תחום ואסימפטוטה אנכית · פונקציות עם שורשים · כיתה י״א

שתי פונקציות, ובשתיהן אותו שורש: $f(x)=\sqrt{x-2}$ ו- $g(x)=\frac{1}{\sqrt{x-2}}$ . לשתיהן אין אף נקודה משמאל ל- $x=2$ . אבל ליד $x=2$ הן מתנהגות הפוך לגמרי. הסתכלו על הגרף לפני כל כלל.

שני גרפים ליד x = 2

הגרף של

f

מתחיל בנקודה

(2,0)

. הגרף של

g

לא נוגע בישר

x=2

: הוא עולה לאורכו בלי גבול.

לפי הגרף: מה קורה ל- $g(x)$ כש- $x$ מתקרב ל- $2$ מימין? ולמה זה לא קורה ל- $f(x)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$g(x)$ גדלה בלי גבול: המכנה $\sqrt{x-2}$ מתקרב ל- $0$ , והמונה נשאר $1$ . ב- $f$ השורש נמצא במונה, ולכן $f(x)$ מתקרבת ל- $0$ ו- $f(2)=0$ מוגדר. אותו שורש: בפעם אחת קצה תחום, ובפעם אחרת אסימפטוטה.

תחום ההגדרה של מנה עם שורש

שני תנאים, ושניהם בבת אחת: מה שמתחת לשורש אי-שלילי, והמכנה אינו $0$ . כששורש נמצא במכנה, שני התנאים מתאחדים לאי-שוויון חזק.

\sqrt{x^2-4x} \ : \ x \leq 0 \ \text{או} \ x \geq 4

פרבולה מתחת לשורש: שיטת הקטעים

\frac{1}{\sqrt{9-x^2}} \ : \ -3<x<3

השורש במכנה: אסור $0$ , ולכן הקצוות לא נכללים

\frac{x}{\sqrt{x^2-4}} \ : \ x<-2 \ \text{או} \ x>2

שני קטעים פתוחים

\frac{\sqrt{x-1}}{x-3} \ : \ x \geq 1 ,\ x \neq 3

השורש במונה: $x=1$ נכלל; המכנה מוציא את $x=3$

\sqrt{\frac{x+1}{x-2}} \ : \ x \leq -1 \ \text{או} \ x>2

מנה מתחת לשורש: סימן המנה בטבלה, ו- $x=2$ יוצא

מהו תחום ההגדרה של $f(x)=\frac{x}{\sqrt{6-x}}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

השורש במכנה: $6-x>0$ , כלומר $x<6$ . המונה $x$ לא מגביל דבר. שימו לב: $x=6$ לא בתחום, כי שם המכנה $0$ .

קצה של התחום, או אסימפטוטה אנכית?

בודקים כל נקודה $x=a$ שבה המכנה מתאפס. אם המונה שואף שם למספר שונה מ- $0$ , השבר גדל בערכו המוחלט בלי גבול, ו- $x=a$ היא אסימפטוטה אנכית. הקצה של שורש במונה איננו אסימפטוטה: שם יש לפונקציה ערך.

\begin{aligned}f(x) &= \frac{x}{\sqrt{x^2-4}} \ \Longrightarrow \ x \\ &= -2 \\ \ x &= 2\end{aligned}

המכנה מתאפס ב- $x=\pm 2$ , והמונה נותן שם $\pm 2 \neq 0$ : שתי אסימפטוטות אנכיות.

$f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}$ : תחום, אסימפטוטות וחיתוך עם הצירים

מצאו את תחום ההגדרה, את האסימפטוטות האנכיות ואת הכיוון של הגרף לידן, ואת נקודות החיתוך עם הצירים.

x^2-4>0 \ \Rightarrow \ x<-2 \ \text{או} \ x>2

תחום: השורש במכנה, ולכן אי-שוויון חזק

x \to 2^{+}: \ \frac{2}{0^{+}} \to +\infty

המכנה חיובי תמיד. הסימן בא מהמונה

x \to -2^{-}: \ \frac{-2}{0^{+}} \to -\infty

משמאל ל- $-2$ המונה שלילי

x=0 \notin D

$x=0$ מחוץ לתחום: אין חיתוך עם ציר ה- $y$ , ו- $f(x)=0$ רק ב- $x=0$ , ולכן גם אין חיתוך עם ציר ה- $x$

מהי האסימפטוטה האנכית של $f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x+3}}$ , ולאן הגרף הולך לידה?

להציג את התשובה והפתרון

התחום $x>-3$ . ב- $x=-3$ המונה הוא $-2 \neq 0$ , ולכן $x=-3$ אסימפטוטה אנכית. המכנה חיובי והמונה שלילי: $f(x) \to -\infty$ כש- $x \to -3^{+}$ .

הכיוון ליד אסימפטוטה בא מהסימן של המונה. בפרק הזה המכנה הוא שורש, ולכן הוא תמיד חיובי. לא צריך טבלת סימנים שלמה: מציבים את $a$ במונה ומסתכלים על הסימן.

שלוש טעויות בתחום ובאסימפטוטות.

\frac{x-3}{\sqrt{x-3}} \ : \ x=3 \ \text{אסימפטוטה}

\frac{x-3}{\sqrt{x-3}}=\sqrt{x-3} \to 0

גם המונה מתאפס ב- $x=3$ . אחרי צמצום נשאר $\sqrt{x-3}$ , והגרף מתקרב ל- $0$ . אין אסימפטוטה.

\frac{1}{\sqrt{9-x^2}} \ : \ -3 \leq x \leq 3

-3<x<3

ב- $x=\pm 3$ המכנה הוא $0$ . שורש במכנה דורש אי-שוויון חזק.

\sqrt{\frac{x+1}{x-2}} \ : \ x \leq -1 \ \text{או} \ x \geq 2

x \leq -1 \ \text{או} \ x>2

גם כשהמנה נמצאת מתחת לשורש, $x-2$ הוא מכנה. $x=2$ אסור.

תרגילים

תרגיל 1

מהו תחום ההגדרה של $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}$ ?

$x \leq -3$ או $x \geq 3$
$x<-3$ או $x>3$
$x>3$
$-3<x<3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $x<-3$ או $x>3$

הפתרון:

x^2-9>0

השורש במכנה: חיובי ממש

(x-3)(x+3)>0 \ \Rightarrow \ x<-3 \ \text{או} \ x>3

מחוץ לשורשים

הנכונה: $x<-3$ או $x>3$ . מי שבחר $\leq$ ו- $\geq$ שכח שהשורש במכנה: ב- $x=\pm 3$ מחלקים ב- $0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו תחום ההגדרה של $f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+4}}$ ?

$x \geq 1$
$-4<x \leq 1$
$x \leq -4$ או $x \geq 1$
$x<-4$ או $x \geq 1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $x<-4$ או $x \geq 1$

הפתרון:

\frac{x-1}{x+4} \geq 0

מה שמתחת לשורש אי-שלילי

x<-4: \ \frac{-}{-}>0 \qquad -4<x<1: \ \frac{-}{+}<0 \qquad x>1: \ \frac{+}{+}>0

טבלת סימנים של המנה

\begin{aligned}x &= 1: \ 0 \ \checkmark \qquad x \\ &= -4: \ \text{אסור}\end{aligned}

המונה מתאפס: מותר. המכנה מתאפס: אסור

הנכונה: $x<-4$ או $x \geq 1$ . $x=-4$ נותן חילוק ב- $0$ , גם כשהמנה יושבת מתחת לשורש. $x \geq 1$ לבד שוכח את הקטע השמאלי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מצאו את האסימפטוטה האנכית של $f(x)=\frac{2x-1}{\sqrt{x+5}}$ . כתבו את ערך ה- $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -5

הפתרון:

x+5>0 \ \Rightarrow \ x>-5

תחום

\begin{aligned}x &= -5: \ 2(-5)-1 \\ &= -11 \neq 0\end{aligned}

המונה לא מתאפס

x \to -5^{+}: \ \frac{-11}{0^{+}} \to -\infty

הכיוון

$x=-5$ . הערך $x=\frac{1}{2}$ מאפס את המונה, ושם יש חיתוך עם ציר ה- $x$ , לא אסימפטוטה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הוכיחו או הפריכו: לגרף של $f(x)=\frac{x-4}{\sqrt{x-4}}$ יש אסימפטוטה אנכית $x=4$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

x>4

תחום

\frac{x-4}{\sqrt{x-4}}=\sqrt{x-4}

מצמצמים: $x-4=(\sqrt{x-4})^2$

x \to 4^{+}: \ \sqrt{x-4} \to 0

הגרף מתקרב לנקודה $(4,0)$

הטענה לא נכונה. המכנה מתאפס ב- $x=4$ , אבל גם המונה. אסימפטוטה אנכית דורשת מונה שונה מ- $0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

תחום ההגדרה של $f(x)=\frac{1}{\sqrt{6+x-x^2}}$ הוא קטע פתוח. מהו אורך הקטע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

6+x-x^2>0 \ \Rightarrow \ x^2-x-6<0

כופלים ב- $-1$ והופכים את הכיוון

(x-3)(x+2)<0 \ \Rightarrow \ -2<x<3

בין השורשים

3-(-2)=5

אורך הקטע

אורך הקטע $5$ . מי ששוכח להפוך את הכיוון אחרי הכפל ב- $-1$ מקבל את החוץ של הקטע, ושם אין אורך סופי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מיינו את הפונקציות: לאילו מהן הישר $x=1$ הוא אסימפטוטה אנכית?

יש אסימפטוטה $x=1$
אין אסימפטוטה $x=1$

$\dfrac{(x-1)^2}{\sqrt{x-1}}$
$\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}$
$\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}$
$\dfrac{x+1}{\sqrt{1-x}}$
$\sqrt{x-1}$
$\sqrt{x^2-1}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}$ — יש אסימפטוטה $x=1$ · $\dfrac{x+1}{\sqrt{1-x}}$ — יש אסימפטוטה $x=1$ · $\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}$ — יש אסימפטוטה $x=1$ · $\sqrt{x-1}$ — אין אסימפטוטה $x=1$ · $\sqrt{x^2-1}$ — אין אסימפטוטה $x=1$ · $\dfrac{(x-1)^2}{\sqrt{x-1}}$ — אין אסימפטוטה $x=1$

הפתרון:

\frac{x+1}{\sqrt{1-x}}: \ x \to 1^{-}, \ \frac{2}{0^{+}} \to \infty

המונה $2 \neq 0$

\frac{(x-1)^2}{\sqrt{x-1}}=(x-1)\sqrt{x-1} \to 0

המונה מתאפס מהר יותר

\sqrt{x-1}: \ f(1)=0

שורש במונה: קצה, לא אסימפטוטה

אסימפטוטה אנכית מופיעה רק כשהשורש במכנה מתאפס, והמונה לא. בשתי הפונקציות שבלי מכנה, $x=1$ הוא קצה של התחום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה $f(x)=\frac{x-5}{\sqrt{x-2}}$ . מה קורה ל- $f(x)$ כש- $x$ מתקרב ל- $2$ מימין?

$f(x) \to 0$
$f(x) \to +\infty$
$f(x) \to -3$
$f(x) \to -\infty$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $f(x) \to -\infty$

הפתרון:

x-5 \to -3

המונה

\sqrt{x-2} \to 0^{+}

המכנה: חיובי וקטן

\frac{-3}{0^{+}} \to -\infty

מספר שלילי חלקי מספר חיובי קטן

הנכונה: $-\infty$ . המכנה שורש, ולכן הוא חיובי. הסימן בא מהמונה $-3$ . מי שבחר $-3$ שכח שמחלקים במספר שמתקרב ל- $0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-16}}$ . השלימו.

מספר האסימפטוטות האנכיות: ____ , מספר נקודות החיתוך עם הצירים: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מספר האסימפטוטות האנכיות: 2 , מספר נקודות החיתוך עם הצירים: 0

הפתרון:

x^2-16>0 \ \Rightarrow \ x<-4 \ \text{או} \ x>4

תחום

x=\pm 4: \ \text{מונה} \ \pm 4 \neq 0

שתי אסימפטוטות

x=0 \notin D

אין חיתוך עם ציר ה- $y$ ; והמונה מתאפס רק ב- $x=0$

אפס נקודות חיתוך. מי שכתב $(0,0)$ הציב נקודה מחוץ לתחום: בין $-4$ ל- $4$ הגרף לא קיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה $f(x)=\frac{x+a}{\sqrt{x-3}}$ , ו- $a$ פרמטר. ידוע שלגרף של $f$ אין אסימפטוטה אנכית. מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

x>3

תחום: המכנה מתאפס רק ב- $x=3$

\begin{aligned}3+a &= 0 \ \Rightarrow \ a \\ &= -3\end{aligned}

כדי שלא תהיה אסימפטוטה, המונה חייב להתאפס שם

\frac{x-3}{\sqrt{x-3}}=\sqrt{x-3} \to 0

בדיקה: הגרף מתקרב ל- $(3,0)$ ✓

$a=-3$ . לכל ערך אחר של $a$ המונה שונה מ- $0$ ב- $x=3$ , ו- $x=3$ אסימפטוטה. מי שכתב $a=3$ טעה בסימן: $x+a$ צריך להתאפס ב- $x=3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה $f(x)=\frac{\sqrt{x^2-2x-8}}{x-5}$ . השלימו את תחום ההגדרה.

$x \leq$ ____ או $x \geq$ ____ , וגם $x \neq$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x \leq$ -2 או $x \geq$ 4 , וגם $x \neq$ 5

הפתרון:

x^2-2x-8=(x-4)(x+2) \geq 0

מה שמתחת לשורש

x \leq -2 \ \text{או} \ x \geq 4

מחוץ לשורשים; השורש במונה, ולכן הקצוות נכללים

x-5 \neq 0

המכנה מוציא את $x=5$ מתוך הקטע הימני

שלושה תנאים. מי ששוכח את $x \neq 5$ לא רואה את האסימפטוטה האנכית $x=5$ : שם המונה $\sqrt{7} \neq 0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תחום ההגדרה של מנה עם שורש

קצה של התחום, או אסימפטוטה אנכית?

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev