סדרה 3 — לקראת הבגרות · סדרות · כיתה י״א

שלוש שאלות בנוסח שאלה 2 בבגרות, מחולקות לסעיפים. כל סעיף הוא תרגיל, והפתיח חוזר בכל אחד מהם: סכום אינסופי ומקומות אי-זוגיים, סכומים בסדרה סופית, וסדרה חשבונית שמולידה סדרה הנדסית.

בבגרות סעיף נשען על הסעיף שלפניו. בדקו כל תוצאה בנתון שלא השתמשתם בו, לפני שממשיכים.

תרגילים

תרגיל 1

סדרה הנדסית אינסופית יורדת, וכל איבריה חיוביים. סכום הסדרה הוא $27$ , וסכום האיברים שבמקומות האי-זוגיים ( $a_1,\,a_3,\,a_5,\,\ldots$ ) הוא $20.25$ . א. מהי המנה $q$ ?

$\frac{1}{4}$
$\frac{2}{3}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{3}{4}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $\frac{1}{3}$

הפתרון:

\begin{aligned}S &= \frac{a_1}{1-q} \\ \quad A &= \frac{a_1}{1-q^2}\end{aligned}

$A$ סכום האי-זוגיים: מנה $q^2$

\begin{aligned}\frac{S}{A} &= \frac{1-q^2}{1-q} \\ &= 1+q\end{aligned}

מחלקים

\begin{aligned}1+q &= \frac{27}{20.25} \\ &= \frac{4}{3} \ \Rightarrow \ q \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

פותרים

הנכונה: $\frac{1}{3}$ . $\frac{3}{4}$ הוא $\frac{20.25}{27}$ , היחס ההפוך, בלי הצעד $1+q$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

סדרה הנדסית אינסופית יורדת, וכל איבריה חיוביים. סכום הסדרה הוא $27$ , וסכום האיברים שבמקומות האי-זוגיים ( $a_1,\,a_3,\,a_5,\,\ldots$ ) הוא $20.25$ . ב. מהו $a_1$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18

הפתרון:

\frac{a_1}{1-\frac{1}{3}}=27

מסעיף א

\begin{aligned}a_1 &= 27\cdot\frac{2}{3} \\ &= 18\end{aligned}

פותרים

בדיקה: $\frac{18}{1-\frac{1}{9}}=\frac{18}{\frac{8}{9}}=20.25$ ✓. בודקים בנתון השני, זה שלא שימש לחישוב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

סדרה הנדסית אינסופית יורדת, וכל איבריה חיוביים. סכום הסדרה הוא $27$ , וסכום האיברים שבמקומות האי-זוגיים ( $a_1,\,a_3,\,a_5,\,\ldots$ ) הוא $20.25$ . ג. מגדירים $b_n=a_n+a_{n+1}$ . הסדרה $b_n$ הנדסית. מהו סכום כל איבריה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36

הפתרון:

\begin{aligned}b_n &= a_n(1+q) \ \Rightarrow \ \frac{b_{n+1}}{b_n} \\ &= q\end{aligned}

$b_n$ הנדסית עם אותה מנה

\begin{aligned}b_1 &= 18+6 \\ &= 24\end{aligned}

האיבר הראשון

\frac{24}{1-\frac{1}{3}}=36

הסכום

אפשר גם כך: $S_b=S+(S-a_1)=27+9=36$ . כל איבר מופיע פעמיים, חוץ מ- $a_1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בסדרה הנדסית עולה יש $2n$ איברים חיוביים, והמנה שלה $q=3$ . סכום $n$ האיברים האחרונים גדול פי $81$ מסכום $n$ האיברים הראשונים. סכום כל איברי הסדרה הוא $6560$ . א. מהו $n$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

a_{n+1}+\ldots+a_{2n}=q^n(a_1+\ldots+a_n)

כל איבר בחצי השני הוא איבר בחצי הראשון כפול $q^n$

\begin{aligned}3^n &= 81 \ \Rightarrow \ n \\ &= 4\end{aligned}

פותרים

הקפיצה מ- $a_1$ ל- $a_{n+1}$ היא $n$ צעדים, ולכן $q^n$ , לא $q^{n+1}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בסדרה הנדסית עולה יש $2n$ איברים חיוביים, והמנה שלה $q=3$ . סכום $n$ האיברים האחרונים גדול פי $81$ מסכום $n$ האיברים הראשונים. סכום כל איברי הסדרה הוא $6560$ . ב. מהו $a_1$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\begin{aligned}S_8 &= \frac{a_1(3^8-1)}{3-1} \\ &= 3280a_1\end{aligned}

בסדרה $8$ איברים

\begin{aligned}3280a_1 &= 6560 \ \Rightarrow \ a_1 \\ &= 2\end{aligned}

פותרים

בסדרה $2n=8$ איברים, לא $4$ . עם $S_4=40a_1$ יוצא $a_1=164$ , תשובה שלא מתאימה לנתון של סעיף א.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בסדרה הנדסית עולה יש $2n$ איברים חיוביים, והמנה שלה $q=3$ . סכום $n$ האיברים האחרונים גדול פי $81$ מסכום $n$ האיברים הראשונים. סכום כל איברי הסדרה הוא $6560$ . ג. מוחקים מהסדרה את כל האיברים שבמקומות האי-זוגיים. מהו סכום האיברים שנשארו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4920

הפתרון:

\begin{aligned}B &= q\cdot A \\ &= 3A\end{aligned}

$A$ האי-זוגיים, $B$ הזוגיים: כל זוגי הוא קודמו כפול $3$

\begin{aligned}A+3A &= 6560 \ \Rightarrow \ A \\ &= 1640\end{aligned}

סכום הכול

B=4920

נשארים הזוגיים

הזוגיים הם $\frac{3}{4}$ מהסכום, לא חצי: הם גדולים פי $3$ מהאי-זוגיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

$a_n$ היא סדרה חשבונית שבה $a_1=2$ וההפרש $d \neq 0$ . האיברים $a_1$ , $a_3$ , $a_9$ (בסדר הזה) הם שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית $b_n$ : $b_1=a_1$ , $b_2=a_3$ , $b_3=a_9$ . א. מהי המנה של $b_n$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

(a_1+2d)^2=a_1(a_1+8d)

האמצעי בריבוע שווה למכפלת שכניו

\begin{aligned}4a_1d+4d^2 &= 8a_1d \ \Rightarrow \ d \\ &= a_1 \\ &= 2\end{aligned}

מחלקים ב- $4d \neq 0$

\begin{aligned}q &= \frac{a_3}{a_1} \\ &= \frac{6}{2} \\ &= 3\end{aligned}

המנה

מחלקים ב- $d$ רק משום ש- $d \neq 0$ . הפתרון $d=0$ נותן סדרה קבועה, והשאלה פוסלת אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

$a_n$ היא סדרה חשבונית שבה $a_1=2$ וההפרש $d \neq 0$ . האיברים $a_1$ , $a_3$ , $a_9$ (בסדר הזה) הם שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית $b_n$ : $b_1=a_1$ , $b_2=a_3$ , $b_3=a_9$ . ב. האיבר $b_4$ הוא גם איבר בסדרה $a_n$ . באיזה מקום $k$ בסדרה $a_n$ הוא נמצא?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 27

הפתרון:

\begin{aligned}b_4 &= 2\cdot 3^3 \\ &= 54\end{aligned}

האיבר הרביעי של $b_n$

\begin{aligned}a_k &= 2+(k-1)\cdot 2 \\ &= 2k\end{aligned}

האיבר הכללי של $a_n$

\begin{aligned}2k &= 54 \ \Rightarrow \ k \\ &= 27\end{aligned}

פותרים

המקומות $1,\,3,\,9,\,27$ הם בעצמם סדרה הנדסית. מי שעונה $54$ נתן את ערך האיבר, לא את מקומו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

$a_n$ היא סדרה חשבונית שבה $a_1=2$ וההפרש $d \neq 0$ . האיברים $a_1$ , $a_3$ , $a_9$ (בסדר הזה) הם שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית $b_n$ : $b_1=a_1$ , $b_2=a_3$ , $b_3=a_9$ . ג. מהו סכום חמשת האיברים הראשונים של $b_n$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 242

הפתרון:

S_5=\frac{2(3^5-1)}{3-1}

נוסחת הסכום

=243-1=242

מחשבים

את הסכום מחשבים בסדרה ההנדסית $b_n$ , לא בסדרה החשבונית $a_n$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

$a_n$ היא סדרה חשבונית שבה $a_1=2$ וההפרש $d \neq 0$ . האיברים $a_1$ , $a_3$ , $a_9$ (בסדר הזה) הם שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית $b_n$ : $b_1=a_1$ , $b_2=a_3$ , $b_3=a_9$ . ד. הוכיחו או הפריכו: גם $a_1$ , $a_4$ , $a_{13}$ הם שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}a_1 &= 2 \\ \ a_4 &= 8 \\ \ a_{13} &= 26\end{aligned}

מחשבים

\begin{aligned}a_4^2 &= 64 \neq a_1\cdot a_{13} \\ &= 52\end{aligned}

בודקים את התנאי

הטענה לא נכונה. מה שמצליח ב- $1,\,3,\,9$ נובע מכך שהמקומות עצמם הם $1,\,3,\,9$ . במקומות $1,\,4,\,13$ היחסים $4$ ו- $3.25$ שונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev