סדרה 1 — קל

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות קצרות על הסדרה ההנדסית: איבר כללי, סכום חלקי, סכום אינסופי ותנאי ההתכנסות, מנה משני איברים, שבר מחזורי ותת-סדרה. כל שאלה דורשת צעד אחד או שניים.

לפני כל שאלה שאלו: כמה קפיצות יש בין שני האיברים? ובכל סכום אינסופי: האם ∣q∣<1|q|<1?

תרגילים

תרגיל 1

בסדרה הנדסית a1=5a_1=5 ו-q=−2q=-2. מהו a6a_6?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -160

הפתרון:

a6=a1⋅q5a_6=a_1\cdot q^5

חמש קפיצות מ-a1a_1 ל-a6a_6

5⋅(−2)5=5⋅(−32)=−160\begin{aligned}5\cdot(-2)^5 &= 5\cdot(-32) \\ &= -160\end{aligned}

חזקה אי-זוגית של מספר שלילי

המעריך הוא 55, לא 66. ו-(−2)5(-2)^5 שלילי: מי שכותב 160160 איבד את הסימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בסדרה הנדסית a1=3a_1=3 ו-q=2q=2. מהו סכום 88 האיברים הראשונים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 765

הפתרון:

S8=a1(q8−1)q−1S_8=\frac{a_1(q^8-1)}{q-1}

נוסחת הסכום

=3(256−1)1=765=\frac{3(256-1)}{1}=765

מציבים

הטעות הנפוצה: 3⋅28=7683\cdot 2^8=768, שהוא האיבר a9a_9 ולא הסכום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בסדרה הנדסית אינסופית a1=15a_1=15 ו-q=0.4q=0.4. מהו סכום הסדרה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

∣0.4∣<1|0.4|<1

יש סכום

S=151−0.4=150.6=25\begin{aligned}S &= \frac{15}{1-0.4} \\ &= \frac{15}{0.6} \\ &= 25\end{aligned}

הנוסחה

במכנה 1−q1-q, לא 1+q1+q: עם 1.41.4 במכנה יוצא בערך 10.710.7.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

לאיזו מהסדרות ההנדסיות האינסופיות יש סכום?

  1. q=1q=1
  2. q=1.1q=1.1
  3. q=−0.9q=-0.9
  4. q=−1.2q=-1.2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג q=−0.9q=-0.9

הפתרון:

∣−0.9∣=0.9<1|-0.9|=0.9<1

רק כאן התנאי מתקיים

∣1∣=1 ∣−1.2∣=1.2 ∣1.1∣=1.1\begin{aligned}|1| &= 1 \\ \ |-1.2| &= 1.2 \\ \ |1.1| &= 1.1\end{aligned}

בשאר ∣q∣≥1|q| \geq 1

הנכונה: q=−0.9q=-0.9. מנה שלילית אינה מונעת התכנסות: הסימן מתחלף, אבל האיברים קטנים. ו-q=1q=1 לא מתכנסת: כל האיברים שווים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בסדרה הנדסית a2=6a_2=6 ו-a5=48a_5=48. מהי המנה qq?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

a5a2=q3\frac{a_5}{a_2}=q^3

שלוש קפיצות מ-a2a_2 ל-a5a_5

q3=8 ⇒ q=2\begin{aligned}q^3 &= 8 \ \Rightarrow \ q \\ &= 2\end{aligned}

שורש שלישי

מי שכותב q5=8q^5=8 או q2=8q^2=8 ספר את המקומות במקום את הקפיצות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

השבר המחזורי 0.363636…0.363636\ldots הוא סכום של סדרה הנדסית אינסופית: 0.36+0.0036+0.000036+…0.36+0.0036+0.000036+\ldots. לאיזה שבר הוא שווה?

  1. 925\frac{9}{25}
  2. 25\frac{2}{5}
  3. 36999\frac{36}{999}
  4. 411\frac{4}{11}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 411\frac{4}{11}

הפתרון:

a1=0.36q=0.01\begin{aligned}a_1 &= 0.36 \\ \quad q &= 0.01\end{aligned}

כל איבר קטן פי 100100

S=0.360.99=3699=411\begin{aligned}S &= \frac{0.36}{0.99} \\ &= \frac{36}{99} \\ &= \frac{4}{11}\end{aligned}

הסכום

הנכונה: 411\frac{4}{11}. 925=0.36\frac{9}{25}=0.36 בדיוק, בלי ההמשך. 36999\frac{36}{999} מתאים למחזור של שלוש ספרות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

סכומה של סדרה הנדסית אינסופית הוא 4040, והאיבר הראשון שלה הוא 1010. מהי המנה qq?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.75

הפתרון:

101−q=40\frac{10}{1-q}=40

נוסחת הסכום

1−q=14 ⇒ q=34\begin{aligned}1-q &= \frac{1}{4} \ \Rightarrow \ q \\ &= \frac{3}{4}\end{aligned}

פותרים

מי שכותב q=14q=\frac{1}{4} עצר ב-1−q1-q ושכח את הצעד האחרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הוכיחו או הפריכו: בסדרה הנדסית שבה q=2q=2, האיברים שבמקומות האי-זוגיים a1, a3, a5, …a_1,\,a_3,\,a_5,\,\ldots יוצרים סדרה הנדסית שהמנה שלה 44.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

a2k+1a2k−1=q2\frac{a_{2k+1}}{a_{2k-1}}=q^2

שתי קפיצות בין שני מקומות אי-זוגיים

q2=4q^2=4

המנה של תת-הסדרה

הטענה נכונה. מי שחושב שהמנה נשארת 22 שכח שמדלגים על איבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בסדרה הנדסית אינסופית a1=3a_1=3 ו-q=12q=\frac{1}{2}. מהו סכום האיברים שבמקומות הזוגיים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

a2=1.5q2=14\begin{aligned}a_2 &= 1.5 \\ \quad q^2 &= \frac{1}{4}\end{aligned}

תת-הסדרה a2, a4, …a_2,\,a_4,\,\ldots

1.51−14=2\frac{1.5}{1-\frac{1}{4}}=2

הסכום

האיבר הראשון של תת-הסדרה הוא a2a_2, לא a1a_1, והמנה היא q2q^2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

המספרים 33, xx, 2727 הם שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית, ו-xx שלילי. מהו xx?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -9

הפתרון:

x2=3⋅27=81\begin{aligned}x^2 &= 3\cdot 27 \\ &= 81\end{aligned}

האמצעי בריבוע שווה למכפלת שכניו

x=−9x=-9

הערך השלילי

גם 99 פותר את x2=81x^2=81, אבל השאלה מבקשת xx שלילי. אז המנה היא −3-3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת