סדרה 3 — לקראת הבגרות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שלוש שאלות בנוסח שאלה 3 בבגרות, מחולקות לסעיפים. כל סעיף הוא תרגיל, והפתיח חוזר בכל אחד מהם: הסתברות שלמה עם פרמטר ואחריה בינומית, בינומית שבה pp לא ידוע, ובייס עם מספר ימים קטן ביותר.

בכל סעיף בינומי שאלו מחדש: מה ההצלחה עכשיו? בשאלה אחת ההצלחה משתנה מסעיף לסעיף.

תרגילים

תרגיל 1

בעיר, חלק pp מהתושבים מנויים לספרייה העירונית. מבין המנויים, 60%60\% קוראים לפחות ספר אחד בחודש; מבין שאינם מנויים, 20%20\% קוראים לפחות ספר אחד בחודש. בוחרים תושב באקראי. א. מה ההסתברות שהתושב קורא לפחות ספר אחד בחודש, כביטוי של pp?

  1. 0.6+0.2p0.6+0.2p
  2. 0.6p+0.20.6p+0.2
  3. 0.8p0.8p
  4. 0.2+0.4p0.2+0.4p
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 0.2+0.4p0.2+0.4p

הפתרון:

0.6p+0.2(1−p)0.6p+0.2(1-p)

שני מסלולים

=0.2+0.4p=0.2+0.4p

מכנסים

הנכונה: 0.2+0.4p0.2+0.4p. 0.6p+0.20.6p+0.2 שוכח שהענף השני הוא 1−p1-p.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בעיר, חלק pp מהתושבים מנויים לספרייה העירונית. מבין המנויים, 60%60\% קוראים לפחות ספר אחד בחודש; מבין שאינם מנויים, 20%20\% קוראים לפחות ספר אחד בחודש. בוחרים תושב באקראי. ב. ההסתברות שתושב אקראי קורא לפחות ספר אחד בחודש היא 0.320.32. מהו pp?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.3

הפתרון:

0.2+0.4p=0.320.2+0.4p=0.32

מסעיף א

p=0.3p=0.3

פותרים

בודקים ש-0≤p≤10 \leq p \leq 1: pp הוא חלק מהתושבים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בעיר, חלק pp מהתושבים מנויים לספרייה העירונית. מבין המנויים, 60%60\% קוראים לפחות ספר אחד בחודש; מבין שאינם מנויים, 20%20\% קוראים לפחות ספר אחד בחודש. בוחרים תושב באקראי. ג. נבחר תושב שקורא לפחות ספר אחד בחודש. מה ההסתברות שהוא מנוי לספרייה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5625

הפתרון:

P(M∩R)=0.3⋅0.6=0.18\begin{aligned}P(M\cap R) &= 0.3\cdot 0.6 \\ &= 0.18\end{aligned}

המסלול «מנוי וקורא»

P(M∣R)=0.180.32=0.5625≈0.56\begin{aligned}P(M\mid R) &= \frac{0.18}{0.32} \\ &= 0.5625\approx 0.56\end{aligned}

בייס

0.60.6 הוא P(R∣M)P(R\mid M), השאלה ההפוכה. כאן הנתון הוא שהתושב קורא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בעיר, חלק pp מהתושבים מנויים לספרייה העירונית. מבין המנויים, 60%60\% קוראים לפחות ספר אחד בחודש; מבין שאינם מנויים, 20%20\% קוראים לפחות ספר אחד בחודש. בוחרים תושב באקראי. ד. בוחרים באקראי 44 תושבים. מה ההסתברות שבדיוק 22 מהם קוראים לפחות ספר אחד בחודש? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.28409856

הפתרון:

n=4 k=2 P(R)=0.32\begin{aligned}n &= 4 \\ \ k &= 2 \\ \ P(R) &= 0.32\end{aligned}

ההצלחה: תושב קורא

(42)⋅0.322⋅0.682\binom{4}{2}\cdot 0.32^2\cdot 0.68^2

בינומית

=6⋅0.1024⋅0.4624≈0.28=6\cdot 0.1024\cdot 0.4624\approx 0.28

מחשבים

ההסתברות להצלחה היא 0.320.32, לא p=0.3p=0.3 ולא 0.60.6.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בחידון 66 שאלות. נועה עונה נכון על כל שאלה בהסתברות קבועה pp, בלי תלות בין השאלות. ההסתברות שתענה נכון על שתי השאלות הראשונות היא 0.360.36. א. מהו pp?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.6

הפתרון:

p2=0.36p^2=0.36

שתי תשובות נכונות ברצף

p=0.6p=0.6

p>0p>0

«שתי השאלות הראשונות» הוא מסלול אחד: בלי מקדם בינומי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בחידון 66 שאלות. נועה עונה נכון על כל שאלה בהסתברות קבועה pp, בלי תלות בין השאלות. ההסתברות שתענה נכון על שתי השאלות הראשונות היא 0.360.36. ב. מה ההסתברות שנועה תענה נכון על 55 שאלות לפחות? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.23328

הפתרון:

P(X=5)=6⋅0.65⋅0.4≈0.1866P(X=5)=6\cdot 0.6^5\cdot 0.4\approx 0.1866

בדיוק 55

P(X=6)=0.66≈0.0467P(X=6)=0.6^6\approx 0.0467

כל השש

0.1866+0.0467≈0.230.1866+0.0467\approx 0.23

מחברים

«לפחות 55» הוא 55 או 66. מי שעונה 0.190.19 שכח את X=6X=6.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בחידון 66 שאלות. נועה עונה נכון על כל שאלה בהסתברות קבועה pp, בלי תלות בין השאלות. ההסתברות שתענה נכון על שתי השאלות הראשונות היא 0.360.36. ג. מה ההסתברות שנועה תענה נכון בדיוק על 44 שאלות, ושתי השאלות האחרונות יהיו ביניהן? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.124416

הפתרון:

(42)⋅0.62⋅0.42\binom{4}{2}\cdot 0.6^2\cdot 0.4^2

שתי תשובות נכונות בארבע השאלות הראשונות

⋅0.62\cdot 0.6^2

השאלות החמישית והשישית נכונות

6⋅0.36⋅0.16⋅0.36≈0.126\cdot 0.36\cdot 0.16\cdot 0.36\approx 0.12

התוצאה

(64)⋅0.64⋅0.42≈0.31\binom{6}{4}\cdot 0.6^4\cdot 0.4^2\approx 0.31 לא דורש דבר על השאלות האחרונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ביום יבש, האוטובוס בקו מסוים מגיע בזמן בהסתברות 0.80.8; ביום גשום, בהסתברות 0.50.5. 25%25\% מהימים גשומים. מניחים שאין תלות בין הימים. א. מה ההסתברות שביום אקראי האוטובוס מגיע בזמן? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.725

הפתרון:

0.75⋅0.8+0.25⋅0.50.75\cdot 0.8+0.25\cdot 0.5

יום יבש ויום גשום

=0.6+0.125=0.725≈0.73=0.6+0.125=0.725\approx 0.73

מחברים

הממוצע 0.8+0.52=0.65\frac{0.8+0.5}{2}=0.65 שוכח ש-75%75\% מהימים יבשים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ביום יבש, האוטובוס בקו מסוים מגיע בזמן בהסתברות 0.80.8; ביום גשום, בהסתברות 0.50.5. 25%25\% מהימים גשומים. מניחים שאין תלות בין הימים. ב. ביום מסוים האוטובוס איחר. מה ההסתברות שהיום היה גשום? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.45454545454545453

הפתרון:

P(L)=1−0.725=0.275\begin{aligned}P(L) &= 1-0.725 \\ &= 0.275\end{aligned}

LL איחור: המשלים

P(G∩L)=0.25⋅0.5=0.125\begin{aligned}P(G\cap L) &= 0.25\cdot 0.5 \\ &= 0.125\end{aligned}

GG יום גשום: המסלול

0.1250.275≈0.45\frac{0.125}{0.275}\approx 0.45

בייס

רק רבע מהימים גשומים, אבל כמעט חצי מהאיחורים קורים בגשם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ביום יבש, האוטובוס בקו מסוים מגיע בזמן בהסתברות 0.80.8; ביום גשום, בהסתברות 0.50.5. 25%25\% מהימים גשומים. מניחים שאין תלות בין הימים. ג. מהו מספר הימים הקטן ביותר שדרוש כדי שההסתברות שהאוטובוס יאחר לפחות פעם אחת תהיה גדולה מ-0.90.9?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

1−0.725n>0.9 ⇒ 0.725n<0.11-0.725^n>0.9 \ \Rightarrow \ 0.725^n<0.1

המשלים

0.7257≈0.1050.725^7\approx 0.105

עדיין גדול מ-0.10.1

0.7258≈0.076<0.10.725^8\approx 0.076<0.1

מספיק

ההצלחה כאן היא איחור, אבל מה שמעלים בחזקה הוא 0.7250.725, ההסתברות לא לאחר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת