משתנה מקרי · הסתברות · כיתה י״א

מטילים מטבע פעמיים וסופרים כמה «עץ» יצאו. התוצאה — 0, 1 או 2 — היא מספר, אבל מספר שההגרלה בחרה. מספר כזה נקרא משתנה מקרי, ומסמנים אותו $X$ . כל מה שאפשר לדעת עליו נכנס לטבלת התפלגות: הערכים, וההסתברות של כל ערך.

\begin{aligned}P(X=0) &= \frac{1}{4} \\ \quad P(X=1) &= \frac{1}{2} \\ \quad P(X=2) &= \frac{1}{4}\end{aligned}

מהעץ של שתי הטלות: עץ אחד יוצא בשני מסלולים, ולכן הסתברותו כפולה. הסכום — 1, תמיד.

התוחלת $E(X)$ היא הממוצע ארוך-הטווח של המשתנה — כל ערך כפול הסתברותו:

\begin{aligned}E(X) &= 0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} \\ &= 1\end{aligned}

בממוצע — «עץ» אחד לשתי הטלות. הגיוני לגמרי.

מדוע חייבים לבדוק שסכום ההסתברויות בטבלה הוא 1?

להציג את התשובה והפתרון

כי הטבלה מתיימרת לכסות את כל האפשרויות. סכום שונה מ-1 אומר ששכחנו ערך — או שההסתברויות שגויות. זו גם הדרך למצוא הסתברות חסרה.

בטבלה: $P(X=1)=0.2$ , $P(X=3)=0.5$ , $P(X=5)=p$ . מהו $p$ , ומהי התוחלת?

להציג את התשובה והפתרון

$p = 1 - 0.2 - 0.5 = 0.3$ , ואז $E(X) = 1 \cdot 0.2 + 3 \cdot 0.5 + 5 \cdot 0.3 = 3.2$ .

טעות הסימון שעולה נקודות.

E(X) = \frac{0 + 1 + 2}{3}

E(X) = \sum x \cdot P(X = x)

ממוצע פשוט של הערכים שוכח שהם לא שווי-סיכוי. התוחלת היא ממוצע משוקלל בהסתברויות.

תרגילים

תרגיל 1

מטילים מטבע הוגן פעמיים, $X$ = מספר ה«עץ». מהו $P(X = 1)$ ? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

עץ-פלי או פלי-עץ

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באותו ניסוי: מהי התוחלת $E(X)$ ? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

0 \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} = 1

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בטבלת התפלגות: $P(X=2)=0.3$ , $P(X=4)=0.45$ , $P(X=6)=p$ . מהו $p$ ? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25

הפתרון:

\begin{aligned}p &= 1 - 0.3 - 0.45 \\ &= 0.25\end{aligned}

סכום הטבלה חייב להיות 1

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

באותה טבלה: מהי התוחלת $E(X)$ ? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.9

הפתרון:

2 \cdot 0.3 + 4 \cdot 0.45 + 6 \cdot 0.25

0.6 + 1.8 + 1.5 = 3.9

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מטילים קובייה, $X$ = המספר שיצא. מהו $P(X \ge 5)$ ? (עגלו לשתי ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.33

הפתרון:

\{5, 6\} : \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0.33

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מוכרים 100 כרטיסי הגרלה ב-2 שקלים כרטיס, ופרס יחיד של 150 שקלים. $X$ = רווח הקונה של כרטיס אחד. מהי $E(X)$ ? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.5

הפתרון:

E(X) = 148 \cdot \frac{1}{100} + (-2) \cdot \frac{99}{100}

זוכה: 150 פחות 2

= 1.48 - 1.98 = -0.5

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מטילים שתי קוביות, $X$ = הסכום. מהו $P(X = 7)$ ? (עגלו לשתי ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.17

הפתרון:

6 \text{ מתוך } 36

(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)

\frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0.17

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

משתנה מקבל 10 בהסתברות $p$ ו-2 בהסתברות $1-p$ , ותוחלתו 4. מהו $p$ ? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25

הפתרון:

10p + 2(1-p) = 4

\begin{aligned}8p &= 2 \\ \ p &= 0.25\end{aligned}

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בקופסה 3 כדורים ממוספרים 1, 2, 3. שולפים שניים בלי החזרה, $X$ = הגדול מביניהם. מהו $P(X = 3)$ ? (עגלו לשתי ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.67

הפתרון:

\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}

שלושה זוגות שווי-סיכוי

\frac{2}{3} \approx 0.67

בשניים מהם משתתף ה-3 — והוא הגדול

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

באותו ניסוי: מהי התוחלת של $X$ ? (עגלו לשתי ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.67

הפתרון:

\begin{aligned}P(X=2) &= \frac{1}{3} \\ \ P(X=3) &= \frac{2}{3}\end{aligned}

הגדול הוא 2 רק בזוג {1,2}

\begin{aligned}E &= 2 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{2}{3} \\ &= \frac{8}{3} \approx 2.67\end{aligned}

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev