-0.18=0.72$ , והמשלים $0.28$ . מי שכתב $1-0.18$ חישב את המשלים של «וגם», לא של «או».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ב-200 עובדים: $H$ עובד מהבית בחלק מהשבוע, $D$ גר רחוק מ-30 ק״מ. $\begin{array}{c|cc|c} & D & \bar{D} & \Sigma \\ \hline H & 48 & 32 & 80 \\ \bar{H} & 24 & 96 & 120 \\ \hline \Sigma & 72 & 128 & 200 \end{array}$ התאימו כל הסתברות לערך שלה.

$P(H \cap D)$
$P(H \mid D)$
$P(D \mid H)$
$P(\bar{H} \mid \bar{D})$

$\frac{48}{200}$
$\frac{48}{72}$
$\frac{48}{80}$
$\frac{96}{128}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $P(H \cap D)$ — $\frac{48}{200}$ · $P(H \mid D)$ — $\frac{48}{72}$ · $P(D \mid H)$ — $\frac{48}{80}$ · $P(\bar{H} \mid \bar{D})$ — $\frac{96}{128}$

הפתרון:

P(H \mid D)=\frac{48}{72}

התנאי $D$ : סך העמודה

P(D \mid H)=\frac{48}{80}

התנאי $H$ : סך השורה

שלוש ההסתברויות הראשונות חולקות את המונה 48. רק המכנה מבדיל ביניהן, והוא נקבע לפי מה שכתוב אחרי הקו $\mid$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

$ABCD$ ריבוע. $E$ אמצע הצלע $AB$ , ו- $F$ אמצע הצלע $BC$ . בוחרים נקודה אקראית בתוך הריבוע. מה ההסתברות שהיא בתוך המשולש $EBF$ ? (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.125

הפתרון:

\begin{aligned}S_{EBF} &= \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} \\ &= \frac{a^2}{8}\end{aligned}

משולש ישר זווית: הניצבים $EB$ ו- $BF$ , כל אחד חצי צלע

\begin{aligned}P &= \frac{a^2/8}{a^2} \\ &= \frac{1}{8} \\ &= 0.125\end{aligned}

יחס שטחים

אורך הצלע לא נתון, ואין בו צורך: הוא מצטמצם. מי שענה $\frac{1}{4}$ שכח את החצי שבנוסחת שטח המשולש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

אוטובוס יוצא מהתחנה כל 20 דקות בדיוק. דנה מגיעה לתחנה ברגע אקראי. מה ההסתברות שתחכה יותר מ-15 דקות? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25

הפתרון:

0 \leq t \leq 20

זמן ההגעה בתוך מחזור של 20 דקות

\begin{aligned}\frac{20-15}{20} &= \frac{5}{20} \\ &= 0.25\end{aligned}

המתנה ארוכה מ-15 קורה רק ב-5 הדקות הראשונות של המחזור

על ציר הזמן «שטח» הוא אורך. מי שענה $0.75$ חישב את ההסתברות להמתין לכל היותר 15 דקות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בטבלת שכיחויות 2×3 נתון: $\begin{array}{c|ccc} & C_1 & C_2 & C_3 \\ \hline A & 30 & x & 18 \\ \bar{A} & 20 & 30 & 42 \end{array}$ מצאו את $x$ כך שהמאורעות $A$ ו- $C_1$ יהיו בלתי תלויים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 90

הפתרון:

\begin{aligned}P(A \mid C_1) &= \frac{30}{50} \\ &= 0.6\end{aligned}

בעמודה הראשונה

P(A)=\frac{48+x}{140+x}

סך השורה $A$ חלקי סך הכול

\begin{aligned}\frac{48+x}{140+x} &= \frac{3}{5} \ \Rightarrow \ 240+5x \\ &= 420+3x\end{aligned}

אי-תלות: $P(A)=P(A \mid C_1)$

x=90

בדיקה: $\frac{138}{230}=0.6$ ✓

אי-תלות אינה «אותו מספר במשבצות». היא אותו יחס: בעמודה $C_1$ ובכל הטבלה, $A$ תופס $60\%$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

מרחב מדגם סופי ואחיד

שלוש שאלות, שלושה מכנים

תלות ואי-תלות

מרחב רציף: הסתברות כיחס שטחים

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev