סדרה 1 — קל

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות קצרות על כל הפרק: נוסחת ברנולי, «לפחות פעם אחת», מקדם בינומי, הסתברות שלמה ובייס, אי-תלות ופרמטר pp. כל שאלה דורשת צעד אחד או שניים.

לפני כל שאלה שאלו: יש מסלול אחד או כמה? אם כמה, מי סופר אותם: (nk)\binom{n}{k} או עץ?

תרגילים

תרגיל 1

מטילים מטבע הוגן 55 פעמים. מה ההסתברות לקבל בדיוק 33 פעמים «עץ»? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.3125

הפתרון:

(53)=10\binom{5}{3}=10

מספר המסלולים

10⋅0.53⋅0.52=1032=0.3125\begin{aligned}10\cdot 0.5^3\cdot 0.5^2 &= \frac{10}{32} \\ &= 0.3125\end{aligned}

ההסתברות

בלי המקדם (53)\binom{5}{3} יוצא 132\frac{1}{32}: ההסתברות של מסלול אחד בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מטילים קובייה הוגנת 33 פעמים. מה ההסתברות לקבל 66 לפחות פעם אחת? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.4212962962962963

הפתרון:

P(X=0)=(56)3=125216\begin{aligned}P(X=0) &= \left(\frac{5}{6}\right)^3 \\ &= \frac{125}{216}\end{aligned}

XX מספר השישיות: אף פעם 66

1−125216=91216≈0.421-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}\approx 0.42

המשלים

3⋅16=0.53\cdot\frac{1}{6}=0.5 היא טעות: היא סופרת פעמיים את המסלולים עם יותר משש אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו (62)\binom{6}{2}?

  1. 3636
  2. 3030
  3. 1515
  4. 1212
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 1515

הפתרון:

(62)=6⋅52⋅1\binom{6}{2}=\frac{6\cdot 5}{2\cdot 1}

נוסחת המקדם

=15=15

התוצאה

הנכונה: 1515. 3030 שוכח לחלק ב-2!2!, כלומר סופר כל זוג פעמיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

חצי מהמנורות במחסן מספק א ו-10%10\% מהן פגומות; החצי השני מספק ב ו-30%30\% מהן פגומות. מה ההסתברות שמנורה אקראית פגומה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.2

הפתרון:

0.5⋅0.1+0.5⋅0.30.5\cdot 0.1+0.5\cdot 0.3

הסתברות שלמה

=0.05+0.15=0.2=0.05+0.15=0.2

מחברים

חיבור 0.1+0.3=0.40.1+0.3=0.4 שוכח את המשקל של כל ספק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

באותו מחסן (חצי מספק א עם 10%10\% פגומות, חצי מספק ב עם 30%30\% פגומות) נמצאה מנורה פגומה. מה ההסתברות שהיא מספק א?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25

הפתרון:

P(A∩D)=0.5⋅0.1=0.05\begin{aligned}P(A\cap D) &= 0.5\cdot 0.1 \\ &= 0.05\end{aligned}

המסלול

P(A∣D)=0.050.2=0.25\begin{aligned}P(A\mid D) &= \frac{0.05}{0.2} \\ &= 0.25\end{aligned}

מחלקים בכל הפגומות

0.10.1 הוא P(D∣A)P(D\mid A), ההסתברות ההפוכה. בבייס המכנה הוא ההסתברות השלמה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתון: P(A∩B)=0.12P(A\cap B)=0.12 ו-P(B)=0.4P(B)=0.4. מהי P(A∣B)P(A\mid B)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.3

הפתרון:

P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}

ההגדרה

=0.120.4=0.3=\frac{0.12}{0.4}=0.3

מציבים

המכנה הוא ההסתברות של המאורע הנתון, BB. 0.12⋅0.40.12\cdot 0.4 אינו הסתברות מותנית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

באיזה מהניסויים מספר ההצלחות מתפלג בינומית?

  1. שולפים 44 כדורים עם החזרה מכד, וסופרים כמה אדומים
  2. מודדים את הגובה של 44 תלמידים
  3. שולפים 44 כדורים בלי החזרה מכד, וסופרים כמה אדומים
  4. מטילים מטבע עד שיוצא «עץ», וסופרים כמה הטלות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א שולפים 44 כדורים עם החזרה מכד, וסופרים כמה אדומים

הפתרון:

n=4n=4

מספר ניסיונות קבוע

p1=p2=p3=p4\begin{aligned}p_1 &= p_2 \\ &= p_3 \\ &= p_4\end{aligned}

עם החזרה הכד חוזר למצבו: אותה הסתברות לאדום בכל שליפה

הנכונה: עם החזרה. בלי החזרה ההסתברות משתנה משליפה לשליפה. ובניסוי «עד שיוצא עץ» מספר הניסיונות אינו קבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

זרע נובט בהסתברות 0.80.8. שותלים 44 זרעים, בלי תלות ביניהם. מה ההסתברות שכולם ינבטו? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.4096

הפתרון:

(44)⋅0.84\binom{4}{4}\cdot 0.8^4

k=nk=n: מסלול אחד

=0.4096≈0.41=0.4096\approx 0.41

מחשבים

לא 4⋅0.84\cdot 0.8: זה יותר מ-11. «כולם» הוא מכפלה של 44 הסתברויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

AA ו-BB מאורעות בלתי תלויים, P(A)=0.3P(A)=0.3 ו-P(B)=0.5P(B)=0.5. מהי P(A∪B)P(A\cup B)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.65

הפתרון:

P(A∩B)=0.3⋅0.5=0.15\begin{aligned}P(A\cap B) &= 0.3\cdot 0.5 \\ &= 0.15\end{aligned}

אי-תלות

P(A∪B)=0.3+0.5−0.15=0.65\begin{aligned}P(A\cup B) &= 0.3+0.5-0.15 \\ &= 0.65\end{aligned}

נוסחת האיחוד

0.3+0.5=0.80.3+0.5=0.8 סופר פעמיים את החיתוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

חלק pp מהנוסעים בקו אוטובוס משלמים בכרטיס חופשי-חודשי. מבין בעלי החופשי-חודשי, 30%30\% נוסעים בשעות העומס; מבין האחרים, 10%10\%. ההסתברות שנוסע אקראי נוסע בשעות העומס היא 0.160.16. מהו pp?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.3

הפתרון:

0.3p+0.1(1−p)=0.160.3p+0.1(1-p)=0.16

הסתברות שלמה

0.2p=0.06 ⇒ p=0.3\begin{aligned}0.2p &= 0.06 \ \Rightarrow \ p \\ &= 0.3\end{aligned}

פותרים

מי שכותב 0.3p+0.1p0.3p+0.1p שכח שהענף השני הוא 1−p1-p, לא pp.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת