הסתברות שלמה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

במפעל שתי מכונות: א' מייצרת 60% מהחלקים ו-2% ממה שהיא מייצרת פגום; ב' מייצרת 40% ו-5% ממנה פגום. לוקחים חלק אקראי מהמחסן — מה ההסתברות שהוא פגום? החלק הפגום יכול להגיע משני מסלולים, וסופרים את שניהם.

P(D)=P(A)⋅P(D∣A)+P(B)⋅P(D∣B)P(D) = P(A) \cdot P(D \mid A) + P(B) \cdot P(D \mid B)

נוסחת ההסתברות השלמה: כל מסלול תורם את «משקל המקור כפול אחוז הפגומים בו».

המפעל, במספרים

D = «פגום».

P(D)=0.6⋅0.02+0.4⋅0.05P(D) = 0.6 \cdot 0.02 + 0.4 \cdot 0.05

שני המסלולים

=0.012+0.02=0.032= 0.012 + 0.02 = 0.032

3.2 אחוזים מכלל המחסן

רוב הפגומים — ממכונה א' או ב'?

להציג את התשובה והפתרון

ב': היא תורמת 0.020.02 מתוך 0.0320.032 — כ-62% מהפגומים — אף שהיא מייצרת פחות. אחוז פגומים גבוה גובר על נתח ייצור קטן.

ובחזרה — בייס בקטן

נמצא חלק פגום. מה ההסתברות שהוא ממכונה ב'? זו בדיוק הסתברות מותנית, והמכנה הוא ההסתברות השלמה שחישבנו:

P(B∣D)=P(B)⋅P(D∣B)P(D)=0.020.032=0.625\begin{aligned}P(B \mid D) &= \frac{P(B) \cdot P(D \mid B)}{P(D)} \\ &= \frac{0.02}{0.032} \\ &= 0.625\end{aligned}

מהחלק של מסלול ב' בתוך כלל הפגומים.

מדוע P(B∣D)≠P(D∣B)P(B \mid D) \ne P(D \mid B) כאן?

להציג את התשובה והפתרון

P(D∣B)=0.05P(D \mid B) = 0.05 — «כמה פגום מייצרת ב'», ואילו P(B∣D)=0.625P(B \mid D) = 0.625 — «כמה מהפגומים באו מ-ב'». מכנה אחר, סיפור אחר, ופער עצום בין 5% ל-62.5%.

הבלבול שהורס את הפרק.

P(D)=0.02+0.05=0.07\begin{aligned}P(D) &= 0.02 + 0.05 \\ &= 0.07\end{aligned}
P(D)=0.6⋅0.02+0.4⋅0.05P(D) = 0.6 \cdot 0.02 + 0.4 \cdot 0.05

אי אפשר לחבר אחוזי פגומים בלי לשקלל בנתחי הייצור — 2% מ«הרבה» ו-5% מ«מעט» אינם 7% מכלום.

תרגילים

תרגיל 1

מכונה א' מייצרת 60% מהתפוקה עם 2% פגומים; מכונה ב' — 40% עם 5% פגומים. מה ההסתברות שחלק אקראי פגום? (עשרוני, שלוש ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.032

הפתרון:

0.6⋅0.02+0.4⋅0.050.6 \cdot 0.02 + 0.4 \cdot 0.05
0.012+0.02=0.0320.012 + 0.02 = 0.032
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באותם נתונים: נמצא חלק פגום. מה ההסתברות שהוא ממכונה ב'? (עשרוני, שלוש ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.625

הפתרון:

0.4⋅0.050.032=0.020.032=0.625\begin{aligned}\frac{0.4 \cdot 0.05}{0.032} &= \frac{0.02}{0.032} \\ &= 0.625\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בעיר שני מוקדי מוניות: «מהיר» מבצע 70% מהנסיעות ומאחר ב-10% מהן; «זריז» — 30% ומאחר ב-20%. מה ההסתברות שנסיעה אקראית מאחרת? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.13

הפתרון:

0.7⋅0.1+0.3⋅0.2=0.07+0.06=0.13\begin{aligned}0.7 \cdot 0.1 + 0.3 \cdot 0.2 &= 0.07 + 0.06 \\ &= 0.13\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

באותם נתונים: נסיעה איחרה. מה ההסתברות שהיא של «זריז»? (עגלו לשתי ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.46

הפתרון:

0.060.13≈0.46\frac{0.06}{0.13} \approx 0.46
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בקופסה I שני כדורים לבנים ואחד שחור; בקופסה II — לבן אחד ושחור אחד. מטילים מטבע לבחירת קופסה ושולפים כדור. מה ההסתברות ללבן? (עגלו לשתי ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.58

הפתרון:

12⋅23+12⋅12\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}
13+14=712≈0.58\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12} \approx 0.58
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

באותם נתונים: נשלף לבן. מה ההסתברות שבא מקופסה I? (עגלו לשתי ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.57

הפתרון:

1/37/12=47≈0.57\frac{1/3}{7/12} = \frac{4}{7} \approx 0.57
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מחלה נמצאת אצל 4% מהאוכלוסייה. בדיקה מזהה חולה בהסתברות 0.9, ונותנת «חיובי» שגוי אצל בריא בהסתברות 0.1. מה ההסתברות שבדיקה אקראית תצא חיובית? (עשרוני, שלוש ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.132

הפתרון:

0.04⋅0.9+0.96⋅0.10.04 \cdot 0.9 + 0.96 \cdot 0.1
0.036+0.096=0.1320.036 + 0.096 = 0.132
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

באותם נתונים: הבדיקה יצאה חיובית. מה ההסתברות שהנבדק באמת חולה? (עגלו לשתי ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.27

הפתרון:

0.0360.132≈0.27\frac{0.036}{0.132} \approx 0.27

רוב החיוביים הם בריאים — כי הבריאים רבים פי 24. זו התוצאה המפתיעה המפורסמת של הפרק, והיא הסיבה שרופאים חוזרים על בדיקות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

תלמיד יודע את התשובה ב-70% מהשאלות; כשאינו יודע — מנחש נכון בהסתברות 0.25. מה ההסתברות לתשובה נכונה? (עשרוני, שלוש ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.775

הפתרון:

0.7⋅1+0.3⋅0.25=0.7+0.075=0.775\begin{aligned}0.7 \cdot 1 + 0.3 \cdot 0.25 &= 0.7 + 0.075 \\ &= 0.775\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

באותם נתונים: התשובה נכונה. מה ההסתברות שהתלמיד באמת ידע? (עגלו לשתי ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.9

הפתרון:

0.70.775≈0.9\frac{0.7}{0.775} \approx 0.9
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת