פותרים יחד · הסתברות · כיתה י״א

ארבע שאלות בסגנון שאלה 3 בבגרות: הסתברות שלמה עם פרמטר $p$ ובייס, «לפחות פעם אחת» ומספר הניסיונות הקטן ביותר, בינומית שבה $p$ לא ידוע, ו«בדיוק $k$ הצלחות כשהאחרונה הצלחה». כל שאלה נפתרת יחד, שלב אחרי שלב. שאלה תאומה מחכה לכם למטה, לפתור לבד.

לפני כל חישוב כתבו במילים מה ההצלחה, מה $p$ ומה $n$ . חצי מהטעויות בפרק הן הצלחה שהוגדרה הפוך.

1 — פרמטר $p$ , בייס, ואז בינומית

פעילות אינטראקטיבית

בבית ספר, חלק $p$ מהתלמידים מגיעים באוטובוס והשאר ברגל. מבין מי שמגיעים באוטובוס, $30\%$ מאחרים; מבין מי שמגיעים ברגל, $10\%$ מאחרים. ההסתברות שתלמיד אקראי מאחר היא $0.18$ . א. מצאו את $p$ . ב. תלמיד איחר. מה ההסתברות שהגיע באוטובוס? ג. בוחרים באקראי $5$ תלמידים. מה ההסתברות שבדיוק $2$ מהם מאחרים?

\begin{aligned}P(L) &= 0.3p+0.1(1-p) \\ &= 0.18\end{aligned}

לחצו «להתחיל». העץ: הקומה הראשונה היא הדרך לבית הספר, השנייה היא האיחור.

עץ

P(L)=p\cdot 0.3+(1-p)\cdot 0.1

הסתברות שלמה: שני מסלולים מגיעים לאיחור.

א.

\begin{aligned}0.1+0.2p &= 0.18 \ \Rightarrow \ p \\ &= 0.4\end{aligned}

$40\%$ מגיעים באוטובוס.

ב. מונה

\begin{aligned}P(B\cap L) &= 0.4\cdot 0.3 \\ &= 0.12\end{aligned}

המסלול «אוטובוס ואיחור».

ב.

\begin{aligned}P(B\mid L) &= \frac{0.12}{0.18} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

המכנה הוא כל המאחרים.

ג. בינומית

\begin{aligned}n &= 5 \\ \quad k &= 2 \\ \quad p_L &= 0.18\end{aligned}

ההצלחה כאן היא «מאחר», בהסתברות $0.18$ , לא $p$ .

ג.

\binom{5}{2}\cdot 0.18^2\cdot 0.82^3\approx 0.179

$10\cdot 0.0324\cdot 0.5514$

שלושה $p$ שונים בשאלה אחת: $p=0.4$ , $P(L)=0.18$ ו- $P(B\mid L)=\frac{2}{3}$ . בסעיף ג משתמשים ב- $0.18$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

למה $P(B\mid L)=\frac{2}{3}$ גדול בהרבה מ- $p=0.4$ ?

להציג את התשובה והפתרון

כי מי שמגיע באוטובוס מאחר פי שלושה. האיחור «מעיד» על האוטובוס: מבין המאחרים, $0.12$ מתוך $0.18$ באו באוטובוס.

השאלה התאומה: שאלה 1 ברשימה למטה.

2 — «לפחות פעם אחת»: כמה ניסיונות צריך?

פעילות אינטראקטיבית

מספר השיחות הקטן ביותר

בכל שיחה למוקד שירות, ההסתברות לקבל מענה היא $0.4$ , בלי תלות בין השיחות. מהו מספר השיחות הקטן ביותר שדרוש כדי שההסתברות לקבל מענה לפחות פעם אחת תהיה $0.9$ לפחות?

$5$

$3$

$4$

$6$

איך מחשבים «לפחות פעם אחת» ב- $n$ שיחות?

$1-0.6^n$

להציג את התשובה והפתרון

המשלים של «אף פעם»: כל $n$ השיחות בלי מענה.

$n\cdot 0.4$

להציג את התשובה והפתרון

זו התוחלת, והיא עוברת את $1$ כש- $n \geq 3$ . הסתברות לא יכולה להיות יותר מ- $1$ .

P(X \geq 1)=1-0.6^n

$0.6$ : ההסתברות שלא עונים.

איזה אי-שוויון צריך לפתור?

$0.6^n \leq 0.1$

להציג את התשובה והפתרון

$1-0.6^n \geq 0.9$ .

$0.6^n \geq 0.1$

להציג את התשובה והפתרון

הכיוון מתהפך כשמעבירים אגף עם מינוס.

0.6^n \leq 0.1

בלי לוגריתם: מנסים ערכים.

מה נותנים הניסיונות?

$0.6^4=0.1296$ ו- $0.6^5=0.07776$

להציג את התשובה והפתרון

$0.6^4>0.1$ עדיין, $0.6^5 \leq 0.1$ .

$0.6^3=0.216$ ו- $0.6^4=0.0776$

להציג את התשובה והפתרון

$0.6^4=0.1296$ . בדקו שוב.

0.6^4=0.1296>0.1 \qquad 0.6^5\approx 0.078 \leq 0.1

$n=5$ הוא הראשון שמתאים.

להציג את התשובה והפתרון

$5$ שיחות. עם $4$ שיחות ההסתברות היא $0.87$ בלבד. והמשלים הוא «אף פעם», לא «בדיוק פעם אחת».

לעשות את הפעילות ב-elev

אם ההסתברות למענה בכל שיחה הייתה $0.5$ , כמה שיחות היו צריכות כדי להגיע ל- $0.9$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$4$ . $0.5^3=0.125>0.1$ , ו- $0.5^4=0.0625 \leq 0.1$ .

השאלה התאומה: שאלה 2 ברשימה למטה.

3 — בינומית שבה $p$ לא ידוע

פעילות אינטראקטיבית

שחקנית קולעת לסל בהסתברות קבועה $p$ , בלי תלות בין הזריקות. ההסתברות שתחטיא בכל $4$ הזריקות היא $0.0081$ . א. מצאו את $p$ . ב. מה ההסתברות שתקלע בדיוק $3$ מתוך $4$ זריקות? ג. ידוע שקלעה לפחות $3$ מתוך $4$ . מה ההסתברות שקלעה בכל ה- $4$ ?

(1-p)^4=0.0081

לחצו «להתחיל». «מחטיאה בכל הזריקות» הוא $k=0$ : רק מסלול אחד.

א.

\begin{aligned}(1-p)^4 &= 0.0081 \ \Rightarrow \ 1-p \\ &= 0.3 \ \Rightarrow \ p \\ &= 0.7\end{aligned}

$0.3^4=0.0081$ . השורש הרביעי חיובי כי $1-p>0$ .

ב.

\begin{aligned}\binom{4}{3}\cdot 0.7^3\cdot 0.3 &= 4\cdot 0.343\cdot 0.3 \\ &= 0.4116\end{aligned}

ארבעה מסלולים: ההחטאה יכולה להיות בכל אחת מהזריקות.

ג. מכנה

\begin{aligned}P(X \geq 3) &= 0.4116+0.7^4 \\ &= 0.4116+0.2401 \\ &= 0.6517\end{aligned}

«לפחות $3$ » הוא $3$ או $4$ .

ג.

P(X=4\mid X \geq 3)=\frac{0.2401}{0.6517}\approx 0.37

המאורע $X=4$ כלול ב- $X \geq 3$ , ולכן החיתוך הוא $X=4$ .

בסעיף ג המכנה הוא הנתון («לפחות $3$ »), לא $1$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

בלי המידע «קלעה לפחות $3$ », מה ההסתברות שקלעה בכל ה- $4$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$0.7^4=0.2401$ . המידע הנוסף מגדיל אותה לכ- $0.37$ , כי הוא מוחק את כל המסלולים עם שתי החטאות או יותר.

השאלה התאומה: שאלה 3 ברשימה למטה.

4 — בדיוק $k$ הצלחות, והאחרונה הצלחה

פעילות אינטראקטיבית

$3$ הצלחות ב- $5$ ניסיונות, האחרון הצלחה

במשחק, ההסתברות לנצח בכל סיבוב היא $0.6$ , בלי תלות בין הסיבובים. משחקים $5$ סיבובים. מה ההסתברות לנצח בדיוק ב- $3$ סיבובים, כשהסיבוב החמישי הוא אחד מהם?

$0.207$

$0.346$

$0.216$

$0.138$

מה קורה בסיבוב החמישי?

ניצחון, בהסתברות $0.6$

להציג את התשובה והפתרון

זה נתון בשאלה.

כל תוצאה

להציג את התשובה והפתרון

השאלה קובעת שהחמישי הוא ניצחון.

p_5=0.6

נשארים $2$ ניצחונות לחלק בין $4$ הסיבובים הראשונים.

כמה מסלולים יש בארבעת הסיבובים הראשונים?

$\binom{4}{2}=6$

להציג את התשובה והפתרון

בוחרים איפה שני הניצחונות מתוך ארבעה.

$\binom{5}{3}=10$

להציג את התשובה והפתרון

זה סופר גם מסלולים שבהם החמישי הפסד.

\binom{4}{2}\cdot 0.6^2\cdot 0.4^2

בינומית על $4$ הסיבובים הראשונים.

מה התוצאה?

$6\cdot 0.6^2\cdot 0.4^2\cdot 0.6\approx 0.207$

להציג את התשובה והפתרון

הכפל ב- $0.6$ של הסיבוב החמישי.

$6\cdot 0.6^2\cdot 0.4^2\approx 0.346$

להציג את התשובה והפתרון

שכחתם את הסיבוב החמישי.

6\cdot 0.216\cdot 0.16=0.20736

$\approx 0.207$

להציג את התשובה והפתרון

$0.207$ . $\binom{5}{3}\cdot 0.6^3\cdot 0.4^2\approx 0.346$ היא ההסתברות ל- $3$ ניצחונות בלי תנאי על הסיבוב האחרון. והיא יוצאת במקרה שווה לתשובה בלי הכפל ב- $0.6$ .

לעשות את הפעילות ב-elev

למה $\binom{5}{3}\cdot 0.6^3\cdot 0.4^2$ ו- $\binom{4}{2}\cdot 0.6^2\cdot 0.4^2$ נותנים אותו מספר כאן?

להציג את התשובה והפתרון

צירוף מקרים של המספרים. $10\cdot 0.6=6$ : היחס בין $\binom{5}{3}$ ל- $\binom{4}{2}$ הוא $\frac{10}{6}$ , ו- $\frac{1}{0.6}=\frac{10}{6}$ . עם $p$ אחר השוויון נעלם, ולכן לא סומכים עליו.

השאלה התאומה: שאלה 4 ברשימה למטה. שאלה 5 בודקת הבנה.

תרגילים

תרגיל 1

במקום עבודה, חלק $p$ מהעובדים מגיעים ברכבת והשאר ברכב. מבין מי שמגיעים ברכבת, $20\%$ מאחרים; מבין מי שמגיעים ברכב, $5\%$ . ההסתברות שעובד אקראי מאחר היא $0.11$ . מצאו את $p$ , ואת ההסתברות שעובד שאיחר הגיע ברכבת. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

$p=$ ____ , עובד שאיחר הגיע ברכבת בהסתברות ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $p=$ 0.4 , עובד שאיחר הגיע ברכבת בהסתברות 0.7272727272727273

הפתרון:

0.2p+0.05(1-p)=0.11

הסתברות שלמה

\begin{aligned}0.15p &= 0.06 \ \Rightarrow \ p \\ &= 0.4\end{aligned}

פותרים

\frac{0.4\cdot 0.2}{0.11}=\frac{0.08}{0.11}\approx 0.73

בייס

המכנה בבייס הוא $0.11$ , כל המאחרים. מי שמחלק ב- $0.4$ מקבל $0.2$ : ההסתברות לאחר בתנאי רכבת, השאלה ההפוכה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

צלף פוגע במטרה בהסתברות $0.3$ בכל ירייה, בלי תלות בין היריות. מהו מספר היריות הקטן ביותר שדרוש כדי שההסתברות לפגוע לפחות פעם אחת תהיה $0.8$ לפחות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

1-0.7^n \geq 0.8 \ \Rightarrow \ 0.7^n \leq 0.2

המשלים

0.7^4=0.2401>0.2

לא מספיק

0.7^5\approx 0.168 \leq 0.2

מספיק

הכיוון של האי-שוויון מתהפך במעבר $1-0.7^n \geq 0.8$ ל- $0.7^n \leq 0.2$ . התשובה $4$ עוצרת צעד אחד מוקדם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מכונה מייצרת חלק תקין בהסתברות $p$ , בלי תלות בין החלקים. ההסתברות שכל $3$ החלקים בסדרה פגומים היא $0.064$ . מצאו את $p$ ואת ההסתברות שבדיוק $2$ מתוך $3$ חלקים תקינים.

$p=$ ____ , $P(X=2)=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $p=$ 0.6 , $P(X=2)=$ 0.432

הפתרון:

\begin{aligned}(1-p)^3 &= 0.064 \ \Rightarrow \ 1-p \\ &= 0.4\end{aligned}

שורש שלישי

p=0.6

ההסתברות לתקין

\binom{3}{2}\cdot 0.6^2\cdot 0.4=0.432

בינומית

$0.4$ הוא ההסתברות לפגום. מי שעונה $p=0.4$ הפך את ההצלחה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ההסתברות לנצח בכל סיבוב היא $0.4$ , בלי תלות בין הסיבובים. משחקים $4$ סיבובים. מה ההסתברות לנצח בדיוק ב- $2$ סיבובים, כשהסיבוב הרביעי הוא אחד מהם? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.1728

הפתרון:

\binom{3}{1}\cdot 0.4\cdot 0.6^2

ניצחון אחד בשלושת הראשונים

\cdot 0.4

הרביעי ניצחון

3\cdot 0.4\cdot 0.36\cdot 0.4=0.1728\approx 0.17

התוצאה

$\binom{4}{2}\cdot 0.4^2\cdot 0.6^2\approx 0.35$ לא דורש שהרביעי יהיה ניצחון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הוכיחו או הפריכו: $P(A)=0.5$ , $P(B)=0.4$ ו- $P(A\cap B)=0.2$ . המאורעות $A$ ו- $B$ בלתי תלויים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}P(A)\cdot P(B) &= 0.5\cdot 0.4 \\ &= 0.2\end{aligned}

מכפלת ההסתברויות

\begin{aligned}P(A\cap B) &= 0.2 \\ &= P(A)\cdot P(B)\end{aligned}

שוויון

הטענה נכונה. אי-תלות נבדקת במספרים: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$ . אפשר גם $P(A\mid B)=\frac{0.2}{0.4}=0.5=P(A)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

1 — פרמטר ppp, בייס, ואז בינומית

2 — «לפחות פעם אחת»: כמה ניסיונות צריך?

3 — בינומית שבה ppp לא ידוע

4 — בדיוק kkk הצלחות, והאחרונה הצלחה

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

1 — פרמטר $p$ , בייס, ואז בינומית

3 — בינומית שבה $p$ לא ידוע

4 — בדיוק $k$ הצלחות, והאחרונה הצלחה