תרגול · סדרות · כיתה י״א

עשרה תרגילים על כל הפרק: סדרה חשבונית וסכומה, סדרה הנדסית וסכומה, שלושה איברים עוקבים, והסכום האינסופי. מתחילים בקל ומסיימים באתגר.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

בסדרה הנדסית $a_1 = 5$ ו- $q = 3$ . מהו $a_4$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 135

הפתרון:

a_4 = 5 \cdot 3^{3}

שלושה צעדים של כפל

= 5 \cdot 27 = 135

החזקה היא $n-1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בסדרה הנדסית אינסופית $a_1 = 10$ ו- $q = 0.2$ . מהו סכום הסדרה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12.5

הפתרון:

|q| = 0.2 < 1

הסכום קיים

\begin{aligned}S &= \frac{10}{1 - 0.2} \\ &= \frac{10}{0.8}\end{aligned}

= 12.5

קודם בודקים את התנאי, אחר כך מציבים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

לאיזו מהסדרות ההנדסיות האינסופיות יש סכום סופי?

$6 - 3 + 1.5 - \ldots$
$3 + 3 + 3 + \ldots$
$1 + 1.5 + 2.25 + \ldots$
$2 - 4 + 8 - \ldots$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $6 - 3 + 1.5 - \ldots$

הפתרון:

\begin{aligned}q &= \frac{-3}{6} \\ &= -0.5 \ \\ \ |q| < 1\end{aligned}

מתכנסת

\begin{aligned}S &= \frac{6}{1 - (-0.5)} \\ &= 4\end{aligned}

מנה שלילית לא פוסלת — התנאי הוא על $|q|$ . בשאר הסדרות $q = 1.5 \ , \ q = 1$ ו- $q = -2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 4

בסדרה חשבונית $a_1 = -12$ ו- $d = 4$ . כמה איברים ראשונים צריך לחבר כדי שהסכום יהיה $0$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

\begin{aligned}a_n &= -12 + 4(n-1) \\ &= 4n - 16\end{aligned}

\begin{aligned}S_n &= \frac{(-12 + 4n - 16) \cdot n}{2} \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}4n - 28 &= 0 \Rightarrow n \\ &= 7\end{aligned}

$n = 0$ נפסל

הסדרה $-12, -8, \ldots, 8, 12$ — הראשון והאחרון מבטלים זה את זה, וכך כל זוג.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בסדרה הנדסית $a_1 = 4$ ו- $q = 2$ . מהו $S_7$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 508

הפתרון:

S_7 = 4 \cdot \frac{2^7 - 1}{2 - 1}

= 4 \cdot 127 = 508

בסכום ההנדסי החזקה היא $n$ , לא $n-1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הסדרה $a_n = 3 \cdot 2^{n}$ היא סדרה הנדסית שבה $a_1 = 3$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}a_1 &= 3 \cdot 2^1 \\ &= 6\end{aligned}

מציבים $n = 1$

\frac{a_{n+1}}{a_n} = 2

היא אכן הנדסית

הנדסית עם $q = 2$ , אבל $a_1 = 6$ . החזקה כאן היא $n$ , לא $n-1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בחודש הראשון לפתיחתה נרשמו לספרייה חדשה בירושלים 120 קוראים, ובכל חודש נרשמו 15 קוראים יותר מבחודש הקודם. כמה קוראים נרשמו בשנה הראשונה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2430

הפתרון:

\begin{aligned}a_1 &= 120 \ \\ \ d &= 15 \ \\ \ n &= 12\end{aligned}

סדרה חשבונית

\begin{aligned}a_{12} &= 120 + 11 \cdot 15 \\ &= 285\end{aligned}

\begin{aligned}S_{12} &= \frac{(120 + 285) \cdot 12}{2} \\ &= 2430\end{aligned}

2430 קוראים בשנה הראשונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 8

האיברים $x \ , \ x+4 \ , \ 9x$ הם שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית, ו- $x > 0$ . מהו $x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

(x+4)^2 = x \cdot 9x

האמצעי בריבוע שווה למכפלת השכנים

x + 4 = 3x

שני האגפים חיוביים

x = 2

האיברים $2, 6, 18$ — המנה $3$ . בלי התנאי $x > 0$ גם $x = -1$ מתאים: $-1, 3, -9$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

כדור נופל מגובה 8 מטרים. בכל פעם שהוא פוגע ברצפה הוא קופץ חזרה לגובה של $\frac{3}{4}$ מהגובה הקודם, וממשיך כך בלי סוף. מהי הדרך הכוללת (במטרים) שהכדור עובר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 56

הפתרון:

8

הנפילה הראשונה

\begin{aligned}6 + 4.5 + \ldots &= \frac{6}{1 - 0.75} \\ &= 24\end{aligned}

גובהי הקפיצות

8 + 2 \cdot 24 = 56

כל קפיצה — עלייה וירידה

הנפילה הראשונה נספרת פעם אחת, וכל קפיצה פעמיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

סכומה של סדרה הנדסית אינסופית הוא $24$ , והאיבר השני שלה הוא $a_2 = 6$ . מהי המנה $q$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

a_1 = \frac{6}{q}

מהאיבר השני

\frac{6}{q(1-q)} = 24

מציבים בנוסחת הסכום

4q^2 - 4q + 1 = 0

\begin{aligned}(2q - 1)^2 &= 0 \Rightarrow q \\ &= 0.5\end{aligned}

$a_1 = 12$ , והסדרה $12 + 6 + 3 + \ldots = 24$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

סדרה א — קל

סדרה ב — בינוני

סדרה ג — מאתגר

השיעור הבא מחכה ב-elev