סדרה 2 — בינוני

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות של שני צעדים ויותר: שתי משוואות על אותה סדרה, יחס בין סכומים, השארית של סכום אינסופי, סדרת הריבועים, ושילוב של סדרה חשבונית והנדסית.

כשיש שתי משוואות על אותה סדרה, מחלקים אחת בשנייה: a1a_1 נעלם ונשארת משוואה ב-qq בלבד.

תרגילים

תרגיל 1

בסדרה הנדסית a1+a3=20a_1+a_3=20 ו-a2+a4=60a_2+a_4=60. מצאו את qq ואת a1a_1.

q=q= ____ , a1=a_1= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: q=q= 3 , a1=a_1= 2

הפתרון:

a2+a4=q(a1+a3)a_2+a_4=q(a_1+a_3)

כל איבר כפול qq הוא הבא

60=20q ⇒ q=3\begin{aligned}60 &= 20q \ \Rightarrow \ q \\ &= 3\end{aligned}

מחלקים

a1(1+9)=20 ⇒ a1=2\begin{aligned}a_1(1+9) &= 20 \ \Rightarrow \ a_1 \\ &= 2\end{aligned}

מציבים

מחלקים את שתי המשוואות לפני שפותחים סוגריים. מי שכותב a1+a1q2a_1+a_1q^2 ו-a1q+a1q3a_1q+a_1q^3 ופותר כמערכת רגילה נתקע במשוואה ממעלה שלישית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

סכומה של סדרה הנדסית אינסופית גדול פי 44 מהאיבר הראשון שלה. מהי המנה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.75

הפתרון:

a11−q=4a1\frac{a_1}{1-q}=4a_1

הנתון

1−q=14 ⇒ q=34\begin{aligned}1-q &= \frac{1}{4} \ \Rightarrow \ q \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}

מחלקים ב-a1≠0a_1 \neq 0

התשובה לא תלויה ב-a1a_1. מי שמנסה למצוא את a1a_1 מחפש נתון שלא קיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בסדרה הנדסית a1=2a_1=2 ו-q=3q=3. כמה איברים ראשונים צריך לחבר כדי לקבל סכום 728728?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

2(3n−1)2=728\frac{2(3^n-1)}{2}=728

נוסחת הסכום

3n=729=36\begin{aligned}3^n &= 729 \\ &= 3^6\end{aligned}

בודקים חזקות של 33

n=6n=6

מספר האיברים

בלי לוגריתם: מחפשים חזקה של 33 בניסוי. מי שכותב 2⋅3n=7282\cdot 3^n=728 שכח את −1-1 ואת המכנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בסדרה הנדסית אינסופית a1=8a_1=8 ו-q=12q=\frac{1}{2}. SS הוא סכום כל הסדרה, ו-S4S_4 סכום ארבעת האיברים הראשונים. מהו S−S4S-S_4?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

S−S4=a5+a6+…S-S_4=a_5+a_6+\ldots

מה שנשאר אחרי ארבעה איברים

a5=8⋅116=0.5\begin{aligned}a_5 &= 8\cdot\frac{1}{16} \\ &= 0.5\end{aligned}

האיבר הראשון של השארית

0.51−12=1\frac{0.5}{1-\frac{1}{2}}=1

סכום השארית

השארית היא סדרה הנדסית אינסופית בפני עצמה, עם אותה מנה. אפשר גם 16−15=116-15=1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

המספרים 44, 4q4q, 4q24q^2 הם שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית שבה q>0q>0. אם מגדילים את האיבר האמצעי ב-88, מתקבלים שלושה איברים עוקבים בסדרה חשבונית. מהו qq?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

2(4q+8)=4+4q22(4q+8)=4+4q^2

בחשבונית: האמצעי הוא הממוצע של שכניו

q2−2q−3=0 ⇒ q=3 q=−1\begin{aligned}q^2-2q-3 &= 0 \ \Rightarrow \ q \\ &= 3 \\ \ q &= -1\end{aligned}

משוואה ריבועית

q=3q=3

q>0q>0

בדיקה: 4, 20, 364,\,20,\,36 היא חשבונית עם הפרש 1616. את התנאי של החשבונית כותבים עם סכום, לא עם מכפלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בסדרה הנדסית a1=2a_1=2 ו-q=−3q=-3. מגדירים bn=a2nb_n=a_{2n}. מהי המנה של bnb_n?

  1. −3-3
  2. 99
  3. −9-9
  4. 33
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 99

הפתרון:

bn=a2n ⇒ bn+1bn=a2n+2a2n=q2\begin{aligned}b_n &= a_{2n} \ \Rightarrow \ \frac{b_{n+1}}{b_n} \\ &= \frac{a_{2n+2}}{a_{2n}} \\ &= q^2\end{aligned}

שתי קפיצות

(−3)2=9(-3)^2=9

המנה

הנכונה: 99. כל איברי bnb_n שליליים (b1=−6b_1=-6), אבל המנה חיובית: מכפלת שני מספרים שליליים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

סכומה של סדרה הנדסית אינסופית הוא 1212, וסכום ריבועי איבריה הוא 4848. מצאו את qq ואת a1a_1.

q=q= ____ , a1=a_1= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: q=q= 0.5 , a1=a_1= 6

הפתרון:

a11−q=12a121−q2=48\begin{aligned}\frac{a_1}{1-q} &= 12 \\ \quad \frac{a_1^2}{1-q^2} &= 48\end{aligned}

ריבועי האיברים: סדרה עם a12a_1^2 ומנה q2q^2

a11+q=4\frac{a_1}{1+q}=4

מחלקים את השנייה בראשונה

4(1+q)=12(1−q) ⇒ q=12 a1=6\begin{aligned}4(1+q) &= 12(1-q) \ \Rightarrow \ q \\ &= \frac{1}{2} \\ \ a_1 &= 6\end{aligned}

משווים

1−q2=(1−q)(1+q)1-q^2=(1-q)(1+q) הוא המפתח. מי שכותב a12(1−q)2\frac{a_1^2}{(1-q)^2} ריבע את הסכום, לא את האיברים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בסדרה הנדסית אינסופית a1=10a_1=10 ו-q=−12q=-\frac{1}{2}. מהו סכום הסדרה? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.666666666666667

הפתרון:

S=101−(−12)=101.5\begin{aligned}S &= \frac{10}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)} \\ &= \frac{10}{1.5}\end{aligned}

מציבים מנה שלילית

=203≈6.67=\frac{20}{3}\approx 6.67

הסכום

המינוס של qq והמינוס של הנוסחה נותנים פלוס. מי שכותב 100.5=20\frac{10}{0.5}=20 איבד סימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בסדרה הנדסית שבה q=2q=2, סכום 2n2n האיברים הראשונים גדול פי 1717 מסכום nn האיברים הראשונים. מהו nn?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

S2nSn=q2n−1qn−1=qn+1\begin{aligned}\frac{S_{2n}}{S_n} &= \frac{q^{2n}-1}{q^n-1} \\ &= q^n+1\end{aligned}

הפרש ריבועים

2n+1=17 ⇒ 2n=16\begin{aligned}2^n+1 &= 17 \ \Rightarrow \ 2^n \\ &= 16\end{aligned}

משוואה

n=4n=4

24=162^4=16

q2n−1=(qn−1)(qn+1)q^{2n}-1=(q^n-1)(q^n+1). התשובה לא תלויה ב-a1a_1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בסדרה הנדסית אינסופית a1=9a_1=9 ו-q=−13q=-\frac{1}{3}. שורה אחת בחישוב הסכום שגויה. מצאו אותה.

∣q∣=13<1|q|=\frac{1}{3}<1
S=91−13=13.5\begin{aligned}S &= \frac{9}{1-\frac{1}{3}} \\ &= 13.5\end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: S=91−13=13.5S=\frac{9}{1-\frac{1}{3}}=13.5 → S=91+13=6.75S=\frac{9}{1+\frac{1}{3}}=6.75

הפתרון:

1−(−13)=431-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{4}{3}

המכנה

S=943=6.75\begin{aligned}S &= \frac{9}{\frac{4}{3}} \\ &= 6.75\end{aligned}

הסכום

מציבים את qq עם הסימן שלו. 13.513.5 הוא הסכום של q=13q=\frac{1}{3}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת