התפלגות בינומית

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

דני חוזר לקלוע — אבל הפעם שלוש זריקות, ואנחנו שואלים: מה ההסתברות לבדיוק שתי פגיעות? העץ כבר גדול — שמונה מסלולים — אבל יש קיצור דרך, כי כל המסלולים עם שתי פגיעות שווי הסתברות: p2qp^2 q כל אחד. נשאר רק לספור כמה כאלה יש.

P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

מספר המסלולים (nk)\binom{n}{k}, כפול ההסתברות של מסלול אחד.

שלוש זריקות, שתי פגיעות

n=3n = 3, k=2k = 2, p=23p = \frac{2}{3}.

(32)=3\binom{3}{2} = 3

ההחטאה יכולה ליפול בזריקה 1, 2 או 3

P=3⋅(23)2⋅13=1227=49\begin{aligned}P &= 3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \frac{1}{3} \\ &= \frac{12}{27} \\ &= \frac{4}{9}\end{aligned}

מהם ארבעת התנאים לניסוי בינומי?

להציג את התשובה והפתרון

מספר קבוע של חזרות nn; כל חזרה מצליחה או נכשלת (שתי תוצאות); אותה הסתברות pp בכל חזרה; והחזרות בלתי תלויות. שליפה בלי החזרה, למשל, מפרה את שני האחרונים.

מהי תוחלת מספר הפגיעות בשלוש זריקות של דני?

להציג את התשובה והפתרון

בבינומית E(X)=np=3⋅23=2E(X) = np = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2. שלוש הזדמנויות, כל אחת «שווה» שני שלישים.

מה שנשכח בלחץ של מבחן.

P(X=2)=p2(1−p)P(X = 2) = p^2 (1-p)
P(X=2)=(32)p2(1−p)P(X = 2) = \binom{3}{2} p^2 (1-p)

בלי המקדם — חישבתם מסלול אחד ושכחתם ששניים נוספים מגשימים את אותו מאורע.

P(X≥1)=P(X=1)P(X \ge 1) = P(X = 1)
P(X≥1)=1−(1−p)nP(X \ge 1) = 1 - (1-p)^n

«לפחות אחת» כולל גם שתיים ושלוש. המשלים — «אף לא אחת» — קצר בהרבה.

תרגילים

תרגיל 1

מטילים מטבע הוגן 3 פעמים. מה ההסתברות לבדיוק 2 «עץ»? (עשרוני, שלוש ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.375

הפתרון:

(32)⋅0.52⋅0.5=3⋅0.125=0.375\begin{aligned}\binom{3}{2} \cdot 0.5^2 \cdot 0.5 &= 3 \cdot 0.125 \\ &= 0.375\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מטילים מטבע הוגן 4 פעמים. מה ההסתברות לבדיוק 2 «עץ»? (עשרוני, שלוש ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.375

הפתרון:

(42)=6\binom{4}{2} = 6
6⋅0.54=616=0.375\begin{aligned}6 \cdot 0.5^4 &= \frac{6}{16} \\ &= 0.375\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

דני קולע בהסתברות 23\frac{2}{3} וזורק 3 זריקות. מה ההסתברות לבדיוק 2 פגיעות? (עגלו לשתי ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.44

הפתרון:

(32)(23)213=1227=49≈0.44\begin{aligned}\binom{3}{2} \left(\frac{2}{3}\right)^2 \frac{1}{3} &= \frac{12}{27} \\ &= \frac{4}{9} \approx 0.44\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

קולע בהסתברות 0.9 זורק 3 זריקות. מה ההסתברות לשלוש פגיעות? (עשרוני, שלוש ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.729

הפתרון:

0.93=0.7290.9^3 = 0.729

מסלול אחד — אין מה לספור

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

תלמיד מנחש בכל שאלה מתוך 3, בהסתברות הצלחה 0.8 לשאלה. מה ההסתברות שיצליח לפחות באחת? (עשרוני, שלוש ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.992

הפתרון:

1−0.23=1−0.008=0.992\begin{aligned}1 - 0.2^3 &= 1 - 0.008 \\ &= 0.992\end{aligned}

דרך המשלים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מטילים מטבע הוגן 4 פעמים. מה ההסתברות לבדיוק 3 «עץ»? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25

הפתרון:

(43)⋅0.54=416=0.25\begin{aligned}\binom{4}{3} \cdot 0.5^4 &= \frac{4}{16} \\ &= 0.25\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מהי תוחלת מספר ה«עץ» ב-10 הטלות מטבע הוגן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

E(X)=np=10⋅0.5=5\begin{aligned}E(X) &= np \\ &= 10 \cdot 0.5 \\ &= 5\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

זרע נובט בהסתברות 0.9. שותלים 4 זרעים. מה ההסתברות שלפחות 3 ינבטו? (עגלו לשתי ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.95

הפתרון:

P(4)=0.94=0.6561\begin{aligned}P(4) &= 0.9^4 \\ &= 0.6561\end{aligned}
P(3)=(43)0.93⋅0.1=0.2916\begin{aligned}P(3) &= \binom{4}{3} 0.9^3 \cdot 0.1 \\ &= 0.2916\end{aligned}
0.6561+0.2916≈0.950.6561 + 0.2916 \approx 0.95

«לפחות 3» = בדיוק 3 או בדיוק 4

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

שולפים 3 קלפים בלי החזרה וסופרים כמה אדומים. מדוע זו אינה התפלגות בינומית?

  1. כי יש יותר משתי תוצאות
  2. ההסתברות משתנה משליפה לשליפה
  3. כי אי אפשר לספור הצלחות
  4. זו כן בינומית
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב ההסתברות משתנה משליפה לשליפה

הפתרון:

p2≠p1p_2 \ne p_1

אחרי אדום ראשון — נשארו פחות אדומים

בלי החזרה השליפות תלויות זו בזו וההסתברות זזה. עם החזרה — הייתה בינומית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

קולע בהסתברות 0.9 זורק 4 זריקות. מה ההסתברות שיחטיא לפחות פעמיים? (עגלו לשלוש ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.052

הפתרון:

P(0 החטאות)=0.94=0.6561\begin{aligned}P(0 \text{ החטאות}) &= 0.9^4 \\ &= 0.6561\end{aligned}
P(1)=(41)0.1⋅0.93=0.2916\begin{aligned}P(1) &= \binom{4}{1} 0.1 \cdot 0.9^3 \\ &= 0.2916\end{aligned}
1−0.6561−0.2916≈0.0521 - 0.6561 - 0.2916 \approx 0.052
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת