ההתפלגות הנורמלית

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

גבהים, ציוני מבחן ארצי, משקלי תפוחים — כשהרבה גורמים קטנים מצטברים, ההתפלגות מקבלת צורת פעמון: רוב התצפיות ליד האמצע, וזנבות דקים בקצוות. שני מספרים מגדירים את הפעמון כולו: התוחלת μ\mu — מרכז הפעמון, וסטיית התקן σ\sigma — כמה הוא רחב.

הכלל 68–95–99.7

P(μ−σ<X<μ+σ)≈0.68P(\mu - \sigma < X < \mu + \sigma) \approx 0.68

כ-68% מהתצפיות נופלות במרחק סטיית תקן אחת מהמרכז; 95% בתוך שתיים; 99.7% בתוך שלוש.

ציוני מבחן ארצי

ציונים מתפלגים נורמלית עם μ=70\mu = 70 ו-σ=10\sigma = 10.

P(60<X<80)≈0.68P(60 < X < 80) \approx 0.68

סטיית תקן אחת לכל כיוון

P(X>70)=0.5P(X > 70) = 0.5

הפעמון סימטרי סביב התוחלת

P(70<X<80)≈0.34P(70 < X < 80) \approx 0.34

חצי מה-68%

באותו מבחן — איזה אחוז מהנבחנים מעל 90?

להציג את התשובה והפתרון

90 הוא μ+2σ\mu + 2\sigma. מחוץ לתחום ±2σ\pm 2\sigma נמצאים 5%, וחצי מהם — 2.5% — בזנב העליון.

ציון התקן z

כדי להשוות בין פעמונים שונים מתרגמים כל ערך ל«כמה סטיות תקן מהמרכז»:

z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

ציון 85 במבחן שלנו: z=85−7010=1.5z = \frac{85 - 70}{10} = 1.5 — סטייה וחצי מעל הממוצע.

ציון 95 בקורס עם μ=80,σ=10\mu = 80, \sigma = 10, או ציון 60 בקורס עם μ=50,σ=5\mu = 50, \sigma = 5 — מי מרשים יותר?

להציג את התשובה והפתרון

הראשון: z=1.5z = 1.5. השני: z=2z = 2 — מרשים יותר, אף שהמספר הגולמי קטן. ציון התקן מודד ביחס לקבוצה, לא במוחלט.

מה לא לעשות עם פעמון.

P(X=70)=0.5P(X = 70) = 0.5
P(X>70)=0.5P(X > 70) = 0.5

בהתפלגות רציפה ההסתברות של ערך בודד היא אפס — מדברים תמיד על תחומים.

תרגילים

תרגיל 1

משקל תפוח מתפלג נורמלית: μ=200\mu = 200 גרם, σ=20\sigma = 20. איזה אחוז מהתפוחים שוקל בין 180 ל-220 גרם? (באחוזים)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 68

הפתרון:

180=μ−σ 220=μ+σ\begin{aligned}180 &= \mu - \sigma \\ \ 220 &= \mu + \sigma\end{aligned}
≈68%\approx 68\%
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באותם נתונים: איזה אחוז שוקל בין 160 ל-240 גרם? (באחוזים)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 95

הפתרון:

μ±2σ\mu \pm 2\sigma
≈95%\approx 95\%
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

באותם נתונים: מה ההסתברות שתפוח שוקל יותר מ-200 גרם? (עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

200=μ200 = \mu

הפעמון סימטרי סביב המרכז

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

באותם נתונים: איזה אחוז שוקל בין 200 ל-220? (באחוזים)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 34

הפתרון:

682=34\frac{68}{2} = 34

חצי מתחום הסטייה האחת

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

באותם נתונים: איזה אחוז שוקל יותר מ-240 גרם? (באחוזים, עשרוני)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.5

הפתרון:

240=μ+2σ240 = \mu + 2\sigma
100−952=2.5%\frac{100 - 95}{2} = 2.5\%

חצי מהזנבות

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ציוני מבחן: μ=70\mu = 70, σ=10\sigma = 10. מהו ציון התקן של 85?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.5

הפתרון:

z=85−7010=1.5\begin{aligned}z &= \frac{85 - 70}{10} \\ &= 1.5\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

באותו מבחן: מהו ציון התקן של 55?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1.5

הפתרון:

z=55−7010=−1.5\begin{aligned}z &= \frac{55 - 70}{10} \\ &= -1.5\end{aligned}

מתחת לממוצע — שלילי

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

לאיזה ציון גולמי מתאים z=2z = 2 במבחן עם μ=70,σ=10\mu = 70, \sigma = 10?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 90

הפתרון:

x=μ+zσ=70+20=90\begin{aligned}x &= \mu + z\sigma \\ &= 70 + 20 \\ &= 90\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נועה קיבלה 82 בקורס עם μ=70,σ=6\mu = 70, \sigma = 6; עומר קיבל 88 בקורס עם μ=80,σ=8\mu = 80, \sigma = 8. מי השיג הישג יחסי גבוה יותר?

  1. שווה בדיוק
  2. עומר
  3. אי אפשר להשוות
  4. נועה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד נועה

הפתרון:

zנועה=126=2zעומר=88=1\begin{aligned}z_{\text{נועה}} &= \frac{12}{6} \\ &= 2 \\ \quad z_{\text{עומר}} &= \frac{8}{8} \\ &= 1\end{aligned}

ציון התקן מנרמל את שני הפעמונים לאותו סרגל — ושתי סטיות תקן גוברות על אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

גובה מתפלג נורמלית: μ=170\mu = 170 ס״מ, σ=8\sigma = 8. מהו ציון התקן של 150 ס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2.5

הפתרון:

z=150−1708=−208=−2.5\begin{aligned}z &= \frac{150 - 170}{8} \\ &= \frac{-20}{8} \\ &= -2.5\end{aligned}
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת