סדרה 2 — בינוני

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות של שני צעדים ויותר: «לפחות» ו«לכל היותר», pp לא ידוע, בייס עם פרמטר, בינומית מותנית, שליפה בלי החזרה ו«ההטלה האחרונה הצלחה».

«לפחות» ו«לכל היותר» נפתרים לעתים קרובות מהר יותר במשלים. כתבו קודם אילו ערכים של XX נכנסים.

תרגילים

תרגיל 1

בכל יום, ההסתברות שירד גשם היא 0.30.3, בלי תלות בין הימים. מה ההסתברות שבשבוע של 55 ימי עבודה ירד גשם ב-22 ימים לפחות? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.47178

הפתרון:

P(X=0)=0.75≈0.168P(X=0)=0.7^5\approx 0.168

אף יום

P(X=1)=5⋅0.3⋅0.74≈0.360P(X=1)=5\cdot 0.3\cdot 0.7^4\approx 0.360

יום אחד

1−0.168−0.360≈0.471-0.168-0.360\approx 0.47

המשלים

המשלים של «לפחות 22» הוא «00 או 11». מי שמחסר רק את P(X=1)P(X=1) או רק את P(X=0)P(X=0) שוכח מקרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

תלמיד מנחש בשאלון אמריקאי: בכל שאלה 44 תשובות, ורק אחת נכונה. בשאלון 44 שאלות. מה ההסתברות שיצדק בשאלה אחת לכל היותר? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.73828125

הפתרון:

P(X=0)=0.754≈0.316P(X=0)=0.75^4\approx 0.316

אף שאלה

P(X=1)=4⋅0.25⋅0.753≈0.422P(X=1)=4\cdot 0.25\cdot 0.75^3\approx 0.422

בדיוק אחת

0.316+0.422≈0.740.316+0.422\approx 0.74

מחברים

«לכל היותר 11» כולל את 00. מי שעונה 0.420.42 חישב רק «בדיוק 11».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בניסוי בינומי, ההסתברות לשתי הצלחות בשני ניסיונות היא 0.490.49. מהי ההסתברות להצלחה בניסיון אחד?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.7

הפתרון:

p2=0.49p^2=0.49

שתי הצלחות: מסלול אחד

p=0.7p=0.7

p>0p>0

לא (21)\binom{2}{1}: «שתיים מתוך שתיים» הוא מסלול אחד בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מפעל קונה ברגים משני ספקים. חלק pp מהברגים מספק א, ש-4%4\% מהברגים שלו פגומים; השאר מספק ב, ש-1%1\% מהברגים שלו פגומים. ידוע שבורג פגום מגיע מספק א בהסתברות 0.50.5. מהו pp?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.2

הפתרון:

P(A∣D)=0.04p0.04p+0.01(1−p)=0.5\begin{aligned}P(A\mid D) &= \frac{0.04p}{0.04p+0.01(1-p)} \\ &= 0.5\end{aligned}

בייס

0.04p=0.01(1−p) ⇒ 0.05p=0.01\begin{aligned}0.04p &= 0.01(1-p) \ \Rightarrow \ 0.05p \\ &= 0.01\end{aligned}

המונה שווה לחצי המכנה

p=0.2p=0.2

פותרים

חצי מהפגומים מכל ספק, אבל רק 20%20\% מהברגים מספק א: הוא פגום פי 44, ולכן הוא מספק חצי מהפגומים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מטילים מטבע הוגן 44 פעמים. ידוע שיצא «עץ» לפחות פעם אחת. מה ההסתברות שיצא «עץ» בדיוק פעם אחת? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.26666666666666666

הפתרון:

P(X=1)=416P(X=1)=\frac{4}{16}

בדיוק פעם אחת

P(X≥1)=1−116=1516\begin{aligned}P(X \geq 1) &= 1-\frac{1}{16} \\ &= \frac{15}{16}\end{aligned}

התנאי

4/1615/16=415≈0.27\frac{4/16}{15/16}=\frac{4}{15}\approx 0.27

מותנית

בלי התנאי התשובה 0.250.25. המידע «לפחות פעם» מוחק מסלול אחד, ולכן ההסתברות עולה קצת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בכד I שלושה כדורים לבנים ושניים שחורים; בכד II כדור לבן אחד וארבעה שחורים. בוחרים כד בהטלת מטבע, ושולפים ממנו שני כדורים בלי החזרה. מה ההסתברות ששני הכדורים לבנים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.15

הפתרון:

I: 35⋅24=0.3I: \ \frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=0.3

בכד I, בלי החזרה

II: 0II: \ 0

בכד II יש רק לבן אחד

0.5⋅0.3+0.5⋅0=0.150.5\cdot 0.3+0.5\cdot 0=0.15

הסתברות שלמה

בלי החזרה השליפה השנייה היא 24\frac{2}{4}, לא 35\frac{3}{5}. ומהכד השני אי אפשר לשלוף שני לבנים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הוכיחו או הפריכו: P(A)=0.6P(A)=0.6, P(B)=0.5P(B)=0.5 ו-P(A∪B)=0.8P(A\cup B)=0.8. המאורעות AA ו-BB בלתי תלויים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

P(A∩B)=0.6+0.5−0.8=0.3\begin{aligned}P(A\cap B) &= 0.6+0.5-0.8 \\ &= 0.3\end{aligned}

מנוסחת האיחוד

P(A)⋅P(B)=0.3P(A)\cdot P(B)=0.3

מכפלה

P(A∩B)=P(A)⋅P(B)P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)

שוויון

הטענה נכונה. קודם מוצאים את החיתוך מהאיחוד, ורק אז משווים למכפלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מטילים מטבע הוגן 55 פעמים. מה ההסתברות שיצא «עץ» בדיוק 22 פעמים, וההטלה החמישית היא אחת מהן? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.125

הפתרון:

(41)⋅0.5⋅0.53\binom{4}{1}\cdot 0.5\cdot 0.5^3

«עץ» אחד בארבע ההטלות הראשונות

⋅0.5\cdot 0.5

ההטלה החמישית «עץ»

4⋅132=0.1254\cdot\frac{1}{32}=0.125

התוצאה

(52)⋅132≈0.31\binom{5}{2}\cdot\frac{1}{32}\approx 0.31 לא דורש שההטלה החמישית תהיה «עץ».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מחשבים את ההסתברות ל-22 הצלחות בדיוק ב-44 ניסיונות, כש-p=0.3p=0.3. שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

p=0.3 q=0.7 n=4 k=2\begin{aligned}p &= 0.3 \\ \ q &= 0.7 \\ \ n &= 4 \\ \ k &= 2\end{aligned}
P(X=2)=0.32⋅0.72=0.0441\begin{aligned}P(X=2) &= 0.3^2\cdot 0.7^2 \\ &= 0.0441\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: P(X=2)=0.32⋅0.72=0.0441P(X=2)=0.3^2\cdot 0.7^2=0.0441 → P(X=2)=(42)⋅0.32⋅0.72=0.2646P(X=2)=\binom{4}{2}\cdot 0.3^2\cdot 0.7^2=0.2646

הפתרון:

(42)=6\binom{4}{2}=6

מספר המסלולים

6⋅0.0441=0.26466\cdot 0.0441=0.2646

התוצאה

שכחו את (42)\binom{4}{2}. 0.04410.0441 היא ההסתברות של מסלול אחד, למשל «הצלחה, הצלחה, כישלון, כישלון».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

חנות מקבלת טלפונים משלושה מחסנים: 50%50\% ממחסן א (2%2\% מהם פגומים), 30%30\% ממחסן ב (3%3\% פגומים) ו-20%20\% ממחסן ג (5%5\% פגומים). כמה אחוזים מהטלפונים בחנות פגומים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.9

הפתרון:

0.5⋅0.02+0.3⋅0.03+0.2⋅0.050.5\cdot 0.02+0.3\cdot 0.03+0.2\cdot 0.05

שלושה מסלולים

=0.01+0.009+0.01=0.029=0.01+0.009+0.01=0.029

מחברים

2.9%2.9\%

באחוזים

ממוצע פשוט של 2%2\%, 3%3\% ו-5%5\% נותן 3.33%3.33\%, בלי המשקלים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת